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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Fr 11.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Haben die folgenden Matrizen eine Determinante? Wenn ja, berechnen Sie diese
a) [mm] \pmat{1&2&45&12&17&3\\3&4&5&6&7&8\\0&0&5&6&7&9\\0&0&0&1&2&3\\0&0&0&4&5&6\\0&0&0&7&8&9}
[/mm]
[mm] b)\pmat{1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&1&1&1\\2&2&2&2} [/mm] |
Hallo,
die Lösung zu der Aufgabe habe ich zwar, aber ich versteh das nicht.
bei a steht:
Man verwendet das die Matrix Blockgestallt hat
det [mm] \pmat{1&2&45&12&17&3\\3&4&5&6&7&8\\0&0&5&6&7&9\\0&0&0&1&2&3\\0&0&0&4&5&6\\0&0&0&7&8&9}=det \pmat{1&2\\3&4}*det(5)*det\pmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}
[/mm]
Ok [mm] \pmat{1&2\\3&4} [/mm] und [mm] det\pmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9} [/mm] sind "Teile" der Matrix, aber was hat es mit det(5) auf sich und was ist mit dem Rest der da noch steht?????
b)
bei der b steht nur, dass die Determinante 0 ist. Liegt das daran, dass die letzten beiden Zeilen linear abhängig voneinander sind?
Dann habe ich noch eine allgemeine Frage zum Thema Determinante. Gibt es bestimmte Matrizen, wo man erkennt, was die Determinante ist oder ob es eine gibt. Zum beispiel muss es ja eine Quadratische Matrix sein oder bei Diagonalen Matrizen ist es das Produkt der Hauptdiagonale.
Danke im voraus für jeden Tipp.
Lg Melisa
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Hallo,
> Haben die folgenden Matrizen eine Determinante? Wenn ja,
> berechnen Sie diese
>
> a)
> [mm]\pmat{1&2&45&12&17&3\\3&4&5&6&7&8\\0&0&5&6&7&9\\0&0&0&1&2&3\\0&0&0&4&5&6\\0&0&0&7&8&9}[/mm]
>
>
> [mm]b)\pmat{1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&1&1&1\\2&2&2&2}[/mm]
> Hallo,
>
> die Lösung zu der Aufgabe habe ich zwar, aber ich versteh
> das nicht.
>
> bei a steht:
>
> Man verwendet das die Matrix Blockgestallt hat
>
> det
> [mm]\pmat{1&2&45&12&17&3\\3&4&5&6&7&8\\0&0&5&6&7&9\\0&0&0&1&2&3\\0&0&0&4&5&6\\0&0&0&7&8&9}=det \pmat{1&2\\3&4}*det(5)*det\pmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}[/mm]
>
> Ok [mm]\pmat{1&2\\3&4}[/mm] und [mm]det\pmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}[/mm] sind
> "Teile" der Matrix, aber was hat es mit det(5) auf sich und
> was ist mit dem Rest der da noch steht?????
Die Determinantenregel für Matrizen in Blockgestalt besagt
[mm] \qquad $\det\pmat{A&?\\0&B}=\det(A)\det(B),$
[/mm]
wobei A und B quadratische Blöcke innerhalb der Matrix sind (Nachschlagen).
Der Block oben rechts ist irrelevant für die Determinante.
Hier wurde diese Regel mehrfach verwendet, denn die [mm] 3\times3 [/mm] Matrix oben links hat nach dem ersten Anwenden auch wieder Blockgestalt. Deswegen ist [mm] \det\pmat{1&2&45\\3&4&5\\0&0&5}=\det \pmat{1&2\\3&4}\det(5)
[/mm]
5 ist eine [mm] 1\times1 [/mm] Matrix mit Determinante 5
>
> b)
>
> bei der b steht nur, dass die Determinante 0 ist. Liegt das
> daran, dass die letzten beiden Zeilen linear abhängig
> voneinander sind?
Ja. Man kann z.B. die dritte Zeile zweimal von der vierten abziehen und erhält eine Nullzeile. Daraus folgt direkt, dass die Det. Null ist.
>
> Dann habe ich noch eine allgemeine Frage zum Thema
> Determinante. Gibt es bestimmte Matrizen, wo man erkennt,
> was die Determinante ist oder ob es eine gibt. Zum beispiel
> muss es ja eine Quadratische Matrix sein oder bei
> Diagonalen Matrizen ist es das Produkt der Hauptdiagonale.
Richtig.
Noch ein paar mehr Spezialfälle:
Auch bei quadratischen Matrizen in oberer Dreiecksgestalt ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge.
Die Determinante ist Null, wenn die Matrix nicht vollen Rang hat (es gibt linear abhängige Zeilenvektoren).
>
>
>
> Danke im voraus für jeden Tipp.
