Determinante \IR^{(n+1)x(n+1)} < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
Habe folgendes Problem:
Ich soll die determinante folgender Matrix bestimmen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & .... & ..... & .... & 1 \\ b_{1} & a_{1} & .... & .... & .... & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & .... & .... & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & a_{3} & .... & a_{3} \\ . & & & & & . \\ . & & & & & . \\ b_{1} & .... & .... & .... & b_{n} & a_{n} }
[/mm]
∈ [mm] \IR^{(n+1)x(n+1)}
[/mm]
So, nun habe ich nach der ersten Spalte entwickelt. Einmal für n=2 und einmal für n=3 dabei kommt dann bei
n=2 raus:
[mm] (a_{1} [/mm] - [mm] b_{1})* \pmat{ 1 & 1 \\ b_{2} & a_{2} }
[/mm]
und bei n=3:
[mm] (a_{1} [/mm] - [mm] b_{1})* \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ b_{2} & a_{2} & a_{2} \\ b_{2} & b_{3} & a_{3} }
[/mm]
So, ich denke mal dass ich auf diese Formel kommen soll:
det(A) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}*(-1)^{i+j}
[/mm]
Jetzt bräuchte ich aber einen Tipp wie ich weiter vorgehen kann. Weiß leider keinen Rat :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Calculu, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du könntest die Matrix ja erstmal ein bisschen bearbeiten.
Wenn Du z.B. von der zweiten Zeile das [mm] a_1- [/mm] fache der 1. Zeile abziehst, von der dritten Zeile das [mm] a_2- [/mm] fache der 1. Zeile etc., bleibt Dir eine Matrix übrig, die ziemlich viele Nullen enthält. Und mit ein bisschen genauem Hinschauen kannst Du die Determinante dann schnell entwickeln, z.B. nach der letzten Spalte...
Weißt Du, welche Auswirkungen solche Zeilenoperationen (Dir aus dem Gaußschen Algorithmus zu LGS bekannt) auf die Determinante der Matrix haben? Das wäre natürlich auch noch zu berücksichtigen.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Calculu |
Ahhh, sehr gut.
Also ich gehe so vor wie du gesagt hast, dann erhalte ich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & ... & ... & ... & 1 \\ b_{1}-a_{1} & 0 & ... & ... & ... & 0 \\ b_{1}-a_{2} & b_{2}-a_{2} & 0 & ... & ... & 0 \\ b_{1}-a_{n} & ... & b_{n}-a_{n} & 0 & ... & 0 }
[/mm]
Entwickele ich dann nach der letzten Spalte fällt alles weg bis auf [mm] 1*(b_{1}-a_{1})*(b_{2}-a_{2})....(b_{n}-a_{n})
[/mm]
Nun muss ich das ganze nur noch als Summe aufschreiben. Richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 30.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Nein, wie schon gesagt wurde, die Determinante ändert sich ein wenig dabei...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Calculu |
Achso, ich muss dann noch durch [mm] (-a_{1}) [/mm] , [mm] (-a_{2})....(-a_{n}) [/mm] teilen?!
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Hallo nochmal,
> Achso, ich muss dann noch durch [mm](-a_{1})[/mm] ,
> [mm](-a_{2})....(-a_{n})[/mm] teilen?!
Nein, das musst Du nicht. Lass Dich nicht beirren - alle durchgeführten Operationen waren invariant gegenüber der Determinante.
Das einzige, was Du noch bedenken musst, ist das Vorzeichen Deiner Determinante; es hängt nämlich von n ab.
Und ausmultiplizieren würde ich in gar keinem Fall. Eine allgemeine Schreibweise für beliebiges n wäre ziemlich unübersichtlich. Ich würde Dir die Produktschreibweise empfehlen (mit [mm] \produkt [/mm] ).
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Calculu |
Acg ja, stimmt. Die Vorzeichentabelle bei Laplace....
Also Vorzeichen bin ich mir ziemlich sicher müsste dann so sein:
[mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
Und ja, natürlich als Produkt schreiben. Hab das vorhin verwechselt.
Also vl so:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} (b_{n}-a_{n}) [/mm] * [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
Richtig?
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Hallo Calculu,
> Also Vorzeichen bin ich mir ziemlich sicher müsste dann so
> sein:
>
> [mm](-1)^{n+1}[/mm]
Ja, das denke ich auch 
> Und ja, natürlich als Produkt schreiben. Hab das vorhin
> verwechselt.
> Also vl so:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} (b_{n}-a_{n})[/mm] * [mm](-1)^{n+1}[/mm]
>
> Richtig?
Du meinst das Richtige. Aber wenden wir noch ein wenig Kosmetik auf die Formel an:
- Es ist ungünstig, das Vorzeichen in das Produkt hereinzuschreiben, schreibe es lieber davor.
- Der Laufindex des Produkts ist i, also muss es auch in der Formel i sein:
[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*\produkt_{i=1}^{n} (b_{i}-a_{i})$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Calculu |
Ja mit dem Vorzeichen war ich mir nicht sicher.
Und der Laufindex ist auch klar. Dummer Fehler....
Also, ich bedanke mich herzlich bei allen die mir geholfen haben!!!!
Viele Grüße
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