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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich hab hier noch ein Problem.
Ich hab folgende Aufgabe:
Seine [mm] x_{0},...,x_{n} [/mm] verschiedene Elemente von K. Zeige:
det [mm] \pmat{ 1 & x_{0} & ... & (x_{0})^{n} \\ ... \\ 1 & x_{n-1} & ... & (x_{n-1})^{n} \\ 1 & x_{n} & ... & (x_{n})^{n} } [/mm] = [mm] \produkt_{i
Wenn ich das Produktzeichen richtig versteh, heißt das doch:
[mm] (x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0}) \cdots (x_{n}-x_{0}) \cdots (x_{n}-x_{n-1}.
[/mm]
Stimmt das?
Wir sollen das jetzt eigentlich mit Induktion machen.
Nur, da hab ich schon Probleme mit dem Induktionsanfang.
Stimmt das : (Gilt hier n=0 oder n=1 ??)
det [mm] \pmat{ 1 & x_{0} \\ 1 & x_{1} } [/mm] = (kann man ja, wenn hier eigentlich auch unnötig, auf die Zeilen-Stufen-Form bringen) det [mm] \pmat{ 1 & x_{0} \\ 0 & x_{1}-x_{0} } [/mm] = [mm] x_{1}-x_{0} [/mm] . Das wäre ja richtig/erfüllt.
Induktionshypothese und Behauptung lass ich jetzt mal weg.
Dann kommt der Induktionsschritt.
n [mm] \mapsto [/mm] n+1
Hier hab ich ja die Matrix von oben, mit einer Spalte und einer Zeile erweitert, oder?
Problem: hier weiß ich einfach nicht was ich machen soll.
Frage:
Kann man das ganze auch ohne Induktion beweisen:
Also, wenn man mal anfängt, die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen:
det [mm] \pmat{ 1 & x_{0} & ... & ... & (x_{0})^{n} \\ 0 & x_{1}-x_{0} & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & (x_{2}-x{1})(x_{2}-x_{0})(x_{1}-x_{0} & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... }
[/mm]
Wenn man das oft genug wiederholt, hat man eine obere Dreicksmatrix:
d.h. die Determinante ist das Produkt der Elemente, die in der Diagonalen stehen, und damit kommt man genau auf die Behauptung.
(oder man macht es eben mit Laplace, das kommt ja aber auf das gleiche raus)
Gilt das als Beweis, oder nicht?
Danke schon mal.
Gruß
Annette
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Hallo Annette!
Also, im Grunde ist egal, ob Du mit $n = 0$ oder $n = 1$ beginnst - der Fall $n = 0$ ist trivial (da hast Du das leere Produkt, das per Definition den Wert 1 hat) und im anderen Fall hast Du ja auch schon gesehen, dass es gilt.
Allerdings hast Du die Aufgabe nicht wirklich per Induktion gezeigt - denn die Induktionsvoraussetzung geht nicht ein, sondern Du hast es direkt versucht und das auch sehr schwammig ("Wenn man das so weiter macht... dann sieht man..."). Das ist leider kein formaler Beweis...
Aber Du weißt bestimmt aus der Vorlesung, dass elementare Zeilen- oder in diesem Fall besser Spaltenoperationen den Wert der Determinante nicht ändern. Daher kannst Du folgendes tun:
Ziehe das [mm] $x_n$-fache [/mm] der vorletzten Spalte von der letzten ab. Damit erzeugst Du unten rechts eine 0. Dann ziehst Du das [mm] $x_n$-fache [/mm] der vorvorletzten Spalte von der vorletzten ab usw. bis Du schließlich das [mm] $x_n$-fache [/mm] der ersten Spalte von der zweiten abziehst.
All das solltest Du natürlich formal aufschreiben (z.B. durch Linksmultiplikation der gegebenen Matrix mit entsprechenden Elementarmatrizen). Die entstehende Matrix hat in der letzten Zeile eine 1 und den Rest 0 und daher kann die Determinante mit Laplace-Entwicklung nach der letzten Zeile bestimmt werde.
Die Untermatrix die entsteht hat gewisse Faktoren in den Zeilen, die sich vor die Determinante ziehen (und sich gut mit dem aus Laplace entstehenden Vorzeichen vertragen!) und was stehenbleibt ist die Matrix für den Fall $n -1$, von wo aus Deine Induktionsvoraussetzung greift...
Alles klar? Versuche es einfach mal, es ist nicht ganz einfach, aber auch nicht allzu schwer. Viel Erfolg! 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Also danke erstmal.
Ich hab das jetzt ausprobiert, und das kommt schon hin.
Allerdings versteh nicht, warum ich manche Schritte machen darf:
Erstes Problem:
> Ziehe das [mm]x_n[/mm]-fache der vorletzten Spalte von der letzten
> ab. Damit erzeugst Du unten rechts eine 0. Dann ziehst Du
> das [mm]x_n[/mm]-fache der vorvorletzten Spalte von der vorletzten
> ab usw. bis Du schließlich das [mm]x_n[/mm]-fache der ersten Spalte
> von der zweiten abziehst.
>
> All das solltest Du natürlich formal aufschreiben (z.B.
> durch Linksmultiplikation der gegebenen Matrix mit
> entsprechenden Elementarmatrizen).
Wenn ich das durchführe, komme ich schon auf das richtige Ergebnis, aber ich kenn das nur mit Zeilen und nicht mit Spalten, deshalb weiß ich auch nicht, wie ich das formal aufschreiben soll.
Weiteres Problem:
> Die Untermatrix die entsteht hat gewisse Faktoren in den
> Zeilen, die sich vor die Determinante ziehen (und sich gut
> mit dem aus Laplace entstehenden Vorzeichen vertragen!)
Wie ist das mit dem Vorzeichen?
Also, die Faktoren sind doch [mm] x_{n}- x_{0} [/mm] in der ersten Zeile
[mm] x_{n}- x_{1}) [/mm] in der zweiten Zeile usw. und schließlich [mm] x_{n}- x_{n-1}) [/mm] in der letzten Zeile.
Was ich allerdings nicht versteh, ist, dass ich die einfach vor die Determinante ziehen darf.
Den Rest versteh ich dann wieder.
Sorry, dass ich das trotz der Ausführlichkeit nicht alles verstanden hab.
Wäre sehr dankbar für eine Erklärung.
Gruß
Annette
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