>
> Lg Melisa
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Fr 11.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
hast es super erklärt vielen vielen dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 11.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe jetzt doch noch eine weitere Frage 
Wenn ich eine Matrix in Stufenform bringen möchte, damit ich die Determinante schnell berechnen kann (weil man da ja wie gesagt nur die Diagonaleinträge multiplizieren muss) und dabei die letzte oder eine der anderen Zeilen Null wird ist dann auchdie Determinante Null?
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Hi,
> ich habe jetzt doch noch eine weitere Frage
>
>
> Wenn ich eine Matrix in Stufenform bringen möchte, damit
> ich die Determinante schnell berechnen kann (weil man da ja
> wie gesagt nur die Diagonaleinträge multiplizieren muss)
> und dabei die letzte oder eine der anderen Zeilen Null wird
> ist dann auchdie Determinante Null?
Ja, denn dann hat die [mm] n\times [/mm] n Matrix keinen vollen Rang (der Zeilenraum hat Dimension <n) .
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe die Matrix [mm] \pmat{1&1&1\\-1&2&3\\2&3&-1}
[/mm]
wir haben es in der uni mit der formel von sarrus gemacht und da kam -15 raus.
Ich wollte es mal mit der Zeilenstufenform bzw. mit den Diagonaleinträgen probieren.
Ich habe die ZSF
[mm] \pmat{1&1&1\\0&3&6\\0&0&15}
[/mm]
die determinante wäre dementsprechend 1*3*15 und das ist definitiv nicht -15
wo mach ich den Fehler?
Danke im voraus
Lg
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Hallo, nach Sarrus bekommst du -13, überprüfe weiterhin die ZSF, die 3. Spalte, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
sorry ich habe mich verschrieben und obwohl ich nochmal nachgeguckt habe ist mir nicht aufgefallen, dass die Matrix so aussieht:
[mm] \pmat{1&1&1\\-1&2& [red] 5 [/red] \\2&3&-1} [/mm]
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Hallo
du möchtest also die Determinante von [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & -1} [/mm] berechnen, somit ist -15 korrekt,
jetzt in ZSF
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & -1}
[/mm]
neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 2 plus (-1) mal Zeile 3
[mm] (-1)*\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & 3}
[/mm]
du hast eine neue dritte Zeile gebildet, dafür die alte dritte Zeile mit (-1) multipliziert, also den Faktor (-1) vor die Determinante
neue 3. Zeile: Zeile 2 plus 3 mal Zeile 3
[mm] (-1)*\bruch{1}{3}*\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 15}
[/mm]
du hast eine neue dritte Zeile gebildet, dafür die alte dritte Zeile mit 3 multipliziert, also den Faktor [mm] \bruch{1}{3} [/mm] vor die Determinante
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
also erst einmal danke für deine Hilfe, aberich versteh das nicht, warum kommt das alles vor die Matrix, wenn ich eine ganz normale Zeilenumformung mache??? Das haben wir kein einziges mal in den Übungen so gemacht :-S????>
>
> jetzt in ZSF
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & -1}[/mm]
>
> neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
das habe ich auch so gemacht
die neue dritte habe ich durch -2I+III
[mm] \pmat{1&1&1\\0&3&6\\0&1&-3}
[/mm]
und zum schluss habe ich -3III+II
[mm] \pmat{1&1&1\\0&3&6\\0&0&15}
[/mm]
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Hallo melisa1,
> Hallo nochmal,
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> also erst einmal danke für deine Hilfe, aberich versteh
> das nicht, warum kommt das alles vor die Matrix, wenn ich
> eine ganz normale Zeilenumformung mache??? Das haben wir
> kein einziges mal in den Übungen so gemacht :-S????>
> >
> > jetzt in ZSF
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & -1}[/mm]
> >
> > neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
>
> das habe ich auch so gemacht
>
> die neue dritte habe ich durch -2I+III
>
> [mm]\pmat{1&1&1\\0&3&6\\0&1&-3}[/mm]
>
> und zum schluss habe ich -3III+II
>
> [mm]\pmat{1&1&1\\0&3&6\\0&0&15}[/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
aber die determinante ergibt dann
1*3*15=45
aber mit der formel von sarrus bekomme ich -15 raus?
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Hallo und die Faktoren vor der Determinante? 45:(-3)=-15 Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
> Hallo und die Faktoren vor der Determinante? 45:(-3)=-15
> Steffi
aber warum kommt die -3 vor die determinante ich habe nur die letzte Zeile mal -3 genommen und nicht die komplete matrix?
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> > Hallo und die Faktoren vor der Determinante? 45:(-3)=-15
> > Steffi
>
>
> aber warum kommt die -3 vor die determinante
Hallo,
weil die Regeln fürs Rechnen mit Determinanten halt so gehen.
Warum das so ist, wird Dir aufgehen, wenn Du z.B. mal
[mm] det\pmat{1&2&3\\4&5&6\\ 7a&7b&7c} [/mm] mit der Sarrus-Regel ausrechnest und das Ergebnis mit [mm] det\pmat{1&2&3\\4&5&6\\ a&b&c} [/mm] vergleichst.
