Determinantenumformung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich würde gerne wissen ob bei der Berechnung einer Determinante (also wenn man dann die Diagonale mutlipliziert)der Spalten- und Zeilentausch definiert ist und ob ich dabei was mit Vorzeichen beachten muss.
Außerdem habe ich beim Lösen der lin. Gleichungssysteme noch das Problem, dass ich nie weiß, wann ich aufhören kann zu rechnen und wann ich weiterrechnen muss um 1en und 0en in der Matrize zu haben.
Bei der Berechnung von Inversen scheint es mir, dass ich in der Matrix nur 1en in der Diagonale haben darf und ansonsten nur Nullen. Ist das richtig? Bei der Determinantenberechnung spielt es dann keine Rolle, sodas es reicht, wenn ich in der unteren Dreiecksmatrix nur Nullen hab?
Bekomme ich dann trotzdem immer eine richtige Lösung, wenn ich die Diagonale multipliziere?
Beim Gauß-Algorithmus dagegen darf ich aufhören, wenn ich die Identitätsmatrix habe?
Ich wäre sehr dankbar für die Aufklärung :)
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Bei dieser Umformung musst du üben und dann geht es immer einfacher. Du kannst die Zeilen wahllos miteinender aufrechnen. du musst es nur geschickt machen. versuch es hier doch mal an einem beispiel.
Vorzeichen sind natürlich zu beachten.
Das mit den 1sen und Nullen? Was meinst du genau? Einheitsmatrix?
Ja eine Diagonale mit einsen, darum geht es ja dabei... lies dir mal ne definition in deinem mathebuch durch dann erfährst du denn sinn. so genau weiß ich das auch nicht mehr 
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Ok, ich setz nochmal an :)
1) Also. Wenn ich eine Inverse berechnen will, muss ich die Matrize ja mit der Einheitsmatrix erweitern und dann auf eine Diagonale mit 1en kommen und bei der Einheitsmatrix dann die Inverse ablesen. Frage ist aber: Muss ich unter UND über dieser DIagonale Nullen stehen haben, oder reicht es, wenn ich nur unter der Diagonale Nullen hab und darüber ganz andere Zahlen?
zB
1 0 0 | 1 2 3
0 1 0 | 4 5 6
0 0 1 | 7 8 9
Könnte ich aber auch dieses Ergebnis haben und da schon aufhören um die Inverse zu berechnen?
1 2 2 | 1 2 3
0 1 3 | 4 5 6
0 0 1 | 7 8 9
2) Bei der Berechnung der Determinante: Darf ich Zeilen und Spalten tauschen? Also beim Zeilentausch weiß ich, dass das geht, ok, und da muss ich vor die gesamte Matrize dann ein Minuszeichen setzen. Aber was mache ich dann am Ende? Nehme ich das Minuszeichen bis zum Schluss mit und muss dann alle Zahlen in der Matrix mit -1 multiplizieren?
Wie sieht es aus mit Spaltentausch? Darf ich das? Was muss ich da dann beachten?
Darf ich auch mehrmals Zeilen bzw Spalten tauschen? Löst sich das Minuszeichen beim 2. Zeilentausch dann wieder auf, oder bleibt das Minus dann einfach, auch nach dem zweiten und dritten Tausch? :)
Darf ich mit der Rechnung aufhören, wenn ich so wie hier
1 0 0 | 1 2 3
0 1 0 | 4 5 6
0 0 1 | 7 8 9
habe? Nur dass es auch mal etwas anderes geben kann in der Diagonale als Einsen? Also dass ich unten links "nur" die Nullen im Dreieck habe?
Hier meine ich NICHT die Berechnung durch Entwicklung einer geeigneten Zeile (Laplace Entwicklung oder wie die andere Methode gleich noch heißt).
3) Wann darf ich für gewöhnlich beim normalen Gauß Verfahren aufhören zu rechnen?
Ich hoffe, ich hab mich jetzt verständlicher ausgedrückt.
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Hallo Englein89!
> Ok, ich setz nochmal an :)
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> 1) Also. Wenn ich eine Inverse berechnen will, muss ich die
> Matrize ja mit der Einheitsmatrix erweitern und dann auf
> eine Diagonale mit 1en kommen und bei der Einheitsmatrix
> dann die Inverse ablesen. Frage ist aber: Muss ich unter
> UND über dieser DIagonale Nullen stehen haben, oder reicht
> es, wenn ich nur unter der Diagonale Nullen hab und darüber
> ganz andere Zahlen?
