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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Fr 03.04.2015 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Sei $V$ ein $n$-dimensionaler Euklidischer Vektorraum. Sei $v$ ein beliebiger Vektor in $V$, der nicht der Nullvektor ist.
Gegeben ist die Abbildung:
[mm] $s_v: [/mm] V [mm] \to [/mm] V, w [mm] \mapsto [/mm] w-2 [mm] \bruch{}{}v$
[/mm]
Berechnen Sie [mm] $det(s_v)$. [/mm] |
Hallo!
Wie rechnet man eine Determinate einer Funktion aus?
Muss man sich eine Basis aussuchen und damit dann eine darstellende Matrix erstellen, von der man dann die Determinate ausrechnen kann? Ich wüsste nur nicht, welche Basis das sein sollte..
Mein zweiter Ansatz wäre mithilfe einer Funktion des Raumes der alternierenden m-Formen. Dort gibt es einen Satz:
Sei $V$ endl. dim. $K-VR$, $n:=dim V [mm] \not= [/mm] 0$.
Sei $f: V [mm] \to [/mm] V K-lin.$
Dann ex. ein eindeutiges [mm] $k_f \in [/mm] K$, sodass
[mm] $\forall \psi \in Alt^{n}(V): [/mm] f* [mm] \psi [/mm] = [mm] k_f [/mm] * [mm] \psi$
[/mm]
Man schreibt $det(f) := [mm] k_f$, [/mm] dies ist die Determinante von f.
[mm] ($Alt^{n}(V) [/mm] := $n-multilinear & alternierende Abbildungen [mm] $V^{m} \to [/mm] K$)
Vielen Dank für die Hilfe!
phifre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Fr 03.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Hier:
https://matheraum.de/read?t=1055200
wird doch gezeigt, dass [mm] s_v [/mm] eine Isometrie ist.
Was ist Dir dann über [mm] det(s_v) [/mm] bekannt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 03.04.2015 | | Autor: | phifre |
Hallo,
naja, mir sind die normalen Eigenschaften von Determinanten bekannt, sprich die Linearität in jeder Zeile, alternierend und normiert.
Über [mm] $det(s_v)$ [/mm] weiß ich eigentlich gar nichts..
Ich verstehe allerdings nicht, wie man eine Determinante einer Funktion verstehen soll..
Was genau bringt mir im Zusammenhang mit Determinanten die Isometrie?
Viele Grüße
phifre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 03.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> naja, mir sind die normalen Eigenschaften von Determinanten
> bekannt, sprich die Linearität in jeder Zeile,
> alternierend und normiert.
> Über [mm]det(s_v)[/mm] weiß ich eigentlich gar nichts..
> Ich verstehe allerdings nicht, wie man eine Determinante
> einer Funktion verstehen soll..
> Was genau bringt mir im Zusammenhang mit Determinanten die
> Isometrie?
Eine Isometrie hat Derminante [mm] \pm [/mm] 1
FRED
>
> Viele Grüße
>
> phifre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Fr 03.04.2015 | | Autor: | phifre |
Oh, das wusste ich nicht..
Aus welchem Grund?
Oder wie lässt sich das beweisen?
Viele Grüße
phifre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Sa 04.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo phifre!
> Oh, das wusste ich nicht..
> Aus welchem Grund?
Ich glaube, dass du genauer arbeiten musst. Schlage noch einmal
die Definition einer Isometrie nach und beachte, dass du am Ende
auch eine orthogonale Matrix bezüglich deiner Isometrie erhältst.
Dann: Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist [mm] $\pm [/mm] 1$.
> Oder wie lässt sich das beweisen?
Der Determinantenproduktsatz sollte zum Ziel führen.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Sa 04.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Oh, das wusste ich nicht..
> Aus welchem Grund?
> Oder wie lässt sich das beweisen?
>
> Viele Grüße
>
> phifre
Nun tüfteln , spielen und probieren wir einfach mal ein wenig (so macht man u.a. Mathematik!), dabei schreibe ich S statt [mm] s_v:
[/mm]
1. Rechne nach: [mm] S^2=I, [/mm] wobei I = Identität auf V.
2. Da S orhtogonal ist, haben wir, zusammen mit 1.: S ist selbstadjungiert (symmetrisch). Insbesondere bedeutet dies: jeder Eigenwert von S ist reell.
3. ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von S, so ist [mm] \lambda^2 [/mm] ein Eigenwert von [mm] S^2=I, [/mm] also [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1.
4. Rechne nach: S(v)=-v und
[mm] E_1=span \{v\} [/mm] ,
wobei [mm] E_1 [/mm] der zu [mm] \lambda [/mm] = 1 geh. Eigenraum ist.
5. Rechne nach: ist [mm] E_{-1} [/mm] der zu [mm] \lambda [/mm] = -1 geh. Eigenraum , so ist
[mm] E_{-1} [/mm] = [mm] E_{1}^{\perp} [/mm]
Wir haben also
$V= [mm] E_{1} \oplus E_{1}^{\perp} [/mm] $
6. Ist n=dim V, so ist dim [mm] E_{1}^{\perp} [/mm] =n-1, da dim [mm] E_1=1.
[/mm]
Sei [mm] \{w_1,....,w_{n-1}\} [/mm] eine Basis von [mm] E_{-1} [/mm] = [mm] E_{1}^{\perp} [/mm] , dann ist
B:= [mm] \{v, w_1,....,w_{n-1}\} [/mm]
eine Basis von V.
7. Sei nun A die Abbildungsmatrix von S bezügl. der Basis B.
Wie sieht A aus ? Was ist nun det(S) ?
FRED
P.S. wahrscheinlich kommt man mit weniger Aufwand hinter det(S), aber mir hat es einfach Spass gemacht, die Abbildung S genauer unter die Lupe zu nehmen.
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