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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] det\pmat{ -t & 0 &0 &... &0 &0 &a_0\\ 1 &-t &0 &... &0 &0 &a_1 \\ 0 &1 &-t & &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 &0 &-1 &\ddots &0 &0 &a_n-3 \\ \vdots &\vdots & &\ddots &-t &0 &a_n-2 \\ \vdots &\vdots &\vdots & &1 & -t &a_n-1 \\ 0 & 0 &0 & ... &0 &1 &a_n}= (-1)^n summe_{i=0}^{n} a_i* t^i [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß gar nicht wie ich das machen soll. Das mit der Determinante habe ich verstanden, aber wie soll ich das hier anwenden? Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. LG...
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Ich nehme mal an, die Aufgabe sollte so aussehen:
[mm] det\pmat{ -t & 0 &0 &... &0 &0 &a_0\\ 1 &-t &0 &... &0 &0 &a_1 \\ 0 &1 &-t & &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 &0 &1 &\ddots &0 &0 &a_{n-3} \\ \vdots &\vdots & &\ddots &-t &0 &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots & &1 & -t &a_{n-1} \\ 0 & 0 &0 & ... &0 &1 &a_n}= (-1)^n \summe_{i=0}^{n} a_i\cdot{} t^i
[/mm]
Da gäbe es jetzt verschiedene Möglichkeiten: Einmal die Entwicklung nach der letzten Spalte (Laplace'scher Entwicklungssatz, ![[]](/images/popup.gif) siehe hier) - das wäre die naheliegendste. Du könntest es auch mit dem Gauss-Algorithmus versuchen.
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> Zeigen Sie:
> [mm]det\pmat{ -t & 0 &0 &... &0 &0 &a_0\\ 1 &-t &0 &... &0 &0 &a_1 \\ 0 &1 &-t & &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 &0 &-1 &\ddots &0 &0 &a_n-3 \\ \vdots &\vdots & &\ddots &-t &0 &a_n-2 \\ \vdots &\vdots &\vdots & &1 & -t &a_n-1 \\ 0 & 0 &0 & ... &0 &1 &a_n}= (-1)^n summe_{i=0}^{n} a_i* t^i[/mm]
>
> Ich weiß gar
> nicht wie ich das machen soll. Das mit der Determinante
> habe ich verstanden, aber wie soll ich das hier anwenden?
Hallo,
ich würde das erstmal für n=2 und n=3 durchrechnen um zu gucken, wie's funktioniert.
Das weitere Vorgehen:
vollständige Induktion,
entwickeln nach der letzten Zeile.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Dave11 |
Guten Abend ,beschäftige mich auch gerade mit dieser Aufgabe.
> Hallo,
>
> ich würde das erstmal für n=2 und n=3 durchrechnen um zu
> gucken, wie's funktioniert.
>
> Das weitere Vorgehen:
> vollständige Induktion,
> entwickeln nach der letzten Zeile.
Also ich habe es für n=3 gerechnet ,indem ich meine Matrix auf Obere Dreiecksmatrix gebracht habe.Dies habe ich durch 2 Zeilenvertauschungen gemacht.Laut Vorlesung ändert sich ja bei jedem Zeilentausch auch das Vorzeichen.Nun erhalte ich wenn ich das Produkt der Diagonalen berechne ja
[mm] t^2a_2+ta_1 +a_0 [/mm] raus
Dies stimmt ja dann mit meiner Formel überein,da ich ja
[mm] (-1)^2\summe_{k=0}^{2} a_it^i [/mm] rausbekomme oder?
Kann mann das irgendwie durch Induktion zeigen ,da du das erwähnt hattest oder muss
ich das jetzt nur irgendwie formulieren für die Aufgabe???
Weiss jetzt nicht mehr genau wie ich weiter machen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du für 3 rausgekriegt hast, stimmt ja auch für die Teilmatrix der letzten 3 zeilen und Spalten.
das kannst du als Induktionsanfang benutzen, um von n auf n+1 zu schliessen.
Ich seh zwar nicht, wie du durch Vertauschen auf deine Dreiecksform gekommen bist, aber wahrscheinlich musst du das auch nur verallgemeinert hinschreiben,, dann die fertige Dreiecksmatrix und das Diagonalenprodukt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Dave11 |
Abend,
danke für die schnelle Antwort.
Also nur durch Zeilenvertauschen habe ich es natürlich nicht auf die Obere Dreiecksform gebracht.Habe es ein bischen falsch formuliert.
Ok,ich denke auch das es reicht es verallgemeinert hinzuschreiben.
Gruss Dave
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:46 So 01.07.2007 | | Autor: | D-C |
Hallo,
bis hierhin hab ich das soweit auch mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatz ausgerechnet. Nur ist mir jetzt nicht klar, wie es mit der vollständigen Induktion hier weitergehen soll... !?
Gruß
D-C
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> bis hierhin hab ich das soweit auch mit Hilfe des
> Laplaceschen Entwicklungssatz ausgerechnet.
Hallo,
kannst Du nochmal genau sagen, was mit "bis hierhin" gemeint ist?
Meinst Du den Induktionsanfang?
> Nur ist mir
> jetzt nicht klar, wie es mit der vollständigen Induktion
> hier weitergehen soll... !?
Dann schreib zunächst nochmal die zu beweisende Behauptung bzw. die Induktionsvoraussetzung auf,
und weiter, was Du im Induktionsschluß gerne beweisen möchtest.
Danach kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 01.07.2007 | | Autor: | D-C |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich den Induktionsanfang hier "aufstelle".
Für n=3 hab ich ja bereits ausgerechnet, dass kann doch sicher bei der Induktion mitverwendet werden!?
Gruß
D-C
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> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie ich den Induktionsanfang hier
> "aufstelle".
>
> Für n=3 hab ich ja bereits ausgerechnet, dass kann doch
> sicher bei der Induktion mitverwendet werden!?
Hallo,
wenn Du's für n=3 ausgerechnet hast, könntest Du das als Induktionsanfang nehmen - allerdings würdest Du Deine Beh. dann für [mm] n\ge [/mm] 3 beweisen. Mußt also n=1,2 noch gesondert zeigen.
Oder Du zeigst die Aussage im I.A. für n=1 und machst dann Deine Induktion.
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Hast Du die Aussage eigentlich für n=3 gezeigt, oder für eine 3x3-Matrix, also n=2?
Da ich letzteres vermute, ein Tip:
zeig es nun für die entsprechende 4x4-Matrix, Laplaceschen Entwicklungssatz verwenden.
Hieran kannst Du schön sehen, wie die Sache dann im Anschluß allgemein läuft.
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Bevor Du mit der Induktion anfängst, schreib Dir die Induktionsvoraussetzung genau auf,
und das, was Du im Induktionsschluß gerne beweisen möchtest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:52 Mo 02.07.2007 | | Autor: | D-C |
Hallo,
stimmt hab es für 3x3 berechnet, also n=2 
4x4 werde ich morgen Vormittag mal angehen, vielleicht gibt mir das ja nen Hinweis.
Ansonsten schon mal danke für die Hilfe.
Gruß
D-C
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