>
> zB
>
> 1 0 0 | 1 2 3
> 0 1 0 | 4 5 6
> 0 0 1 | 7 8 9
>
> Könnte ich aber auch dieses Ergebnis haben und da schon
> aufhören um die Inverse zu berechnen?
>
> 1 2 2 | 1 2 3
> 0 1 3 | 4 5 6
> 0 0 1 | 7 8 9
Nein. Invers bedeutet ja, dass die Matrix mit ihrer Inversen multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Deswegen kann du das Ganze überhaupt mit der Einheitsmatrix machen, und deswegen muss da am Ende auch die Einheitsmatrix stehen. Kann man sich so eigentlich ganz einfach merken.
> 2) Bei der Berechnung der Determinante: Darf ich Zeilen und
> Spalten tauschen? Also beim Zeilentausch weiß ich, dass das
> geht, ok, und da muss ich vor die gesamte Matrize dann ein
> Minuszeichen setzen. Aber was mache ich dann am Ende? Nehme
> ich das Minuszeichen bis zum Schluss mit und muss dann alle
> Zahlen in der Matrix mit -1 multiplizieren?
Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie du hier die Determinante berechnen willst. Was mir dazu nur einfällt, ist folgendes: Wenn du bei einer Matrix zwei Zeilen tauschst, dann ändert sich die Determinante dadurch, dass sie nun negativ wird. Multiplizierst du eine Zeile mit einer Matrix, so multipliziert sich auch die Determinante mit dieser Zahl, wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Spalten tauschen darfst du dabei aber nicht, das darf man ja beim Gauß-Algorithmus auch nicht.
> Hier meine ich NICHT die Berechnung durch Entwicklung einer
> geeigneten Zeile (Laplace Entwicklung oder wie die andere
> Methode gleich noch heißt).
Welche Methode meinst du denn? Und wie heißt die, von der dir der Name gerade nicht einfiel?
> 3) Wann darf ich für gewöhnlich beim normalen Gauß
> Verfahren aufhören zu rechnen?
Wenn du eine Dreiecksmatrix hast. Denn dann kannst du die Zeile mit dem einen Eintrag nach der Variablen auflösen, dieses in die Zeile mit den zwei Einträgen einsetzen und dort nach der zweite Variablen aufhören und so weiter. Kannst es ja mal anders versuchen, ich wüsste nicht, wie du dann auf eine Lösung kommen könntest.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ok, nehmen wir Beispiele.
1.) d.h wenn ich die Inverse berechne und ertsmal rechts die Einheitsmatrix habe, dann rechne, muss ich links wieder eine Einheitsmatrix rausbekommen?
2.) Bei der Determinanten, wo man dann die DIagonale miltupliziert.. ich weiß nicht, wie ich da noch weiter erläutern sollte, was ich meine. Frage ist eben, ob ich da unten links nur das Nulldreieck brauche, um mit der Multiplikation der Diagonale beginnen zu dürfen, oder muss ich da noch weiterrechnen?
3.) Zum Spaltentausch bei der Berechnung der Determinante. Ich hab das Gleichungssystem:
1 2 0 1
2 0 0 -1
-1 1 2 0
0 3 1 1
Ich rechne Z2-2Z1 und Z3+Z1
Dann hab ich
1 2 0 1
0 -4 0 -3
0 3 2 1
0 3 1 1
Und dann würde es sich doch zB anbieten Spalte 2- 3* Spalte 4 zu rechnen, dann Spalte 3 - Spalte 4 und ich habe:
1 -1 -1 1
0 5 3 -3
0 0 1 1
0 0 0 1
Hier könnte ich ja dann aufhören und 1*5*1*1=5 rechnen.
Geht das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mi 12.11.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> Ich habe diese Seite gefunden:
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/WWWErgVert/html/2_gleichungen_mit_2_unbekannte.html#EigenschaftenVonDeterminanten
>
> Hier steht, dass man das Vielfache zu einer Spalte addieren
> darf. Aber hier würde ich ja das Vielfache subrtrahieren
wenn du deine Spalte/Zeile mit einer negativen Zahl vervielfachen würdest, dann könntest du auch addieren.
> und einmal einfach zwei Zeilen ohne Miltiplikaion mit dem
> Vielfachen subtrahieren. Ist das trotzdem definiert?
Ja, denn dann hast du halt nur ein "Ein"-faches Vielfaches (Multiplikation mit 1).
Viele Grüße
Smarty
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Hallo Englein89!
> Ok, nehmen wir Beispiele.
>
> 1.) d.h wenn ich die Inverse berechne und ertsmal rechts
> die Einheitsmatrix habe, dann rechne, muss ich links wieder
> eine Einheitsmatrix rausbekommen?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das sagte ich bereits.
