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| Aufgabe | V ist ein K-Vektorraum der Dimension n>2
[mm] B=(v_1,..,v_n) [/mm] eine Basis von V.
Man kann für a,b,c [mm] \in \IK [/mm] definieren:
[mm] \overline{v_1}=v_1 +bv_2+cv_3
[/mm]
[mm] \overline{v_2}=av_1+bv_2
[/mm]
[mm] \overline{v_k}=v_k [/mm] für k=3,...,n
Gesucht ist die Determinante derÜbergangsmatrix von B nach [mm] \overline{B}=(\overline{v_1},...,\overline{v_n} [/mm] und bestimme alle [mm] a,b,c\ib [/mm] K so, dass [mm] \overline{B} [/mm] eine Basis von V ist. |
Ich habe leider die Mitschrift der Vorlesung nicht, aber ist die Übergangsmatrix nicht das gleiche wie eine Transformationsmatrix?
Übergangsmatrix von B nach [mm] \overline{B} [/mm] heißt doch, dass die Spalten von der Transformationsmatrix die Koordinaten von B in der Basis [mm] \overline{B}.
[/mm]
Könnt ihr mir das nochmal erklären?
MfG
Mathegirl
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> V ist ein K-Vektorraum der Dimension n>2
> [mm]B=(v_1,..,v_n)[/mm] eine Basis von V.
> Man kann für a,b,c [mm]\in \IK[/mm] definieren:
Hier gibt es aber noch Einschränkungen für a,b,c, oder?
>
> [mm]\overline{v_1}=v_1 +bv_2+cv_3[/mm]
> [mm]\overline{v_2}=av_1+bv_2[/mm]
> [mm]\overline{v_k}=v_k[/mm] für k=3,...,n
>
> Gesucht ist die Determinante derÜbergangsmatrix von B nach
> [mm]\overline{B}=(\overline{v_1},...,\overline{v_n}[/mm] und
> bestimme alle [mm]a,b,c\ib[/mm] K so, dass [mm]\overline{B}[/mm] eine Basis
> von V ist.
>
> Ich habe leider die Mitschrift der Vorlesung nicht, aber
> ist die Übergangsmatrix nicht das gleiche wie eine
> Transformationsmatrix?
Hallo,
ja. Die Basistransformationsmatrix, welche Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solchen bzgl [mm] \overline{B} [/mm] ausdrückt.
>
> Übergangsmatrix von B nach [mm]\overline{B}[/mm] heißt doch, dass
> die Spalten von der Transformationsmatrix die Koordinaten
> von B in der Basis [mm]\overline{B}.[/mm]
Ja.
>
> Könnt ihr mir das nochmal erklären?
Was denn? Du hast es doch schon gesagt.
Schreibe jetzt die [mm] v_i [/mm] als Linearkombination der [mm] \overline{v_i} [/mm] und stell die Matrix auf.
Oder schreib die Matrix für den Übergang von [mm] \overline{b} [/mm] nach B hin, berechne ihre Determinante und wisse, daß dies die Inverse der anderen ist...
Das ist die bequeme Variante.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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Nein, es waren keine weiteren Einschränkungen für [mm] a,b,c\in [/mm] K gegeben.
Hmmm...theoretisch weiß ich ja was hier gemacht werden soll, das habe ich ja geschrieben, aber ich hänge (mal wieder wie so oft) an der Umsetzung...
Wie bilde ich denn hier die Linearkombinantion aller [mm] v_i [/mm] mit den [mm] \overline{v_i}? [/mm]
Ich weiß auch nicht wie man die Matrix für den Übergang von [mm] \overline{b} [/mm] nach B bildet.
Kannst du mir hier vielleicht etwas auf die Sprünge helfen?
MfG
Mathegirl
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> Nein, es waren keine weiteren Einschränkungen für
> [mm]a,b,c\in[/mm] K gegeben.
Hallo,
das ist nicht gut, denn wenn a=b=0, dann ist [mm] \overline{B} [/mm] ja gar keine Basis.
>
> Hmmm...theoretisch weiß ich ja was hier gemacht werden
> soll, das habe ich ja geschrieben, aber ich hänge (mal
> wieder wie so oft) an der Umsetzung...
Du bist ein echter Härtefall...
Wenn Du die "Theorie" verstandne hättest, wäre auch die Umsetzung kein Problem, sag ich mal ganz unvorsichtig.
>
> Wie bilde ich denn hier die Linearkombinantion aller [mm]v_i[/mm]
> mit den [mm]\overline{v_i}?[/mm]
Du löst halt die Gleichungen so auf, daß [mm] v_i [/mm] freistehen.
