Determinantenberechnung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Fr 02.11.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] \vmat{2&5&-3&-2\\-2&-3&2&-5\\1&3&-2&2\\-1&-6&4&3} [/mm] |
in der vorlesung haben wir determinanten und deren eigenschaften kennen gelernt, außerdem die regel von sarrus angewandt- wir können also [mm] 3\times3 [/mm] matrizen lösen. nun bin ich mir folglich bei dieser [mm] 4\times4 [/mm] matrix nicht ganz sicher....im tafelwerk fand ich eine formel, bei der unterdeterminanten eingeführt werden: ich erhielt für obige aufgabe -100. jedoch würde ich gern noch den lösungsweg über die determinanteneigentschaften und den gauss-algorithmus verstehen: ich habe also zu den einzelnen zeilen jeweils das [mm] \lambda [/mm] -fache einer anderen zeile addiert (gemäß der determinanteneigenschaften bleibt die determinante dabei ja unverändert)- bis ich folgende determinante in zeilenstufenform erhielt: [mm] \vmat{2&5&-3&-2\\0&2&-1&-7\\0&0&-1&19\\0&0&0&4}
[/mm]
nun ergibt sich aus der leibnizschen definition ja, dass nur noch das produkt der hauptdiagonalelemente stehen bleibt, die restlichen summanden werden gleich null. daraus ergibt sich wiederum -16.
natürlich stimmen beide ergebnisse nicht überein....und wahrscheinlich ist keins der beiden richtig?!
ich nehme an, ich kann nicht einfach so multiplizieren und addieren, ohne, dass sich der wert der determinante verändert- schließlich muss man ja auch die gesamte determinante mit [mm] \lambda [/mm] multiplizieren, wenn man dies mit einer reihe tut. so ganz verstehe ich wohl noch nicht den unterschied. wo liegen meine fehler?
vielen dank schon mal fürs nachrechnen und erklären!
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Hallo jura,
also es gibt mehrere Wege um eine Determinante zu berechnen. Die eine Möglichkeit ist, man wendet den Gauss-Algo an und multipliziert dann die Elemente auf der Hauptdiagonalen zusammen.
Das geht, weil:
Vertauschen von 2 Zeilen => det A wechselt das Vorzeichen
Multiplikation des [mm] \lambda-fachen [/mm] zu einer Zeile => det A wird zu [mm] \lambda*detA [/mm] für [mm] \lambda \not=0
[/mm]
Addition einer Zeile zu einer anderen => det A bleibt gleich.
Das hast du ja getan, aber das Resultat stimmt nicht so ganz. [mm] detA\not=-16
[/mm]
Für 4mal4 Matrizen verwendet man den Laplaceschen Entwicklungssatz (mit Schachbrettmuster). Das ist die einfachste und schnellste Methode. Kennst du diese? Man entwickelt nach Spalten oder Zeilen und betrachtet die "Unterdeterminanten".
Ich versuche mal vorzurechnen:
$ [mm] \vmat{2&5&-3&-2\\-2&-3&2&-5\\1&3&-2&2\\-1&-6&4&3} [/mm] $
Die Idee ist folgende. Du kannst die Determinante folgendermassen bestimmen:
[mm]detA = 2*det \pmat{-3&2&-5 \\ 3&-2&2 \\ -6&4&3} - 5*det \pmat{-2&2&-5 \\ 1&-2&2 \\ -1&4&3} -3 *det \pmat{-2&-3&-5 \\ 1&3&2 \\ -1&-6&3} + 2*det \pmat{-2&-3&2 \\ 1&3&-2 \\ -1&-6&4}[/mm]
Das sind jetzt alles 3mal3 Matrizen und von denen kannst du ja die determinante berechnen.
bspw. für die Entwicklung nach der 1.Zeile, 1.Element:
[mm]2* (-3 *(-2*3-4*2)-2*(3*3-(-6)*2)-5*(3*4-(-6)*(-2)) = 2*(42-42+0)=0[/mm]
Man betrachtet also die Matrix ohne Zeile 1 und Spalte 1. Für die Entwicklung nach der 1.Zeile, 2.Element betrachtet man die Matrix ohne 1.Zeile und 2.Spalte usw.