> 2.) Bei der Determinanten, wo man dann die DIagonale
> miltupliziert.. ich weiß nicht, wie ich da noch weiter
> erläutern sollte, was ich meine. Frage ist eben, ob ich da
> unten links nur das Nulldreieck brauche, um mit der
> Multiplikation der Diagonale beginnen zu dürfen, oder muss
> ich da noch weiterrechnen?
Ach, ich glaube, ich weiß, was du meinst. Du bist zu faul, die Determinante normal zu berechnen, und möchtest deine Matrix in eine Matrix umformen, bei der man die Determinante durch Multiplikation der Diagonalelemente berechnen kann. So, dann mach mal ein Beispiel, wo du die Matrix auf Diagonalform bringst und dasselbe, wo du die Matrix nur auf Dreiecksform bringst. Und damit du's auch normal kannst, berechne die Determinante von derselben Matrix mal noch mit Laplace oder Sarrus. Dann wirst du sehen, wie's funktioniert und bestimmt nicht so schnell wieder vergessen.
> 3.) Zum Spaltentausch bei der Berechnung der Determinante.
> Ich hab das Gleichungssystem:
>
> 1 2 0 1
> 2 0 0 -1
> -1 1 2 0
> 0 3 1 1
>
> Ich rechne Z2-2Z1 und Z3+Z1
>
> Dann hab ich
>
> 1 2 0 1
> 0 -4 0 -3
> 0 3 2 1
> 0 3 1 1
>
> Und dann würde es sich doch zB anbieten Spalte 2- 3* Spalte
> 4 zu rechnen, dann Spalte 3 - Spalte 4 und ich habe:
>
> 1 -1 -1 1
> 0 5 3 -3
> 0 0 1 1
> 0 0 0 1
>
> Hier könnte ich ja dann aufhören und 1*5*1*1=5 rechnen.
>
> Geht das?
Nein.
Viele Grüße
Bastiane
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In der Mitteilung wird mir gesagt es geht, jetzt wird mir gesagt, es geht nicht. Was stimmt denn nun? Ich soll einfach nur die Determinante aus der Inversen berechnen, durch elementare Umformungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:54 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> In der Mitteilung wird mir gesagt es geht, jetzt wird mir
> gesagt, es geht nicht. Was stimmt denn nun? Ich soll
> einfach nur die Determinante aus der Inversen berechnen,
> durch elementare Umformungen.
es reicht, wenn Du (z.B. mit dem Gaußalgorithmus) Deine Matrix in Gestalt einer oberen Dreiecksmatrix überführst (Du musst natürlich die Regeln beachten, wie sich die Matrix dann durch entsprechende Zeilen-/Spaltenoperationen verändert (Spaltenoperationen sind hier übrigens wegen [mm] $\text{det} A=\text{det} A^T$ [/mm] sehr wohl, sofern sie analog zu den Zeilenoperationen geschehen, mit gleicher Änderung der Determinante erlaubt)).
(Notfalls befrage man auch nochmal Wiki:Determinante, insbesondere Wiki: Det. mit Gauß.)
Mit 6.6 von hier brauchst Du danach dann nur noch die Diagonalelemente zu multiplizieren.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
danke für die Antworten.
ABer ich weiß nicht, warum das so kompliziert gemacht wird, so kompliziert ist meine Frage doch eigentlich nicht :o)
Frage ist doch einfach: Wenn ich aus einer Inversen die Determinante mit Hilfe von Gauß berechnen will. Darf ich Spalten addieren und subtrahieren, so wie in meinem letzten Beispiel? Ich habe es ja nicht umsonst gepostet.
Ich verstehe deinen letzten Satz dazu nicht, Marcel, tut mir leid :( Vor allem was das jetzt mit dem Transponieren zu tun haben soll. Ich brauch keinen Beweis, nur die Rechnung :)
Darf man das im normalen Gauß Verfahren denn auch? Soweit ich weiß nämlich nicht. Da würde ich ja dann zB x2-x4 rechnen, wie soll das denn erlaubt sein? Bei der Determinantenrechnung weiß ich nicht genau, wie es sich da verhält. Aber da es sich bei dem Beispiel anbietet, wollte ich wissen, ob man es da darf.
Und wieso reicht es nicht unten die Dreiecksmatrix mit Nullen zu haben? Nehmt doch bitte Bezug auf das Beispiel.
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> ABer ich weiß nicht, warum das so kompliziert gemacht wird,
> so kompliziert ist meine Frage doch eigentlich nicht :o)
Hallo,
sie zu finden war jedenfalls nicht so leicht.
