Determinante einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Hakki |
| Aufgabe | Berechne die Determinante der Matrix [mm] A_{n}:
[/mm]
[mm] \pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{1} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{2} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} } [/mm] |
Nun habe ich mit der Laplace Entwicklung auf der ersten Zeile gestartet.
[mm] \pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{1} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{2} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} }
[/mm]
= x * det [mm] \pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{1} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{2} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{3} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1}} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1} a_{0} [/mm] * det [mm] \pmat{ -1 & x & 0 & ... & 0 \\ 0 & -1 & x & ... & 0 \\ 0 & 0 & -1 & x & ... \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1}
[/mm]
Die Determinante der rechten Matrix ist ja das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen, also [mm] (-1)^{n-1}
[/mm]
Aber auf die Determinante der linken Matrix komm ich nicht.
In Unterlagen hab ich gefunden, dass sie
[mm] (x)^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-1} (x)^{n-2}+...+ a_{1} [/mm] sein sollte.
Aber ich verstehe nicht wie.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 24.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Berechne die Determinante der Matrix [mm]A_{n}:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\
-1 & x & 0 & ... & a_{1} \\
0 & -1 & x & ... & a_{2} \\
.. & .. & .. & ... & .. \\
0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} }[/mm]
>
> Nun habe ich mit der Laplace Entwicklung auf der ersten
> Zeile gestartet.
>
> [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\
-1 & x & 0 & ... & a_{1} \\
0 & -1 & x & ... & a_{2} \\
.. & .. & .. & ... & .. \\
0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} }[/mm]
>
> = x * det [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{1} \\
-1 & x & 0 & ... & a_{2} \\
0 & -1 & x & ... & a_{3} \\
.. & .. & .. & ... & .. \\
0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1}}[/mm] + [mm](-1)^{n+1} a_{0}[/mm] * det [mm]\pmat{ -1 & x & 0 & ... & 0 \\
0 & -1 & x & ... & 0 \\
0 & 0 & -1 & x & ... \\
.. & .. & .. & ... & .. \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1}[/mm]
>
> Die Determinante der rechten Matrix ist ja das Produkt der
> Elemente auf der Hauptdiagonalen, also [mm](-1)^{n-1}[/mm]
> Aber auf die Determinante der linken Matrix komm ich
> nicht.
bei der linken Matrix entwickelst du wieder nach LaPlace. Dann erhälst du wieder eine Matrix, deren Det dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen entspricht und erneut eine Matrix, die Ähnlichkeit hat mit der jetzigen linken Matrix. Diese Matrix entwickelst du wieder nach LaPlace... das führst du bis zum Ende fort (ich hoffe, das ist einigermaßen verständlich) Du machst quasi das, was du für die Ausgangsmatrix gemacht hast, erneut für die "linke" Matrix. Im nächsten Schritt gibt es dann wieder eine "linke" Matrix, für die machst du das erneut. Und immer schön auf die Klammerung achten!
> In Unterlagen hab ich gefunden, dass sie
> [mm](x)^{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-1} (x)^{n-2}+...+ a_{1}[/mm] sein sollte.
> Aber ich verstehe nicht wie.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Di 24.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne die Determinante der Matrix [mm]A_{n}:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{1} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{2} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} }[/mm]
man kann nach Laplace entwickeln, aber man kann auch sowas machen, wie, dass man erstmal die Matrix in Dreiecksform bringt:
Zeile 1 bleibt stehen,
neue Zeile 2 ergibt sich aus: Zeile 2 + (Zeile [mm] 1)/$x\,$
[/mm]
neue Zeile 3 ergibt sich aus: Zeile 3 + (Zeile [mm] 2)/$x\,$
[/mm]
.
.
.
neue vorletzte Zeile ergibt sich als: letzte Zeile + (vorletzte [mm] Zeile)/$x\,$.
[/mm]
(Den Fall [mm] $x=0\,$ [/mm] kannst Du ja gesondert behandeln, oder Du nimmst ein etwas anderes Schema, musst dann aber eventuell aufpassen mit Multiplikationen [mm] ($\to$ [/mm] Rechenregeln für Determinanten)).
P.S.
In der Ausgangsmatrix sollte das rechts untere Element sicher [mm] $x+a_n$ [/mm] heißen!
Das PS war Quatsch!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 24.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne die Determinante der Matrix [mm]A_{n}:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{1} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{2} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} }[/mm]
>
> Nun habe ich mit der Laplace Entwicklung auf der ersten
> Zeile gestartet.
>
> [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{0} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{1} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{2} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1} }[/mm]
> = x * det [mm]\pmat{ x & 0 & 0 & ... & a_{1} \\ -1 & x & 0 & ... & a_{2} \\ 0 & -1 & x & ... & a_{3} \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+a_{n-1}}[/mm]
> + [mm](-1)^{n+1} a_{0}[/mm] * det [mm]\pmat{ -1 & x & 0 & ... & 0 \\ 0 & -1 & x & ... & 0 \\ 0 & 0 & -1 & x & ... \\ .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1}[/mm]
Warum benutzt Du nun eigentlich nicht einfach diese "Rekursionsformel", um "zur allgemeinen Lösung" zu gelangen?
Ich meine: Das ist nun das gleiche Schema, "die Einträge heißen nun nur ein wenig anders"...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