Die Berechnung der Determinante einer 4mal4 Matrix ist also die Berechnung der Determinanten von 4 3mal3 Matrizen. Das resultat sollte -4 sein, glaube ich. Ich hoffe, dass ich mich nicht irgenwo verschrieben habe :D
Ciao
GorkyPark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Fr 02.11.2007 | | Autor: | jura |
cool, danke! also, es stimmt wohl -4
nur warum.....schade, dass solche programme keine erklärungen und lösungswege liefern, ich hab meinen fehler immer noch nicht finden können....
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:36 Fr 02.11.2007 | | Autor: | jura |
danke für deine antwort!
genau so habe ich es ja auch versucht- und bei dem ersten element komme ich ebenfalls auf 0, für das zweite erhalte ich -40, für das dritte 36 und für das letzte -96 und so komme ich am ende dann eben leider nicht auf -4, sondern auf 100. kannst du mir vielleicht sagen, in welchem element mein fehler liegt- dann musst du mir nicht die ganze rechnung abtippen, denn das wird ganz schön aufwendig....
und ich habe noch ne frage- wie gesagt, ich hätte gern noch die lösung über den gauss....du schriebst:>
> Multiplikation des [mm]\lambda-fachen[/mm] zu einer Zeile => det A
> wird zu [mm]\lambda*detA[/mm] für [mm]\lambda \not=0[/mm]
> Addition einer
> Zeile zu einer anderen => det A bleibt gleich.
>
>wir haben jedoch gelernt: wenn die matrix A* aus der Matrix A dadurch hervor geht, dass man in A zu einer zeile das [mm] \lambda [/mm] -fache einer anderen addiert, so gilt detA*=detA
und dies ist ja nun irgendwie eine vermengung deiner beiden sätze, oder- gar ein widerspruch?! wie gesagt, ich weiß am bsp dann nicht sicher, in welchem fall ich die determinante noch mit dem jeweiligen faktor multiplizieren muss und in welchem nicht. wär lieb, wenn du mir das genauer erklären oder vorrechnen könntest?
thanks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Sa 03.11.2007 | | Autor: | jura |
etwas abstand tut manchmal doch ganz gut- ich habe meinen fehler gefunden- ein vzf im letzten element- ich komme also mit dem laplaceschen verfahren auf die richtige lösung von -4.
allerdings blicke ich mit dem gauss algo immer noch nicht so ganz durch. in erklärungen steht immer, dass in der ersten zeile, erste spalte eine 1 stehen muss(!)- ansonsten sind zeilen zu vertauschen. sicher, in einigen fällen kann das hilfreich sein, doch in anderen bietet es sich doch auch an, die erste zeile so zu belassen, oder? desweiteren habe ich meiner meinung nach in der schule mal gelernt, dass man beliebige zeilen vervielfachen und addieren kann- es muss also nicht zwangsläufig immer die erste zeile verwendet werden, oder?
es wäre wirklich nett, wenn mir einer mal obige aufgabe mit dem gauss vorrechnen könnte- vielleicht begreife ich am bsp dann besser....
liebe grüße und vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 So 04.11.2007 | | Autor: | jura |
die aufgabe ließ mir einfach keine ruhe....ich habe solange weitergerechnet, bis ich das prinzip selbst verstanden habe und nun auch meinen denkfehler gefunden habe- falls es noch jemanden interessiert, hier also die determinante, nach gauss-umformung:
[mm] \vmat{1&3&-2&2\\0&-1&1&-6\\0&0&1&-19\\0&0&0&4}
[/mm]
nun muss man ja nach der leibnizformel nur noch die hauptdiagonale ablesen, es erbigt sich folglich: 1*(-1)*1*4=-4
und dies ist ja nun tatsächlich der wert der determinante!
juhu! manchmal ist es also auch gar nicht so schlecht, wenn nicht sofort jemand antwortet.....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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