Wo genau liegt Dein Problem.
Falls Dir das n Sorgen macht, lös die Aufgabe halt erstmal für n=7.
Die zeit, die das kostet, sparst Du an anderer Stelle.
>
> Ich weiß auch nicht wie man die Matrix für den Übergang
> von [mm]\overline{b}[/mm] nach B bildet.
Aber Du kannst ja das Sprüchlein noch, oder?
Weißt Du eigentlich, was Koordinatenvektoren sind?
Oder woran sonst scheitert es?
Sag' den Spruch und sag' genau, wo Du weshalb hängst. Ganz konkret.Nix mit "Schlauch" oder "Theorie".
>
> Kannst du mir hier vielleicht etwas auf die Sprünge
> helfen?
Ich versuch's.
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Sa 28.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe hier auch noch meine Probleme.
Könnt ihr das nochmal erklären oder Lösungsansätze geben?
Das ist mir noch nicht klar!
LG heinze
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> Ich habe hier auch noch meine Probleme.
> Könnt ihr das nochmal erklären oder Lösungsansätze
> geben?
> Das ist mir noch nicht klar!
>
>
> LG heinze
Hallo,
mir geht's auf den Wecker, daß Du Dich nicht konkret auf das Geschriebene beziehst.
Keiner weiß, was genau Du mit "hier" und "das" meinst,
und ich verstehe auch nicht, welcher Art die Lösungsansätze sein sollen, die Du noch erwartest.
Gegeben ist hier eine Basis [mm] B:=(v_1,..., v_n) [/mm] .
Es werden [mm] \overline{v_i} [/mm] definiert als Linearkombination der Vektoren aus B.
Unter gewissen Umständen - möglicherweise werden diese in einem vorhergehenden Aufgabenteil geklärt - bilden diese [mm] \overline{v_i} [/mm] ebenfalls eine Basis, welche [mm] \overline{B} [/mm] genannt wird.
Gesucht ist nun die Determinante der Matrix, welche den Übergang von B nach [mm] \overline{B} [/mm] beschreibt, nennen wir sie [mm] M^{B}_{\overline{B}}(id).
[/mm]
Mein Tip: es ist [mm] M^{B}_{\overline{B}}(id) [/mm] die Inverse von [mm] M_{B}^{\overline{B}}(id).
[/mm]
[mm] M_{B}^{\overline{B}}(id) [/mm] kann man leicht aufstellen.
Was steht in den Spalten dieser Matrix? (Spruch?)
Nun setze das um, oder frag konkret, an welcher Stelle des Sprüchleins die Umsetzung Probleme macht.
Wenn Du die Matrix hast, kannst Du ihre Det. berechnen, und dann überlege Dir, was die Det der gesuchten matrix mit der gerade berechneten zu tun hat.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 29.01.2012 | | Autor: | heinze |
Sorry, ich wollte hier niemanden durch unklare Fragen verärgern.
Ich soll die Übergangsmatrix von B nach [mm] \overline{B} [/mm] bestimmen.
Das Problem ist die Erstellung der Darstellungsmatrix.
In der Darstellenden Matrix [mm] M_\overline{B}^B(id) [/mm] bezüglich der Basen B im Urbildraum und [mm] \overline{B} [/mm] im Bildraum, stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bezüglich [mm] \overline{B}. [/mm]
Mir fehlt hier eine Abbildung, wobei ich die ja nicht benötige, da die Linearkombination gegeben ist. Ich komme nicht auf den richtigen Anfang.
LG heinze
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Also wenn ich das richtig verstanden habe musst du:
[mm] \overline{v_{1}} [/mm] als Linearkombination der Basis B schreiben. Ebenso verfährst du mit [mm] \overline{v_{2}}, \overline{v_{k}}. [/mm] Wenn du das gemacht hast trägst du das Ergebnis als Spalten in deine Übergangsmatrix von [mm] \overline{B} [/mm] nach B ein. Wenn du nun davon die Inverse berechnest, hast du genau die Übergangsmatrix die du suchst.
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Ich hab mir gerade überlegt, das ich die inverse Matrix aber auch gar nicht auszurechnen brauche, ich kann doch einfach die Determinanten der Matrix von [mm] \overline{B} [/mm] nach B ausrechnen, und wenn ich dann 1 durch diese Determinate teile erhalte ich die Determinante der Matrix von B nach [mm] \overline{B}, [/mm] ist das richtig so?
