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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 02.06.2005 | | Autor: | bastue |
Hi
also ich hab so eine blöde n-dimensionale quadratische Matrix wobei auf der Hauptdiagonale immer ein Lambda steht und auf der Diagonale links und rechts von der Hauptdiagonalen steht immer ein T, der Rest ist alles Null. Im Prinzip sieht sie glaube ich so aus wie die Matrix aus der man über die Determinante irgendwie die FIbonaccizahlen berechnen konnte, nur anstelle der 1 überall ein T.
Und davon soll ich nun die Determinante ausrechnen, aber ich komm irgendwie nicht weiter, weil die Matrix n Dimensional ist musses wohl auf eine rekursive Darstellung herauslaufen , und da in jeder Zeile nur zwei Elemente von Null verschieden sind hab ich mir das ganze Mal aufgemalt und so zum Spaß nach der ersten Zeile entwickelt und immer so wieder...
wenn ich nach der 1ten Zeile und Lambda entwickel kommt wieder dasselbe Muster , wenn ich nach T entwickel bekomm ich zwei T nebeneinander und wenn ich das entwickel kommt zum einen wieder das Anfangsmuster raus zum anderen nur ein T ....
jetzt weiß ich irgendwie nicht wie ich auf die rekursive Darstellung dieser Determinante komme, dieses ganze Matrixaufgeschreibe frustriert mich langsam weil ich da kein tolles Muster drin finde .. ???
Hoffe ihr wisst welche Matrix ich meine, sonst versuch ich sie hier nochmal einzugeben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Fr 03.06.2005 | | Autor: | bastue |
Hey Paul,
danke für deine Antwort, genauso wie du hatte ich es heute nacht auch gemacht, hatte nur vergessen , dass man eine Determinante auch nach einer Spalte entwickeln kann und daher hab ich gar nicht bemerkt, dass die Determinante von deiner letzten Null ist.
Das mit der geschlossenen Form würde mich schon interessieren aber brauchst dir nicht die Mühe zu machen, könntest du höchstens den Hinweis nochmal näher erläutern wie man das so macht ? Eigenvektoren etc. hatte wir in linA nur hinsichtlich Diagonalisierbarkeit und dann mal an einem einzigen Beispiel in Physik ( Schwingungen) daher fällt es mir jetzt etwas schwer zu verstehen wie man auf einmal von Eigenvektoren auf eine geschlossene Form kommt. Geschlossene Form ist doch die explizite Darstellung für ein N oder ? Unser Prof hat das nicht geschlossen genannt sondern irgendwie anders, aber das fällt mir gerade nicht ein ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Paulus |
> Hey Paul,
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> Das mit der geschlossenen Form würde mich schon
> interessieren aber brauchst dir nicht die Mühe zu machen,
> könntest du höchstens den Hinweis nochmal näher erläutern
> wie man das so macht ? Eigenvektoren etc. hatte wir in linA
> nur hinsichtlich Diagonalisierbarkeit und dann mal an einem
> einzigen Beispiel in Physik ( Schwingungen) daher fällt es
> mir jetzt etwas schwer zu verstehen wie man auf einmal von
> Eigenvektoren auf eine geschlossene Form kommt.
> Geschlossene Form ist doch die explizite Darstellung für
> ein N oder ? Unser Prof hat das nicht geschlossen genannt
> sondern irgendwie anders, aber das fällt mir gerade nicht
> ein ...
Ja, geschlossene Form ist explizite Form, oder wie auch immer man das nennen will. Einfach nicht rekursiv. Eine Formel halt, in der nur die ersten beiden Folgeglieder vorkommen und das n.
Zum Beipiel die Fakultät:
$0! = 1; n!=(n-1)!*n_$ ist eine rekursive Definition für die Fakultät.
[mm] $n!=\produkt_{k=1}^{n}k$ [/mm] ist eine geschlossene (explizite) Form. Wobei man hier fairerweise aber 0! auch noch definieren sollte!
Nun zum Verfahren. Das ist vom Prinzip her ganz einfach! Es erfordert nur relativ grossen Rechenaufwand. Das können wir aber heutzutage einer geeigneten Software übertragen! 
Wir haben ja eine Rekursive Formel, die mit Hilfe der beiden Vorgänger-Glieder ein aktuelles erzeugt.
Also etwa so: aus (a,b) kann ich weiterfahren; (a,b,f(a,b)).
Wenn dieses f(a,b) linear ist, sollte es gelingen, eine Matrix herzustellen, die diese Funktion beschreibt.
