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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 16.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante von
[mm] \pmat{ 2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -1 & -6 & 4 & 3 }
[/mm]
Ist die Matrix invertierbar? |
Hallo!
Wir haben den Begriff der Determinante ganz neu eingeführt und scheinbar habe ich das noch nicht so ganz verstanden. Deshalb bitte ich um ein paar Lösungsansätze.
Für 2x2 oder 3x3 Matrizen kann man einfach die Diagonalen subtrahieren, aber für diese 4x4 Matrix funktioniert das ja nicht mehr.
Wir haben folgende Formel, mit der ich leider wenig anfangen kann:
det A = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} [/mm] det [mm] A_{ij}
[/mm]
Kann mir jemand sagen wie das genau funktioniert? Vielleicht einfach mal den ersten Schritt vorrechnen?
Also wenn det A [mm] \not= [/mm] 0, dann ist A invertierbar.
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hi shelli!
die formel nennt man den (Laplaceschen) Entwicklungssatz.
zunächst suchst du dir irgenteine zeile oder spalte der matrix aus nach man die determinate leicht entwickeln kann, das heisst eine in der möglichst viele 0en stehen. (bei dir leider keine  )
also z.b die 1. spalte.
dann nimmst du das erste element in der 1. spalte (die 2) und multiplizierst damit die determinante der moniren, die entsteht, wenn du die erste spalte und die erste zeile weglässt.
also: [mm] 2*\vmat{ -3 & 2 & -5 \\ 3 & -2 & 2 \\ -6 & 4 & 3 }
[/mm]
dann den 2. wert in der 1. spalte und die det der matrix die entsteht wenn du die 1. spalte und die 2. zeile weglässt.
WICHTIG: das ganze hier *-1
also: 2* [mm] \vmat{ 5 & -3 & 2 \\ 3 & -2 & 2 \\ -6 & 4 & 3 }
[/mm]
im nächsten schritt jetzt das ganze mit der 1. spalte und 3. zeile also 1. ...
und so weiter. wenn du am ende er 1. spalte angekommen bist, bist du fertig. die untermatrizen sind 3x3 matrizen, dessen det du mit z.b mit dem satz von sarrus berechnen kannst. (oder halt noch mal entwickeln)
Beachte: immer [mm] (-1)^{i+j} [/mm] vor den faktor zu multiplizieren. das heisst: ist die summe von spalte+zeile, die du gerade bearbeitest gerade, dann *1, sonst *-1 (schachbrettmuster)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 16.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Okay vielen Dank! Das ist ja doch ganz einfach.
Habe das ganze jetzt mal ausgerechnet und es kommt det A=-4 raus. Will niemanden zumuten das nachzurechnen.
Dachte erst ich hätte mich verrechnet, deshalb dieser Beitrag als Frage....
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Hallo, -4 ist korrekt, Steffi
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