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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 17.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen für alle quadratischen
Matrizen A,B [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] (n>1) gelten. Hierbei bezeichnen [mm] \vec{a1},...\vec{an} [/mm] die Spalten von A und [mm] \vec{b1},...\vec{bn} [/mm] die Spalten von B.
1.)Sei U eine unitäre Matrix. Dann gilt: |det(U)| = 1
2.)Sei R eine orthogonale Matrix, dann gilt [mm] (det(R))^2 [/mm] =2
3.)Sei R eine orthogonale Matrix, dann gilt [mm] (det(R))^2 [/mm] =1
[mm] 4.)det[\vec{a1},\vec{a2},..., \vec{an}] [/mm] = [mm] det[\vec{a1}+2*\vec{an},\vec{a2},..., \vec{an}]
[/mm]
5.)Sei r eine von Null verschiedene reelle Zahl. Dann gilt [mm] (r*A)=r^{n} [/mm] det(A) |
Hallo, stimmen meine Überlegungen so?
1.) Eine unitäre Matrix wie z.B. [mm] \pmat{ i & 2 \\ 2 & -i }
[/mm]
hat die Determinante i(-i)-4=-3 =|3| Also wäre die erste Behauptung falsch.
2.) eine orthogonale Matrix z.B. [mm] \pmat{ 0.6 & -0.8 \\ -0.8 & -0.6 } [/mm] hat die Det. -1 => [mm] |-1|^2 [/mm] = 1, demnach ist die Behauptung falsch
3.) richtig
4.)mit der Matrix aus 2. würde man ja für [mm] det[\vec{a1}+2*\vec{a2},\vec{a2}] [/mm] die Determinante 0 herausbekommen, demnach wäre die Bedingung falsch(?)
5.)Mit den Matrizen z.B. [mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 1 } [/mm] und 2* [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1/2 & 1/2 } [/mm] bekommt man 2 unterschiedliche Determinanten raus, -2 [mm] \not= [/mm] -7/2, demnach wäre die Behauptung falsch.
Viele Grüße, nina
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> Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen für alle
> quadratischen
> Matrizen A,B [mm]\in \IR^{n,n}[/mm] (n>1) gelten. Hierbei
> bezeichnen [mm]\vec{a1},...\vec{an}[/mm] die Spalten von A und
> [mm]\vec{b1},...\vec{bn}[/mm] die Spalten von B.
>
> 1.)Sei U eine unitäre Matrix. Dann gilt: |det(U)| = 1
> 2.)Sei R eine orthogonale Matrix, dann gilt [mm](det(R))^2[/mm] =2
> 3.)Sei R eine orthogonale Matrix, dann gilt [mm](det(R))^2[/mm] =1
> [mm]4.)det[\vec{a1},\vec{a2},..., \vec{an}][/mm] =
> [mm]det[\vec{a1}+2*\vec{an},\vec{a2},..., \vec{an}][/mm]
>
> 5.)Sei r eine von Null verschiedene reelle Zahl. Dann gilt
> [mm](r*A)=r^{n}[/mm] det(A)
> Hallo, stimmen meine Überlegungen so?
>
> 1.) Eine unitäre Matrix wie z.B. [mm]\pmat{ i & 2 \\ 2 & -i }[/mm]
Hallo,
das ist keine unitäre matrix.
Wie ist "unitäre Matrix" definiert?
>
> hat die Determinante i(-i)-4=-3 =|3| Also wäre die erste
> Behauptung falsch.
> 2.) eine die orthogonale Matrix z.B. [mm]\pmat{ 0.6 & -0.8 \\ -0.8 & -0.6 }[/mm]
> hat die Det. -1 => [mm]|-1|^2[/mm] = 1, demnach ist die Behauptung
> falsch
Hier hast Du die behauptung korrekt durch ein Gegenbeispiel widerlegt.
> 3.) richtig
warum eigentlich?
> 4.)mit der Matrix aus 2. würde man ja für
> [mm]det[\vec{a1}+2*\vec{a2},\vec{a2}][/mm] die Determinante 0
> herausbekommen,
Wirklich? Rechne mal vor?
was weißt Du über die Auswirkungen von Zeilen- und Spaltenumformungen beim Berechnen von Matrizen?
> demnach wäre die Bedingung falsch(?)
> 5.)Mit den Matrizen z.B. [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 1 }[/mm] und 2*
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 1/2 & 1/2 }[/mm] bekommt man 2 unterschiedliche
> Determinanten raus, -2 [mm]\not=[/mm] -7/2, demnach wäre die
> Behauptung falsch.
Rechne das mal vor, wie Du die Behauptung widerlegst.
Wir müssen hier [mm] det\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 1 } [/mm] und [mm] 2^2det\pmat{ 1 & 2 \\ 1/2 & 1/2 } [/mm] vergleichen.
