Determinante und Volumen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mo 24.01.2005 | | Autor: | arzoo |
Wir sollen das Volumen der konvexen Hülle der Punkte bestimmen .Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ich weiß nähmlichnich wie ich das machen muss .
[mm] P_1= \vektor{0\\ 2\\-1} P_2= \vektor{1\\ 1\\-1} P_3= \vektor{-2\\ 0\\0} P_4= \vektor{0\\ 1\\ 2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 24.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Wir sollen das Volumen der konvexen Hülle der Punkte
> bestimmen .Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ich
> weiß nähmlichnich wie ich das machen muss .
>
> [mm]P_1= \vektor{0\\ 2\\-1} P_2= \vektor{1\\ 1\\-1} P_3= \vektor{-2\\ 0\\0} P_4= \vektor{0\\ 1\\ 2}[/mm]
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Hallo arzoo
Die 4 Punkte sind die Ecken eines Tetraeders (Pyramide mit 3 seitigem Grundriss).
Auch für diese Pyramide gilt die Volumenformel [mm] $V=\frac13 [/mm] G [mm] \cdot [/mm] h$.
Vielleicht kannst du damit etwas Anfangen.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 25.01.2005 | | Autor: | arzoo |
hmm nein ich versehe nich so ganz wie ich mit den ganzen p´s und der Formel zusammen arbeiten kann ? einsetzten geht ja wohl nicht ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Nehme wir mal [mm] $P_1P_2P_3$ [/mm] als Grunddreieck und [mm] $P_4$ [/mm] als Spitze der Pyramide.
Dann ist die Fläche G des Grunddreiecks gegeben durch [mm] $\frac12|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}|$.
[/mm]
Weil [mm] $\vec [/mm] n= [mm] \frac{\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}} {|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}|}$ [/mm] zugleich Normalenvektor der Grundebene ( in der das Dreieck [mm] $P_1P_2P_3$ [/mm] liegt) ist, erhält man die Höhe als Projektion von
[mm] $\overrightarrow{P_1P_4}$ [/mm] auf die Richtung des Normalenvektors. Diese Projektion berechnet man mit Hilfe des Skalarprodukts.
Es gilt daher [mm] $h=|\vec n\bullet\overrightarrow{P_1P_4}|$. [/mm] Setzt man alles in die Volumenformel [mm] $V=\frac13\,G\cdot [/mm] h$ ein, so erhält man
[mm] $V=\frac16|(\overrightarrow{P_1P_2}\times \overrightarrow{P_1P_3})\bullet\overrightarrow{P_1P_4}|$
[/mm]
Der letzte Ausdruck ist gerade das gemischte Produkt oder das Spatprodukt von 3 Vektoren.
Es entspricht der Determinante eine Matrix mit den Spaltenvektoren [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3},\overrightarrow{P_1P_4}$.
[/mm]
Ergo gilt [mm] $V=\frac16|\det(\overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3},\overrightarrow{P_1P_4})|$
[/mm]
mfG Moudi
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