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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Di 07.03.2006 | | Autor: | D.Koyu |
Hi alle zusammen :),
zwei Fragen habe ich:
1. Was für Schlüsse kann ich alles daraus ziehen, wenn die Determinante einer Matrix A null ergibt, vor allem in Bezug auf Eigenwerte/Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit, Lösbarkeit eines LGS?
2. Was für Schlüsse kann ich daraus ziehen, wenn die Eigenvektoren der Matrix A linear unabhängig bzw. abhängig sind?
Wenn mir das mal jemand auf den Punkt zusammenfassen könnte, dann wäre ich sehr glücklich ^^ :). Danke schon mal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Di 07.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Hi alle zusammen :),
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> zwei Fragen habe ich:
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> 1. Was für Schlüsse kann ich alles daraus ziehen, wenn die
> Determinante einer Matrix A null ergibt, vor allem in Bezug
> auf Eigenwerte/Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit,
> Lösbarkeit eines LGS?
Nun, du weisst das 0 ein Eigenwert von $A$ ist, und der Eigenraum zu $0$ entspricht dem Kern von $A$. (Das siehst du direkt, wenn du dir das Charakteristische Polynom an der Stelle $x=0$ anschaust, und die Definition von Eigenraum zum Eigenwert $0$.)
Diagonalisierbar ist so eine Matrix im Allgemeinen nicht, nimm etwa eine beliebige quadratische nicht diagonalisierbare Matrix und haeng rechts und unten eine Spalte bzw. Zeile mit nur 0'en drin an: Die entstehende Matrix ist ebenfalls nicht diagonalisierbar und ihre Determinante ist $0$.
Wenn du ein LGS a la $A x = b$ hast, und [mm] $\det [/mm] A = 0$ ist, dann ist das LGS i.A. nicht loesbar: Fuer spezielle Wahlen von $b$ gibt es zwar eine Loesung, aber nicht fuer alle (die Dimension des Bildes von $A$ muss echt kleiner als die Dimension des Raumes sein, siehe Dimensionsformel, womit das Bild von $A$ nicht der ganze Raum sein kann und es also solche $b$ gibt). Wenn es allerdings Loesungen gibt, dann mehrere, da der Kern nichttrivial ist.
> 2. Was für Schlüsse kann ich daraus ziehen, wenn die
> Eigenvektoren der Matrix A linear unabhängig bzw. abhängig
> sind?
Zwei Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhaengig.
Wenn du zwei Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert hast, dann kann es natuerlich vorkommen das der eine ein Vielfaches vom anderen ist und sie deshalb linear abhaengig sind. Zu einer interessanten Aussage wird es erst, wenn je zwei Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert linear abhaengig sind: Dann bedeutet das gerade, das der Eigenraum die Dimension 0 oder 1 hat, wobei Dimension 0 nur dann auftritt, wenn es gar keinen Eigenvektor zu diesem Eigenwert gibt.
Hilft dir das?
LG Felix
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