Du möchtest hier exemplarisch die Determinante von [mm] M:=\pmat{1&2&0&1\\2&0&0&-1\\-1&1&2&0\\0&3&1&1} [/mm] berechnen.
Ich stelle jetzt zusammen, wie sich die Determinante verhält, wenn man die Umformungen, die im Gaußalgorithmus vornimmt, durchführt:
1)# Falls A sich aus M ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist -detA =detM
2)# Falls A sich aus M ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist detA = detM.
3)# Falls A sich aus M ergibt, indem man ein Vielfaches [mm] c\not=0 [/mm] einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist [mm] \bruch{1}{c}\det [/mm] A= [mm] \det [/mm] M.
> 3.) Zum Spaltentausch bei der Berechnung der Determinante.
> Ich hab das Gleichungssystem die Matrix:
>
> [mm] M:=\pmat{1&2&0&1\\2&0&0&-1\\-1&1&2&0\\0&3&1&1}
[/mm]
>
> Ich rechne Z2' =Z2-2Z1
Dadurch verändert sich nach 2) die Determinante nicht.
> und Z3'= Z3+Z1
Dadurch verändert sich nach 2) die Determinante nicht.
> Dann hab ich
> [mm] \pmat{1&2&0&1\\0&-4&0&-3\\0&3&2&0\\0&3&1&1}
[/mm]
> Und dann würde es sich doch zB anbieten S2'=Spalte 2- 3* Spalte 4 zu rechnen, dann S3'=Spalte 3 - Spalte 4 und ich habe:
Dadurch verändert sich nach 2) die Determinante nicht.
> [mm] \pmat{1&-1&-1&1\\0&5&3&-3\\0&0&1&1\\0&0&0&1}
[/mm]
> Hier könnte ich ja dann aufhören und 1*5*1*1=5 rechnen.
Ja.
Deine anderen Fragen sind mir zu wenig konkret, so daß die Gefahr von Mißverständnissen vorprogrammiert ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
>
> > ABer ich weiß nicht, warum das so kompliziert gemacht wird,
> > so kompliziert ist meine Frage doch eigentlich nicht :o)
>
> Hallo,
> ...
> > [mm]\pmat{1&-1&-1&1\\0&5&3&-3\\0&\red{30}&1&1\\0&0&0&1}[/mm]
>
> > Hier könnte ich ja dann aufhören und 1*5*1*1=5 rechnen.
>
> Ja.
sollte anstelle der rotmarkierten 30 nicht besser eine 0 stehen? Ist vermutlich nur ein Vertipper, aber wenn die Matrix so wie oben aussähe, wäre es keine obere Dreiecksmatrix 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke für die Antworten.
>
> ABer ich weiß nicht, warum das so kompliziert gemacht wird,
> so kompliziert ist meine Frage doch eigentlich nicht :o)
>
> Frage ist doch einfach: Wenn ich aus einer Inversen die
> Determinante mit Hilfe von Gauß berechnen will. Darf ich
> Spalten addieren und subtrahieren, so wie in meinem letzten
> Beispiel? Ich habe es ja nicht umsonst gepostet.
dann schreibe bitte auch Matrizen/Determinanten mit dem Formeleditor. Mir beißt diese andere Schreibweise ins Auge, ehrlich gesagt. Das kann man auf einem Schmierzettel machen, wenn man will...
> Ich verstehe deinen letzten Satz dazu nicht, Marcel, tut
> mir leid :(
Was verstehst Du daran nicht? Selbst, wenn Du keine Ahnung hast, was ich mit den Diagonalelementen meine, habe ich einen Verweis gebracht, wo es präzisiert wird. Noch genauer kann man es nicht formulieren. Außerdem hast Du doch schon selbst die Frage mit der Diagonalen gestellt?! Ich verstehe - ehrlich gesagt - nicht, wieso Du das jetzt nicht verstehst. Das ist verwirrend ^^
> Vor allem was das jetzt mit dem Transponieren
> zu tun haben soll. Ich brauch keinen Beweis, nur die
> Rechnung :)
Na hör' mal, das klingt so, wie: Ich will nicht denken, sondern nur programmiert werden
Du solltest den Satz [mm] $\text{det} A=\text{det} A^T$ [/mm] lernen! Es dient auch der Lerneffizienz. Und wenn Du den verstehst, dann läßt Du Dich auch nicht mehr in die Irre führen, wenn jemand sagt, dass man bei der Determinantenberechnung nur mit Zeilen und nicht mit Spalten arbeiten darf. Das stimmt nämlich nicht, und alleine, wenn man [mm] $\text{det} A=\text{det} A^T$ [/mm] weiß, kann man sich das in maximal 5 Sekunden selbst überlegen. Ansonsten surfst Du nun im Netz nach einer Behauptung rum, dass und warum man angeblich nicht mit Spalten arbeiten darf, hängst Dich auch noch daran auf, dass das bei dem Gaußverfahren aber wirklich so ist (bzw. wenn man dort Spalten vertauscht, muss man die korrespondierende Variablen mitvertauschen) und und und...