> ich habe nur
> die letzte Zeile mal -3 genommen und nicht die komplete
> matrix?
Hättest Du jede Zeile der [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix mit (-3) multipliziert, so hättest Du dies durch ein vorangestelltes [mm] \bruch{1}{(-3)^3} [/mm] ausgleichen müssen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Ich habe es jetzt einfach mal mit der Matrix [mm] \pmat{-2&3&0&1\\1&3&-3&4\\0&6&-1&4\\2&1&7&4} [/mm] ausprobiert:
[mm] det\pmat{-2&3&0&1\\1&3&-3&4\\0&6&-1&4\\2&1&7&4}=-det \pmat{1&3&-3&4\\-2&3&0&1\\0&6&-1&4\\2&1&7&4}=det \pmat{1&3&-3&4\\0&6&-1&4\\-2&3&0&1\\2&1&7&4}=
[/mm]
det [mm] \pmat{1&3&-3&4\\0&6&-1&4\\0&9&-6&9\\0&-5&13&-4} [/mm]
die neue dritte zeile habe ich durch 2II+III und die neue vierte durch -2II+IV das ändert nichts an der determinante
=det [mm] \pmat{1&3&-3&4\\0&6&-1&4\\0&0
-27&18\\0&0&83&-44} [/mm]
die neue dritte Zeile habe ich erhalten durch -9II+6III also muss mein ergebniss später durch 6 geteilt werden.
die neue vierte Zeile habe ich durch -5II+6IV also muss mein ergebniss noch einmal durch 6 geteilt werden
=det [mm] \pmat{1&3&-3&4\\0&6&-1&4\\0&0
-27&18\\0&0&0&306}
[/mm]
die neue vierte zeile habe ich durch 83III+27IV d.h. ich muss später durch 27 teilen
det=(1*6*-27*306):6:6:27=-51
stimmt das?
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Hallo melisa1,
> Ich habe es jetzt einfach mal mit der Matrix
> [mm]\pmat{-2&3&0&1\\
1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
2&1&7&4}[/mm] ausprobiert:
>
>
> [mm]det\pmat{-2&3&0&1\\
1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
2&1&7&4}=-det \pmat{1&3&-3&4\\
-2&3&0&1\\
0&6&-1&4\\
2&1&7&4}=det \pmat{1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
-2&3&0&1\\
2&1&7&4}=[/mm]
>
> det [mm]\pmat{1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
0&9&-6&9\\
0&-5&13&-4}[/mm]
> die neue dritte zeile habe ich durch 2II+III und die neue
> vierte durch -2II+IV das ändert nichts an der
> determinante
> =det [mm]\pmat{1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
0&0 &-27&18\\
0&0&\red{83}&\blue{-44}}[/mm]
>
> die neue dritte Zeile habe ich erhalten durch -9II+6III
> also muss mein ergebniss später durch 6 geteilt werden.
>
> die neue vierte Zeile habe ich durch -5II+6IV
Nee, die Einträge in der 2.Spalte haben doch schon unterschiedliches Vorzeichen (6 und -5), also [mm]5II+6IV[/mm]
Das gibt dann den Eintrag [mm]\red{a_{43}=73}[/mm] und entsprechend [mm]\blue{a_{44}=-4}[/mm]
Ansonsten stimmt das bis hierher - soweit meine blutunterlaufenen Augen das richtig sehen ...
> also muss
> mein ergebniss noch einmal durch 6 geteilt werden
>
> =det [mm]\pmat{1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
0&0 -27&18\\
0&0&0&306}[/mm]
>
> die neue vierte zeile habe ich durch 83III+27IV d.h. ich
> muss später durch 27 teilen
>
>
> det=(1*6*-27*306):6:6:27=-51
>
>
> stimmt das?
Es gibt einen oline-Rechner auf www.mathetools.de
Dort unter "Studium" und "Determinante berechnen".
Damit kannst du deine Rechnung überprüfen lassen.
Der spuckt für die Determinante deiner Matrix [mm]-201[/mm] aus.
Vllt. rechnest du ab der Korrektur oben nochmal den Rest nach ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
vielen dank die seite wird mir sehr helfen und ich muss nicht euch immer damit nerven :-D
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:04 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
ich muss jetzt doch noch einmal nerven :-S
nach deiner Korrektur habe ich
=det [mm] \pmat{1&3&-3&4\\
0&6&-1&4\\
0&0 -27&18\\
0&0&0&1206}
[/mm]
(1*6*-27*1206):6:6:73 macht aber nicht -201 sondern -73,34246575 d.h. ich hab noch einen Fehler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok ich habs jetzt sorry ich glaub das war zuviel mathe die woche :-S
ich muss durch 27 teilen und nicht durch 73
sorry sorry sorry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Fr 11.03.2011 | | Autor: | karimb |
ja genau, die Determinante wird gleich 0.
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