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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 13.01.2012 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | 1) Es sei A ein Integritätsbereich, D eine Derivation auf A und S eine multiplikative Teilmenge von A. Zeigen Sie, dass durch [mm] D(\bruch{f}{g}):=\bruch{D(f)*g-D(g)*f}{g^{2}} [/mm] eine Derivation auf der Lokalisierung von A an S als Fortsetzung von D gegeben ist.
2) Geben Sie eine nicht verschwindende Derivation von einem Körper in sich selbst an.
3) Eine Psudodervation auf den ganzen Zahlen ist eine Abbildung [mm] D:\IZ\to\IZ [/mm] mit der Eigenschaft D(m*n)=m*D(n)+n*D(m)
Klassifizieren Sie die PDn. |
Heyho!
Also bei 1) ist das meiste nur ein bisschen unschönes Rumrechnen, Linearität und Produktregel ist damit klar, was mir allerdings nicht klar ist, ist die Wohldefiniertheit, das krieg ich irgendwie nicht hin...
Seien [mm] a,b,c,d\in [/mm] A mit [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d}
[/mm]
das heißt ja nichts weiter als $ a*d=b*c $
damit $ D(a)*d+D(d)*a=D(b)*c+D(c)*b $
wie ich nun damit aber zeigen soll:
[mm] D(\bruch{a}{b})=D(\bruch{c}{d})
[/mm]
[mm] \gdw D(a)*b*d^{2}-D(b)*a*d^{2}=D(c)*d*b^{2}-D(d)*c*b^{2}
[/mm]
Obiges kann man zwar nach D(a) umformen und hier einsetzen, aber dann folgt a=c und das ist ja Unsinn...
2) Mmmh, einfach nen Polynomring, meinetwegen über [mm] \IC [/mm] und dann fortsetzen wie in 1) mit der ganz normalen Ableitung...
3) Ich würde behaupten, diese PDn sind [mm] \IZ-Linearkombination [/mm] von [mm] n\mapsto \bruch{n*\nu_{p}(n)}{p}, [/mm] wobei p prim und hier gelte, dass 0 mal unendlich 0 ist...
Leider findet man zu dem Thema nicht wirklich was im Internet.
Aber es folgt leicht: D(1)=D(-1)=D(0)=0 und D(-n)=-D(n) und weiter, dass D bestimmt ist durch ihre Werte auf den Primzahlen und die Teile oben sind gerade 1 auf p und sonst 0
Und natürlich sind LKn von PDn PDn...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 14.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1) Es sei A ein Integritätsbereich, D eine Derivation auf
> A und S eine multiplikative Teilmenge von A. Zeigen Sie,
> dass durch [mm]D(\bruch{f}{g}):=\bruch{D(f)*g-D(g)*f}{g^{2}}[/mm]
> eine Derivation auf der Lokalisierung von A an S als
> Fortsetzung von D gegeben ist.
>
> 2) Geben Sie eine nicht verschwindende Derivation von einem
> Körper in sich selbst an.
>
> 3) Eine Psudodervation auf den ganzen Zahlen ist eine
> Abbildung [mm]D:\IZ\to\IZ[/mm] mit der Eigenschaft
> D(m*n)=m*D(n)+n*D(m)
> Klassifizieren Sie die PDn.
>
> Also bei 1) ist das meiste nur ein bisschen unschönes
> Rumrechnen, Linearität und Produktregel ist damit klar,
> was mir allerdings nicht klar ist, ist die
> Wohldefiniertheit, das krieg ich irgendwie nicht hin...
>
> Seien [mm]a,b,c,d\in[/mm] A mit [mm]\bruch{a}{b}=\bruch{c}{d}[/mm]
> das heißt ja nichts weiter als [mm]a*d=b*c[/mm]
> damit [mm]D(a)*d+D(d)*a=D(b)*c+D(c)*b[/mm]
> wie ich nun damit aber zeigen soll:
> [mm]D(\bruch{a}{b})=D(\bruch{c}{d})[/mm]
> [mm]\gdw D(a)*b*d^{2}-D(b)*a*d^{2}=D(c)*d*b^{2}-D(d)*c*b^{2}[/mm]
>
> Obiges kann man zwar nach D(a) umformen und hier einsetzen,
> aber dann folgt a=c und das ist ja Unsinn...
Eventuell hilft es dir weiter, das auf zwei Schritte aufzuteilen:
a) zeige zuerst [mm] $D(\frac{f}{g}) [/mm] = [mm] D(\frac{f h}{g h})$ [/mm] fuer jedes $h [mm] \in [/mm] S$;
b) wenn du jetzt [mm] $\frac{f}{g} [/mm] = [mm] \frac{f'}{g'}$ [/mm] hast, ist doch [mm] $\frac{f}{g} [/mm] = [mm] \frac{f g'}{g g'} [/mm] = [mm] \frac{f' g}{g g'} [/mm] = [mm] \frac{f'}{g'}$ [/mm] und weiterhin ist $f g' = f' g$. Wenn du also a) zweimal anwendest, hast du die Wohldefineirtheit von [mm] $D(\frac{f}{g})$ [/mm] ganz allgemein gezeigt.
> 2) Mmmh, einfach nen Polynomring, meinetwegen über [mm]\IC[/mm] und
> dann fortsetzen wie in 1) mit der ganz normalen
> Ableitung...
Also $A = [mm] \IC[x]$. [/mm] Genau. Und zwar mit $S = A [mm] \setminus \{ 0 \}$; [/mm] dann ist die Lokalisierung [mm] $S^{-1} [/mm] A$ der Quotientenkoerper von $A$.
> 3) Ich würde behaupten, diese PDn sind
> [mm]\IZ-Linearkombination[/mm] von [mm]n\mapsto \bruch{n*\nu_{p}(n)}{p},[/mm]
> wobei p prim und hier gelte, dass 0 mal unendlich 0 ist...
> Leider findet man zu dem Thema nicht wirklich was im
> Internet.
Das ist doch schoen, selber etwas herausfinden macht viel mehr Spass 
> Aber es folgt leicht: D(1)=D(-1)=D(0)=0 und D(-n)=-D(n)
> und weiter, dass D bestimmt ist durch ihre Werte auf den
> Primzahlen und die Teile oben sind gerade 1 auf p und sonst
> 0
> Und natürlich sind LKn von PDn PDn...
Jetzt musst du noch zeigen, dass eine Derivation $d : [mm] \IZ \to \IZ$ [/mm] nur fuer endlich viele Primzahlen $p$ $d(p) [mm] \neq [/mm] 0$ sein kann.
In dem Fall ist dann die Gruppe der Derivationen [mm] $\IZ \to \IZ$ [/mm] die direkte Summe von abzaehlbar vielen Kopien von [mm] $\IZ$ [/mm] (je eine pro Primzahl).
Falls diese Aussage jedoch falsch ist, bekommst du vermutlich das direkte Produkt von abzaehlbar vielen Kopien von [mm] $\IZ$ [/mm] (je eine pro Primzahl).
LG Felix
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