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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A = [mm] (a^i_j) \in \IR^{nxn} [/mm] mit [mm] a^i_j [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{} ij \mbox{} \end{cases} [/mm] |
Hallo,
habe einfach mal ein paar n's ausprobiert und bin zum folgenden ergebnis gekommen
(i) für n =2m, m [mm] \in \IN \{0} [/mm] ist det(A) = 1
(ii) für n =2m+1, m [mm] \in \IN [/mm] ist ist det(A) =0
(ii) ist kein problem, hier handelt es sich ja um eine antisymmetrische matrix
also
[mm] A^T [/mm] = -A
det(A) = [mm] det(A^T) [/mm] = det (-A) = [mm] (-1)^n [/mm] det(A)
det(A) = - det(A)
det(A) = 0
(i) wollte es mit hilfe der induktion beweisen aber scheitere beim Induktionsschritt
Induktionsanfang m = 1
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
det(A) = 1
Induktions vorraussetzung
für (m-1) [mm] \in \IN [/mm] gilt det(A) = 1
Induktionsschritt m-1~> m
die matrix hat ja 2m zeilen und 2m spalten, für 2m-2 zeilen/spalten weiß ich ja, das die determinante dann 1 ist, wenn ich noch eine zeile/spalte dazu nehme habe ich dan eine 2m-1 matrix, wo ich die determinante ja auch schon durch (ii) bestimmt habe det = 0
aber wie mache ich dann weiter? wie mache ich jetzt im schritt weiter?
danke für die hilfe
LG Ray
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Hallo,
Habe im Forum das hier gefunden: Determinanteneigenschaft. Das koennte helfen.
Es gibt sicherlich noch einen einfacheren Weg.
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Ray07 |
danke, aber bringt mich leider nicht weiter
weil ich die formel die er aus der aufgabe 4 benutzen kann, leider nicht selber habe, bzw. nicht ganz nachvollziehen kann
LG
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hallo Ray07,
dann habe ich hier noch eine andere Idee. Ziel: Matrix in obere Dreiecksform bringen. Dann ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge.
Betrachte
[mm] \vmat{ 0 & 1 &\cdots &1\\ -1 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&\cdots& 0}
[/mm]
Seien [mm] v_i [/mm] die Zeilenvektoren
Durch elementare Zeilenoperationen setzt du
[mm] v'_{2m-1}=v_{2m-1}+\sum_{i=1}^{m-1}(v_{2i-1}-v_{2i})=v_{2m-1}+(v_1-v_2)+(v_3-v_4)+\ldots+(v_{2m-3}-v_{2m-2}), [/mm]
wobei sich die Determinante nicht ändert.
Schau dir an, wie die einzelnen Summanden [mm] (v_{2i-1}-v_{2i}) [/mm] aussehen: Sie unterscheiden sich vom Nullvektor nur dadurch, dass an (2i-1)-ter und 2i-ter Stelle Einsen stehen. Es folgt [mm] v'_{2m-1}=v_{2m-1} [/mm] +(1, 1, [mm] \ldots, [/mm] 1, 0, [mm] 0)=(0,0,\ldots, [/mm] 0,0,-1). Dabei sind die ersten (2m-2) Einträge gleich.
Analog eliminierst du die ersten (2m-2) Einträge des Zeilenvektors [mm] v_{2m} [/mm] durch Addition der gleichen Summe.
Am Ende hast du unverändert unten rechts die [mm] 2\times2 [/mm] Matrix wie bei deinem Induktionsanfang. Diese ist in oberer Dreiecksform [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] mit Diagonalprodukt 1. Über die [mm] (2m-2)\times (2m-2)[/mm] Unterdeterminante (oben links) weißt du, dass sie 1 ist. Also kann man sie auch in eine obere Dreiecksgestalt bringen, sodass das Produkt der Diagonaleinträge 1 ist. Dann ist das Produkt aller Diagonaleinträge in oberer Dreiecksform auch 1.
Hoffe, das hilft mehr.
Gruß,
kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Ray07 |
danke schön ^^
hat mir echt weiter geholfen
nur meintest du echt die 2i und die 2i-1 te stelle und nicht doch die i und die i+1 stelle?
habe die formeln nicht so ganz nachvollziehen können, aber die idee und hab so auch jetzt die aufgabe gelöst^^ vielen dank
LG Ray
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mo 07.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> danke schön ^^
> hat mir echt weiter geholfen
> nur meintest du echt die 2i und die 2i-1 te stelle und
> nicht doch die i und die i+1 stelle?
Wo, in der Summe?
Nein, das meinte ich schon ernst. Ich habe ja auch nur bis m-1 summiert und mit jedem Summand gleich zwei Zeilenvektoren abgearbeitet.
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> habe die formeln nicht so ganz nachvollziehen können, aber
> die idee und hab so auch jetzt die aufgabe gelöst^^ vielen
> dank
Freut mich
>
> LG Ray
Kamaleonti
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