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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Di 11.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich stecke mal wieder in den Tiefen der Multilinearen Algebra... ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
Das ist die Aufgabe: " Seien (V, <.,.>) ein n-dimensionaler Euklidischer Vektorraum, [mm]e_1, \dots, e_n[/mm] eine Orthonormalbasis von V und [mm] \mu := <. ,e_1> \wedge \dots \wedge <.,e_n> \in [/mm][mm]\Lambda^n (V^{\*}) [/mm] (Anm.: Das [mm]\Lambda^n (V^{\*}) [/mm] bezeichnet die alternierenden n-Formen auf den Dualraum von V)
Zeigen Sie, dass [mm] $|\mu(\overline{e_1}, \dots, \overline{e_n})| [/mm] = 1 $ für jede weitere Orthonormalbasis [mm] $\overline{e_1}, \dots, \overline{e_n}$ [/mm] von V gilt. Zeigen Sie außerdem, dass für alle Vektoren [mm] $x_1, \dots, x_n \in [/mm] V$ gilt:
[mm]| \mu (x_1, \dots, x_n )| = \sqrt{\det{ (()_{1\le i, j\le n})}}.[/mm]
Also wenn ich das letzte gezeigt habe, folgt dass mit der 1 für ONB automatisch. Bleibt also noch das letzte zu zeigen.
Hier nutze ich aus der VL aus, dass dieses mehrfache Dachprodukt der Determinante entspricht.
Ich hab also: [mm]| \mu (x_1, \dots, x_n )| = \left| \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} \right|= ...[/mm]
Der Ausdruck mit der Wurzel ist doch:
[mm] ... = \sqrt{ \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} }[/mm]
Wie komme ich jetzt dahin?
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Di 11.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
> Ich stecke mal wieder in den Tiefen der Multilinearen
> Algebra...
Ich hole dich da raus, kein Thema.
> Das ist die Aufgabe: " Seien (V, <.,.>) ein
> n-dimensionaler Euklidischer Vektorraum, [mm]e_1, \dots, e_n[/mm]
> eine Orthonormalbasis von V und [mm]\mu := <. ,e_1> \wedge \dots \wedge <.,e_n> \in [/mm][mm]\Lambda^n (V^{\*})[/mm]
> (Anm.: Das [mm]\Lambda^n (V^{\*})[/mm] bezeichnet die alternierenden
> n-Formen auf den Dualraum von V)
>
> Zeigen Sie, dass [mm]|\mu(\overline{e_1}, \dots, \overline{e_n})| = 1[/mm]
> für jede weitere Orthonormalbasis [mm]\overline{e_1}, \dots, \overline{e_n}[/mm]
> von V gilt. Zeigen Sie außerdem, dass für alle Vektoren
> [mm]x_1, \dots, x_n \in V[/mm] gilt:
>
> [mm]| \mu (x_1, \dots, x_n )| = \sqrt{\det{ (()_{1\le i, j\le n})}}.[/mm]
>
>
> Also wenn ich das letzte gezeigt habe, folgt dass mit der 1
> für ONB automatisch. Bleibt also noch das letzte zu
> zeigen.
>
> Hier nutze ich aus der VL aus, dass dieses mehrfache
> Dachprodukt der Determinante entspricht.
>
> Ich hab also: [mm]| \mu (x_1, \dots, x_n )| = \left| \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} \right|= ...[/mm]
>
>
> Der Ausdruck mit der Wurzel ist doch:
> [mm]... = \sqrt{ \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} }[/mm]
Alles richtig. Der Rest ist jetzt nicht mehr schwierig. Wegen
[mm] $\langle x_i,x_j \rangle [/mm] = [mm] \langle \sum\limits_{k=1}^n \langle x_i,e_k \rangle e_k,x_j \rangle [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^n \langle x_i, e_k \rangle \langle e_k,x_j \rangle$
[/mm]
gilt:
[mm]\begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix}^T[/mm],
und daher:
[mm] \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix}^T= \left( \det \begin{pmatrix}
&\dots& \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
& \dots & \\
\end{pmatrix} \right)^2[/mm],
woraus unmittelbar die Behauptung folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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