Man fasst dann einfach (a,b) als Vektor auf, und als Bild dieses Vektors den Vektor (b,f(a,b)).
Mehrmalige Anwendung der Matrix lässt uns dann immer weiter der Folge entlang wandern. Also nochmals angewendet ergibt: (f(a,b),f(b,f(a,b)).
Zum Beispiel die Fibonacci-Folge: aus (a,b) entsteht (b,a+b).
Um die Funktionsmatrix zu machen, muss man ja nur die Bilder der Basisvektoren als Spalte schreiben. Für Fibonacci also:
(1,0) --> (0,1+0) = (0,1)
(0,1) --> (1,0+1) = (1,1)
Darum ist die Fibonacci-Matrix diese: (der Ausdruck Fibonacci-Matrix ist von mir erfunden)
[mm] $F=\pmat{0&1\\1&1}$
[/mm]
Man sehe:
[mm] $\pmat{0&1\\1&1}*\vektor{x\\y}=\vektor{y\\x+y}$ [/mm] ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
In deinem Beispiel hatten wir ja:
[mm] $\vektor{a\\b} \to \vektor{b\\\lambda*b-T^2*a}$
[/mm]
Die Matrix dazu sieht also so aus:
[mm] $M=\pmat{0&1\\-T^2&\lambda}$
[/mm]
Wenn wir diese Matrix n mal auf den Startvektor anwenden (der ist bei dir ja [mm] $\vektor{\lambda\\\lambda^2-T^2}$), [/mm] dann erhalten wir irgendwo das n-te Glied. Wo genau, kannst du dir sicher selber noch überlegen. Ich helfe dir aber dabei, wenn du das nicht herausfindest.
Wir müssen also dieses berechnen:
[mm] $\pmat{0&1\\-T^2&\lambda}^n*\vektor{\lambda\\\lambda^2-T^2}$
[/mm]
(Eigentlich vom Bildvektor dann nur die erste Komponente )
Die Knacknuss besteht also darin, [mm] $M^n$ [/mm] zu berechnen.
Nun weisst du aber, dass man das einfach machen könnte, wenn $M_$ eine Diagonalmatrix wäre. Dann könnte man einfach alle Diagonalelemente potenzieren.
Aus diesem Grunde versuchen wir, durch eine geeignete Basistransformation unsere Matrix $M_$ in Diagonalform zu bringen.
Und jetzt solltest du die Theorie zu den Eigenwerten und Eigenvektoren nochmals konsultieren.
Ein Ergebnis dieser Theorie war ja dieses: wenn man die Eigenvektoren als Spalten einer Matrix $S_$ hinschreibt, dann gilt:
[mm] $S^{-1}*M*S=D$
[/mm]
Nehmen wir das zum Beispiel "hoch 4":
[mm] $S^{-1}*M*S*S^{-1}*M*S*S^{-1}*M*S*S^{-1}*M*S=D^4$
[/mm]
Linkerhand heben sich jeweils ein $S_$ und [mm] ein$S^{-1}$ [/mm] weg, und es bleibt:
[mm] $S^{-1}*M*M*M*M*S=D^4$ [/mm] oder
[mm] $S^{-1}*M^4*S=D^4$
[/mm]
Damit können wir also [mm] $M^n$ [/mm] recht einfach berechnen:
[mm] $M^4=S*D^4*S^{-1}$
[/mm]
Damit ist der Plan fertig:
1) Man bestimme die Eigenvektoren
2) Daraus erstelle man die Matrizen $S_$ und [mm] $S^{-1}$
[/mm]
3) Daraus berechne man die Diagonalmatrix $D_$ (Formel wie oben beschrieben)
4) Man berechne [mm] $D^n$ [/mm] wie oben gesehen: ganz einfach!
5) Nun kann man das gesuchte [mm] $M^n$ [/mm] berechnen.
6) Diese Matrix auf den Startwert angewendet ergibt unsere gesuchte Formel (wir brauchen aber nur eine Komponente davon, welche, sollst du ja selber herausfinden)
Ist alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Fr 03.06.2005 | | Autor: | bastue |
Hey Paul,
danke erstmal für deine Mühe , kann noch nicht so genau sagen ob mir das schlüssig ist oder nicht, muss erstmal die Morgenmüdigkeit überwinden und es mir dann nochmal ansehen .. aber merci !
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
Viel einfacher geht es natürlich nach der ersten Spalte! 
