Determinante eines Endomorphis < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 So 23.04.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei f der Endomorphismus von M(nxn, [mm] \IQ), [/mm] der durch die Transposition gegeben ist, f(M) = [mm] M^{t}.
[/mm]
Berechnen Sie die Determinante von f. |
Hallo miteinander,
ich weiß leider nicht ganz genau wie ich hier vorgehen soll. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
Zu erst einmal habe ich ja einen [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] gegeben und den Endomorphismus(der ja eine Matrix ist) f: M [mm] \to M^{t}. [/mm] Nun muß ich eine Basis B wählen. Da die Determinante ja nicht von der Wahl der Basis abhängt, kann ich ja eine beliebige Basis nehmen, oder?
det f:= det [mm] M_{B}(f), [/mm] da weiß ich leider nicht genau was das bedeuten soll.
det (M) = det [mm] (M^{t}) [/mm] hilft mir dieser Satz weiter???
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Gruß Vicky
|
|
| |
|
Es sei [mm]E_{ij}[/mm] die [mm]n \times n[/mm]-Matrix über [mm]\mathbb{Q}[/mm], deren Element in der [mm]i[/mm]-ten Zeile und [mm]j[/mm]-ten Spalte 1 ist, während die restlichen Einträge 0 sind. Die [mm]n^2[/mm] Matrizen [mm]E_{ij}, 1 \leq i,j \leq n[/mm] bilden eine Basis des Vektorraumes der rationalen [mm]n \times n[/mm]-Matrizen. Wenn man die Basis auf die folgende Art anordnet:
[mm]E_{11}, E_{22}, \ldots, E_{nn}; E_{12}, E_{21}; E_{13}, E_{31}; \ldots \ldots; E_{n-1,n}, E_{n,n-1}[/mm]
dann besitzt die das Transponieren von Matrizen beschreibende Transformationsmatrix bezüglich dieser Basis die Gestalt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Determinante von [mm]T_n[/mm] ergibt sich nach einer bekannten Determinantenregel als Produkt der Determinanten der Kästchenmatrizen. Und jetzt mußt du praktisch nur noch zählen, wie viele kleine quadratische Kästchenmatrizen es sind ...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 23.04.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank schon mal für Deine Antwort. Ich komme nun auf folgendes Ergebnis:
Die Anzahl der kleinen Kästchen beträgt [mm] \bruch{n^2 -n}{2}, [/mm] wenn die Anzahl ungerade ist, müßte die Derterminante -1 betragen. Bei gerader Anzahl von Kästchen dann +1.
Ist das soweit schon mal richtig?
Wie kann ich mir das an einem Beispiel am besten klar machen?
Vielleicht an einer 3x3 Matrix z.B. [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1\\ 3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3 }, [/mm] wenn ich da jetzt f drauf anwende erhalte ich ja die transponoierte [mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 3}. [/mm] Doch wie berechne ich das jetzt mit hilfe der [mm] E_{ij}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Gruß!
Die Schwierigkeit hier besteht ja darin, dass Dein Vektorraum der Raum aller $n [mm] \times [/mm] n$ Matrizen über [mm] $\IQ$ [/mm] ist und ein "Vektor" in diesem Raum ist ncihtsweiter als eine Matrix!
Die Abbildung $f$ wirkt nun durch Transponieren - und zwar auf dem ganzen Vektorraum, sprich auf allen Matrizen! Wenn Du Dir eine einzelne Matrix hinschreibst und ihr Transponiertes, hast Du damit einen bestimmten Vektor und sein Bild hingeschrieben - daran hast Du aber keine Chance, die Determinante der gesamten Abbildung zu erkennen.
Du musst es schon so machen, wie beschrieben wurde: betrachte die Standardbasis des Matrizenraumes. Das Schöne an dieser ist, dass durch Transponieren einer solchen Matrix der Form [mm] $E_{ij}$ [/mm] wieder eine Matrix der gleichen Form herauskommt, nämlich gerade die Matrix [mm] $E_{ji}$. [/mm] Für $i = j$ tut der Endomorphismus also nichts (die 1er auf der Diagonalen) und bei allen anderen wirkt er als Spiegelung auf dem Unterraum, der von [mm] $E_{ij}$ [/mm] und [mm] $E_{ji}$ [/mm] erzeugt wird. Das heißt, Du musst ermitteln, solcher Unterräume es gibt und das sind, richtig erkannt, genau die Anzahl der Paare $i,j [mm] \leq [/mm] n$ mit $i > j$ und das sind
[mm] $\sum_{k=1}^{n-1} [/mm] k = [mm] \frac{n^2 - n}{2} [/mm] = [mm] \frac{n(n-1)}{2}$
[/mm]
Diese Zahl ist genau dann gerade, falls $n$ oder $n-1$ durch 4 teilbar sind, oder anders gesprochen, falls $n [mm] \equiv [/mm] 0 (4)$ oder $n [mm] \equiv [/mm] 1 (4)$.
Also für $n = 4$ oder $n = 5$ kommt als Determinante 1 heraus, für $n = 6$ und $n = 7$ dann -1 und so weiter. 
Alles klar?
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 So 23.04.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank für die Hilfe. Das hat mir wirklich weitergeholfen.
Beste Grüße
Vicky
|
|
|
| |
|
Du kannst es übrigens auch so machen:
Definiere für [mm]1 \leq i < j \leq n[/mm] die Matrizen [mm]F_{ij} = E_{ij} + E_{ji}[/mm] und [mm]G_{ij} = E_{ij} - E_{ji}[/mm]. Betrachte dann die folgende geordnete Basis des Matrizenraumes:
[mm]E_{11}, E_{22}, \ldots, E_{nn}; \ F_{12}, F_{13}, \ldots, F_{n-1,n}; \ G_{12}, G_{13}, \ldots, G_{n-1,n}[/mm]
Daß das eine Basis ist, leuchtet ein; denn die Matrizen bilden ein Erzeugendensystem, weil sich ja die definierenden Gleichungen leicht nach den Matrizen [mm]E_{ij}[/mm] und [mm]E_{ji}[/mm] der kanonischen Basis auflösen lassen, und alles zusammen sind es gerade [mm]n^2[/mm] Matrizen.
Wie sieht die Transformationsmatrix des Transponierens bezüglich dieser Basis aus? Was ist ihre Determinante?
|
|
|
|