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Hat vielleicht noch jemand einen Tipp für mich wie ich a,b,c [mm] \in [/mm] K so bestimmen kann das [mm] \overline{B} [/mm] eine Basis von V ist? Ich habe mir überlegt das wenn ich a,b,c so aussuchen könnte, dass [mm] \overline{B} [/mm] = B ist, [mm] \overline{B} [/mm] logischerweise auch Basis von V sein muss! Aber das bekomme ich irgendwie nicht hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du kannst a,b,c nicht so waehlen, dass B=B' ist.
alle Basisvektoren ab [mm] v_3 [/mm] bleiben ja. also muessen doch nur die ersten 2 untersucht werden, ob sie lin unabh. von [mm] v_3 [/mm] bis [mm] v_n [/mm] sind, und untereinander
Schnell sollte man sehen, bei welchen a,b,c das bei k=3 schief geht.
Was aendert sich, wenn k>3
Gruss leduart
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> Ich hab mir gerade überlegt, das ich die inverse Matrix
> aber auch gar nicht auszurechnen brauche, ich kann doch
> einfach die Determinanten der Matrix von [mm]\overline{B}[/mm] nach
> B ausrechnen, und wenn ich dann 1 durch diese Determinate
> teile erhalte ich die Determinante der Matrix von B nach
> [mm]\overline{B},[/mm] ist das richtig so?
Hallo,
ja, genau.
Wer genug weiß, kann viel Mühe sparen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 29.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ich formulier das hier mal als Frage, nicht das ich hier etwas falsches als wahr verkaufen will ^^
Man hat in der Aufgabenstellung ja schon $ v'_k = [mm] v_k [/mm] $ für k =3,...,n gegeben. Damit kann man doch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] mit Hilfe der anderen beiden Angaben ausrechnen. das ist alles nur Termumformung und ein wenig Bruchrechnung. Dadurch erhält man dann die Spalten der Darstellungsmatrix.
Oder täusch ich mich da?
LG
Fin
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> Man hat in der Aufgabenstellung ja schon [mm]v'_k = v_k[/mm] für k
> =3,...,n gegeben. Damit kann man doch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] mit Hilfe
> der anderen beiden Angaben ausrechnen. das ist alles nur
> Termumformung und ein wenig Bruchrechnung. Dadurch erhält
> man dann die Spalten der Darstellungsmatrix.
> Oder täusch ich mich da?
Hallo,
nein.
Wichtig ist halt, daß man sich vorher klarmacht, für welche a,b,c die Menge [mm] \overline{B} [/mm] überhaupt eine Basis ist, denn sonst kann man ja keine Matrix für den Basisübergang aufstellen.
LG Angela
>
> LG
> Fin
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Da es nun eh zu spät ist für das Übungsblatt und ich es aber trotzdem gerne verstehen würde, vielleicht kann es mir trotzdem nochmal jemand erklären wie man über die Linearkombinatiunen zur Übergangsmatrix kommt.
Das ist mir leider nicht klar geworden, würde es aber schon gerne verstehen!!
MfG
Mathegirl
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> Da es nun eh zu spät ist für das Übungsblatt und ich es
> aber trotzdem gerne verstehen würde, vielleicht kann es
> mir trotzdem nochmal jemand erklären wie man über die
> Linearkombinatiunen zur Übergangsmatrix kommt.
Hallo,
ich weiß jetzt nicht genau, ob Dir nach der Matrix für den Übergang von B nach [mm] \overline{B} [/mm] gelüstet, oder von [mm] \overline{B} [/mm] nach B.
Ersteres hat Dir der Kommilitone hier doch erklärt.
Schreibdie Linearkombinationen (weißt Du, was das ist?) nochmal hin, und sag' dann, woran es scheitert. Weißt Du nicht, was Koordinatenvektoren sind, oder wie?
Du mußt schon genauer sagen, wo die Probleme liegen.
Es bringt ja nichts, gebetsmühlenartig immer dasselbe zu schreiben, offenbar kommt es oben nicht an.
LG Angela
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ich kriege schon die Linearkombination bei der Aufgabe nicht hin :( Und daher komme ich auch nicht weiter.
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich kriege schon die Linearkombination bei der Aufgabe
> nicht hin
Wieso "kriegst" Du das nicht hin ? Die Linearkombinationen sind doch gegeben:
$ [mm] \overline{v_1}=v_1 +bv_2+cv_3 [/mm] $
$ [mm] \overline{v_2}=av_1+bv_2 [/mm] $
$ [mm] \overline{v_k}=v_k [/mm] $ für k=3,...,n
FRED
> :( Und daher komme ich auch nicht weiter.
>
>
> MfG
> mathegirl
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