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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 So 07.06.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Zeigen Sie: sind a, b, c [mm] \in \IR [/mm] paarweise verschieden, so ist die Determinante
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 } \not= [/mm] 0. |
Hey liebe Forengemeinschaft.
Ich würde wie sonst auch immer zwar lieber schon einen Lösungsansatz schreiben, aber ich habe bei dieser Aufgabe absolut keine Ahnung wie ich da rangehen muss. Ich weiß wie eine Determinante ausgerechnet wird aber sonst mit dem paarweise und allem....
Bitte könntet ihr mir helfen?
Mfg
Derrec
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> Zeigen Sie: sind a, b, c [mm]\in \IR[/mm] paarweise verschieden, so
> ist die Determinante
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 } \not=[/mm]
> 0.
Hallo,
schau Dir mal an, was Du an Zeilen- und Spaltenumformungen machen dafst, ohne daß sich die det. verändert.
Subtrahiere das a-fache der 1. Zeile von der 2., das [mm] a^2-fache [/mm] der 1.Zeile von der 3.
Vielleicht bekommst Du dann eine Idee, wie Du weitermachen kannst.
Bedenke, daß Du die Determinanten von Dreiecksmatrizen leicht ausrechnen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:29 So 07.06.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Wenn ich das so mache wie du das meinst würde es doch so aussehen:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & a-b & a-c \\ 1 & a^2-b^2 & a^2-c^2 } [/mm] oder?
Dann könnte ich die erste und letzte zeile vertauschen sodass meine determinante a-b wäre. Und somit darf a nicht gleich b sein damit die det [mm] \not= [/mm] 0 ist oder? |
Wäre die Aufgabe damit bewiesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 So 07.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi Derrec,
dieselbe Frage wurde auch hier gestellt.
> Wenn ich das so mache wie du das meinst würde es doch so
> aussehen:
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & a-b & a-c \\ 1 & a^2-b^2 & a^2-c^2 }[/mm]
> oder?
Das ist nicht korrekt. Wenn du von der zweiten Zeile das $a$-fache der ersten Zeile subtrahierst, erhälst du doch
[mm] \vmat{1&1&1\\a&b&c\\a^2 &b²&c²} =\vmat{1&1&1\\0&b-a&c-a\\a² & b² & c²}
[/mm]
Und wenn du das [mm] a^2-fache [/mm] der ersten Zeile von der dritten Zeile subtrahierst, was erhälst du dann?
> Dann könnte ich die erste und letzte zeile vertauschen
> sodass meine determinante a-b wäre. Und somit darf a nicht
> gleich b sein damit die det [mm]\not=[/mm] 0 ist oder?
> Wäre die Aufgabe damit bewiesen?
Nein. Die Idee, die Angela meint, ist, dass du durch Gauß eine obere Dreiecksmatrix erhälst. Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix kannst du dann ganz einfach berechnen.
Und dann kannst du eine Aussage darüber treffen, dass det=0, wenn [mm] a,b,c\in\IR [/mm] paarweise verschieden sind.
Gruß barsch
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