Gruß v. Angela
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> Viele Grüße, nina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 18.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Hallo!
1.)unitäre Matrix: komplexe quadratische Matrix U, Spalten sind zueinander orthonormal => U* U = I
U* = [mm] \overline{U}^T [/mm] = U
mit [mm] U=\pmat{ i & 2 \\ 2 & -i } [/mm] => [mm] U*=\pmat{ -i & -2 \\ -2 & i } [/mm] und U* U = [mm] \pmat{ -3 & 0 \\ 0 & -3 } \not= [/mm] I dann wäre das schonmal keine unitäre Matrix.
Aber z.B. [mm] \pmat{ 0 & -i \\ i & 0 } [/mm] d.h., da hier die Einheitsmatrix rauskommt und ihre Determinante davon 1 ist, ist die Behauptung wahr.
3.) das Gegenbeisp. aus 2.) zeigte ja, dass es richtig ist
4.) [mm] det[\vec{a}1 [/mm] + [mm] 2*\vec{a2}, \vec{a2}] [/mm] für [mm] \pmat{ 0.6 & -0.8 \\ -0.8 & -0.6 } [/mm] => [mm] \vec{a}1 [/mm] + [mm] 2*\vec{a2} [/mm] = [mm] \vektor{0.6 \\ -0.8} [/mm] + 2* [mm] \vektor{-0.8 \\ -0.6} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -2} [/mm] => [mm] det[\vektor{-1 \\ -2}, \vektor{-0.8 \\ -0.6} [/mm] ] = -1*(-0.6)-(-2)*(-0,8)=-1, soweit ich weiß haben Zeilen- und Spaltenumformungen keine Auswirkungen auf die Determinante und das Beispiel zeigt es ja.. demensprechend ist die Behauptund richtig..
5.)
[mm] det(\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 1 })= [/mm] -2 und [mm] det(\pmat{ 1 & 2 \\ 1/2 & 1/2 }) [/mm] = -1/2 => 4*(-1/2)=-2 demensprechend ist die Behauptung war.
Viele Grüße und danke, NIna
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> Hallo!
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> 1.)unitäre Matrix: komplexe quadratische Matrix U, Spalten
> sind zueinander orthonormal => U* U = I
> U* = [mm]\overline{U}^T[/mm] = U
>
> mit [mm]U=\pmat{ i & 2 \\ 2 & -i }[/mm] => [mm]U*=\pmat{ -i & -2 \\ -2 & i }[/mm]
> und U* U = [mm]\pmat{ -3 & 0 \\ 0 & -3 } \not=[/mm] I dann wäre das
> schonmal keine unitäre Matrix.
>
> Aber z.B. [mm]\pmat{ 0 & -i \\ i & 0 }[/mm] d.h., da hier die
> Einheitsmatrix rauskommt und ihre Determinante davon 1 ist,
> ist die Behauptung wahr.
>
> 3.) das Gegenbeisp. aus 2.) zeigte ja, dass es richtig ist
>
> 4.) [mm]det[\vec{a}1[/mm] + [mm]2*\vec{a2}, \vec{a2}][/mm] für [mm]\pmat{ 0.6 & -0.8 \\ -0.8 & -0.6 }[/mm]
> => [mm]\vec{a}1[/mm] + [mm]2*\vec{a2}[/mm] = [mm]\vektor{0.6 \\ -0.8}[/mm] + 2*
> [mm]\vektor{-0.8 \\ -0.6}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -2}[/mm] => [mm]det[\vektor{-1 \\ -2}, \vektor{-0.8 \\ -0.6}[/mm]
> ] = -1*(-0.6)-(-2)*(-0,8)=-1, soweit ich weiß haben Zeilen-
> und Spaltenumformungen keine Auswirkungen auf die
> Determinante und das Beispiel zeigt es ja.. demensprechend
> ist die Behauptund richtig..
>
> 5.)
>
> [mm]det(\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 1 })=[/mm] -2 und [mm]det(\pmat{ 1 & 2 \\ 1/2 & 1/2 })[/mm]
> = -1/2 => 4*(-1/2)=-2 demensprechend ist die Behauptung
> war.
>
> Viele Grüße und danke, NIna
Hallo,
Deine Lösungen stimmen jetzt, und in einem Multiple -Choice_Test wärest Du auf der Siegerseite.
Deine Begründungen für die richtigen Aussagen sind jedoch nichts anderes als kleine Indizien - ich sage nicht, daß man sich sowas nicht mal zunutze machen kann...
Dir sollte jedoch jederzeit klar sein: Du kannst widerlegen mit einem einzigen Gegenbeispiel, zeigen mußt Du so, daß es für alle möglichen Fälle gilt.
Gruß v. Angela
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