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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Sa 12.01.2008 | | Autor: | goa |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \vmat{ 1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \cdots & 1+x_{1}^{n} \\
1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & 1+x_{2}^{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \cdots & 1+x_{n}^{n} }= \produkt_{i |
Tja, das riecht ja schon stark nach Vandermonscher Matrix.
Direkte Umformungen führen nach stundenlangem Verzeweifeln zu nichts. Bleibt nur noch der Weg über das Matrixprodukt, o.ä. Was für Möglichkeiten gibt es und wie funktionieren die?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 14.01.2008 | | Autor: | TheSaint |
Also ich wäre immernoch bis Dienstag 16 Uhr an den Lösungsvorschlägen interessiert...
Weil selbst im nachhinein ist es mir wichtig zu wissen wie die Aufgabe ging...und zwar bevor ich ne Musterlösung hingeklatscht bekomme...
Greetz TheSaint
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> Zeigen Sie:
> [mm]\vmat{ 1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \cdots & 1+x_{1}^{n} \\
1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & 1+x_{2}^{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \cdots & 1+x_{n}^{n} }= \produkt_{i
>
> Tja, das riecht ja schon stark nach Vandermonscher Matrix.
Hallo,
ja, die Ähnlichkeit springt ins Auge, und die Vandermondedeterminante kennt man.
Ich hab's nicht gerechnet, und ich werde es nicht tun, aber ich würde als erstes diesen Weg verfolgen, mit eingebauter Induktion natürlich:
Man kennt die Determinante dieser Matrix, die auf direktem Wege aus der Vandermondeschen entsteht:
[mm] V_{n+1}:=\vmat{ 1&1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \cdots & 1+x_{1}^{n} \\1&
1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & 1+x_{2}^{n} \\ &
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1&
1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \cdots & 1+x_{n}^{n}\\1&
1+x_{n+1} & 1+x_{n+1}^{2} & \cdots & 1+x_{n+1}^{n} },
[/mm]
und beim Entwickeln entstehen lauter kleine Matrizen wie die, für deren Determinante wir uns interessieren.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | moudi |
Hallo Zusammen
Man kann die Determinante mittels Spaltenoperationen und anderen Eigenschaften der Determinante herausfinden.
Um mir Schreibarbeit zu sparen schreibe ich die Matrix, als n-Tupel von Spaltenvektoren
[mm] $(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)$.
[/mm]
Im ersten Schritt subtrahiere ich die zweitletzte Zeile von der letzten Zeile, die drittletzte Zeile von der zweitletzten etc. Das ändert die Determinante nicht.
[mm] $\Longrightarrow\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)=\det(1+x_\bullet,x_\bullet^2-x_\bullet,\dots,x_\bullet^n-x_\bullet^{n-1})$
[/mm]
Den ersten Spaltenvektor teile ich auf: [mm] $1+x_\bullet=(x_\bullet-1)+2$.
[/mm]
Da die Determinanten Funktion linear ist in jeder Spalte ergibt sich
[mm] $\Longrightarrow\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)= \det(x_\bullet-1,x_\bullet^2-x_\bullet,\dots,x_\bullet^n-x_\bullet^{n-1})+ \det(2,x_\bullet^2-x_\bullet,\dots,x_\bullet^n-x_\bullet^{n-1})$
[/mm]
In der ersten Determinante kann ich in jeder Zeile [mm] $x_\bullet-1$ [/mm] ausklammern und es bleibt eine Vandermondsche Determinante übrig. In der Zweiten Determinante kan ich in der ersten Spalten die 2 ausklammern:
[mm] $\Longrightarrow\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)= \left(\prod_i (x_i-1)\right)\left(\prod_{i
In der zweiten Determinante addiere ich zur letzten Spalte alle anderen Spalten ausser die erste, zur zweitletzten Zeile addiere ich die vorhergehenden ausser die erste etc.
Die erste Spalte teile ich auf: [mm] $1=(1+x_\bullet)-x_\bullet$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)= \left(\prod_i (x_i-1)\right)\left(\prod_{i
In der zweiten und dritten Determinante addiere ich die erste Spalte zu allen anderen Spalten, dann ändert sich die Determinante nicht.
[mm] $\Longrightarrow\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)= \left(\prod_i (x_i-1)\right)\left(\prod_{i
Die zweite Determinante ist wieder die ursprüngliche Determinante und in der dritten Determinante kann ich in jeder Zeile [mm] $x_\bullet$ [/mm] ausklammern, dann bleibt eine Vandermondsche Determinante übrig.
[mm] $\Longrightarrow\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)= \left(\prod_i (x_i-1)\right)\left(\prod_{i
Wenn man jetzt die letzte Gleichung nach [mm] $\det(1+x_\bullet,1+x_\bullet^2,\dots,1+x_\bullet^n)$ [/mm] auflöst, erhält man das gewünschte.
mfG Moudi
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Hallo,
Dein Weg ist der bessere der Wege!
Gut ausgebaut, und er führt direkt zum Ziel.
Gruß v. Angela
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