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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 10.01.2009 | | Autor: | HUBA |
| Aufgabe | Es soll für das mittels einer Det. gegebene Polynom
[mm] \vmat{ x³ & a³ & b³ \\ x & a & b \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
die Produktdarstellung angegeben werden |
Ich hab den Tip bekommen nach der ersten Spalte zu entwickeln und dann das Horner Schema anzuwenden.
Wenn ich entwickle erhalte ich x³(a-b)-x(a³-b³)+a³b-ab³.
Jetzt komme ich allerdings nicht weiter, ich weiß nicht wie ich auf die erste Nullstelle kommen soll und wie ich das dann ins H.S. einzusetzen habe.
Übrigens:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
:)
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Das sieht aber sehr so aus, als sei es schonmal durch (a-b) teilbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 10.01.2009 | | Autor: | HUBA |
Dann erhalte ich
x³-x(a²-ab+b)+a²b+ab² aber ich sehe da immer noch kein Land....
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Du kommst weiter, wenn du dich an die Zerlegung
[mm]p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)[/mm]
erinnerst. (Die Richtigkeit dieser Formel kannst du sofort durch Ausmultiplizieren der rechten Seite bestätigen.)
Ich würde übrigens einen anderen Lösungsweg vorschlagen: Ersetze in der Determinante die erste Spalte durch die Differenz aus der ersten und zweiten Spalte und die zweite Spalte durch die Differenz aus der zweiten und dritten Spalte. Dabei ändert sich bekanntlich die Determinante nicht. Dann erst würde ich entwickeln, und zwar nach der neuen dritten Zeile. Auf diese Weise bekommst du sofort eine 2×2-Determinante. Und aus der ersten Spalte kannst du den Faktor [mm]x-a[/mm], aus der zweiten den Faktor [mm]a-b[/mm] herausziehen. Dazu brauchst du wieder die obige Formel.
Man kann auch ganz anders argumentieren. Man weiß ja, daß die Determinante ein Polynom in den Variablen [mm]a,b,x[/mm] ist. Fassen wir zunächst nur [mm]x[/mm] als Variable und [mm]a,b[/mm] als Parameter auf und schreiben wir für das Polynom [mm]f_{a,b}(x)[/mm]. Es gilt nun
[mm]f_{a,b}(a) = 0[/mm] und [mm]f_{a,b}(b) = 0[/mm]
Das liegt einfach daran, daß jeweils zwei Spalten der Determinante gleich sind, wenn man [mm]x[/mm] durch [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm] ersetzt. Die Determinante bekommt dann den Wert 0. Da das Polynom also die Nullstellen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] besitzt, kann man die Linearfaktoren [mm]x-a[/mm] und [mm]x-b[/mm] abspalten. Das kennt man schon von der Schule.
Und wenn man nun [mm]a[/mm] als Variable und [mm]b,x[/mm] als Parameter auffaßt, folgt mit dem Polynom [mm]g_{b,x}(a)[/mm] ebenso [mm]g_{b,x}(b) = 0[/mm]. Also kann man auch [mm]a-b[/mm] abspalten. Daher ist von vorneherein klar, daß die Determinante drei Linearfaktoren abspaltet. Aus Gradgründen bleibt noch ein linearer Faktor [mm]h(a,b,x)[/mm] übrig. Die Determinante muß also von folgender Bauart sein:
[mm](x-a)(x-b)(a-b)h(a,b,x)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Sa 10.01.2009 | | Autor: | HUBA |
Deinen Lösungsweg mit dem Erzeugen von Nullen bin ich mal weitergegangen.
Ich habe also aus der Det. [mm] \vmat{ x³-a³ & a³-b³ \\ x-a & a-b} [/mm] die Faktoren (x-a) und (a-b) abgespalten und die Determinante entwickelt, so dass ich
(x-a)(a-b)(x²+ax-ab-b²) erhielt.
Aus der rechten Klammer habe ich noch x-b abgespalten und erhalte dann die Darstellung: [mm] (x-a)(a-b)(x-b)(-\bruch{x}{b}-\bruch{a}{b}+\bruch{a}{x}+\bruch{b}{x}).
[/mm]
Ist das so korrekt, bzw. lässt sich das noch einfacher schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Sa 10.01.2009 | | Autor: | jumape |
Das lässt sich noch ein bischen einfacher schreiben. Der letzte Summand lässt sich auch schreiben:
[mm] \bruch{1}{bx} [/mm] (b-x)(b+x+a)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Sa 10.01.2009 | | Autor: | HUBA |
Alles klar, damit wäre das Teil dann schön in Faktoren zerlegt und ich kann mich ans zeichnen machen.
Vielen Dank noch mal an alle.
Da ich noch recht neu hier bin: Bin positiv überrascht, wie schnell man hier Hilfe bekommt! :)
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Was du zuletzt gerechnet hast, verstehe ich nicht. Es ist jedenfalls falsch. Gruppiere so:
[mm]x^2 + ax - ab - b^2 = \left( x^2 - b^2 \right) + \left( ax - ab \right)[/mm]
Vorne ist es jetzt die dritte binomische Formel. Und hinten? Und wie geht es dann weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 11.01.2009 | | Autor: | HUBA |
Sorry, da muss ich nochmal nachhaken. Warum ist das falsch?
Wenn ich (x-b) mit [mm] (-\bruch{x}{b}-\bruch{a}{b}+\bruch{a}{x}+\bruch{b}{x}) [/mm] multipliziere kommt doch wieder (x²+ax-ab-b²) raus, deshalb darf ich doch auch (x-b) abspalten, oder?
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Das geht zwar rechnerisch, ist doch aber in der Faktorisierung kein sinnvoller Schritt - die Variablen sollen nicht im Nenner auftauchen!
lg,
reverend
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Ich weiß nicht, was da gerechnet wird, aber diese Umformung ist völlig daneben. Sie ist falsch. Und zwar nicht nur ungeeignet. Nein, falsch!
Zwei Klammern werden nach der Regel "jeder mit jedem" ausmultipliziert.
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