Nimm' mir das nicht übel, aber ich bin schon der Meinung, dass man wissen sollte, was man rechnet und warum man das rechnen darf. Natürlich kannst Du jetzt sagen: "Oh, dann muss ich aber auch den Beweis von [mm] $\text{det} A=\text{det} A^T$ [/mm] lernen/verstehen..."
Ehrlich gesagt: Ja! Andererseits kannst Du auch sagen: Okay, damit ist das leicht. Und es gibt einen Beweis zu [mm] $\text{det} A=\text{det} A^T\,,$ [/mm] also verwende ich das jetzt nur.
> Darf man das im normalen Gauß Verfahren denn auch? Soweit
> ich weiß nämlich nicht. Da würde ich ja dann zB x2-x4
> rechnen, wie soll das denn erlaubt sein? Bei der
> Determinantenrechnung weiß ich nicht genau, wie es sich da
> verhält. Aber da es sich bei dem Beispiel anbietet, wollte
> ich wissen, ob man es da darf.
Ich weiß nicht, was Du meinst und wo genau das Problem ist, ehrlich gesagt.
> Und wieso reicht es nicht unten die Dreiecksmatrix mit
> Nullen zu haben? Nehmt doch bitte Bezug auf das Beispiel.
Das reicht, das habe ich doch geschrieben (in obiger Antwort: Verweis auf 6.6 und man findet es auch in dem Wiki-Link: Det. mit Gauß). Zudem habe ich Dir einige Links zum nachlesen gegeben, zudem ein Skript (vielleicht spricht es Dich nicht an, nichtsdestotrotz habe ich Dir gesagt, an welchen Stellen Du dort bitte nachlesen sollst, und das würde genügen).
Insbesondere in dem Link von Wiki: Det. mit Gauß steht auch eigentlich alles drin, was Du brauchst (Angela hat nur diese Regeln nochmal separat herausgepickt und formuliert; wobei ich davon ausgehe, dass sie die nicht kopieren musste, sondern eh noch wußte ). Und da ist nicht alles bewiesen. Du kannst dort also durchaus mit den ganzen Aussagen dort rechnen, ohne genauer zu verstehen, warum Du so rechnen darfst (was Du oben angedeutet hast, dass Du das so willst; ich finde es alles andere als empfehlenswert).
Komischerweise entstehen dann aber, meiner Ansicht nach, zwangsläufig solche Fragen, wie die, die ich von Dir oben rot markiert habe. Dass Du Dich nämlich z.B. irgendwann fragst: Bei der Determinantenberechnung brauch' ich, wenn ich Spalten vertausche, dann nur ein Minus vor das "det" schreiben. Beim Gaußverfahren musste ich da aber etwas anderes noch beachten (oder es war erst gar nicht erlaubt, Spalten zu vertauschen).
Ich meine es nicht böse, aber Du kannst halt nicht beides haben: Entweder musst Du dann halt alle "Regeln" lernen und diese nur stur anwenden, ohne nachzudenken, oder Du lernst die Regeln und lernst zudem, warum diese gelten. Ich selber empfehle den letztgenannten Weg. Natürlich ist dieser arbeitsaufwendiger, da man einen tieferen Einblick in die Theorie gewinnen muss. Aber nun gut, das ist Deine Entscheidung.
Allerdings: Wenn man sich die Mühe gemacht hat und einen tieferen Einblick in die Theorie gewonnen hat, dann kann man viele Fragen auch schnell selbst beantworten. Und läßt sich auch keinen Bären aufbinden
(Verzeih', Bastiane, aber bei der Sache mit den Spalten hast Du da wirklich einfach nicht die Wahrheit erzählt )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 13.11.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Marcel!
> (Verzeih', Bastiane, aber bei der Sache mit den Spalten
> hast Du da wirklich einfach nicht die Wahrheit erzählt
> )
Vielen Dank für die Aufklärung. Im Moment will ich allerdings auch nicht groß denken (hab' den ganzen Tag dummes Rumklicken am Computer gemacht... - war aber nötig...), aber wenn es mich nochmal interessiert, werde ich es bei dir nachlesen.
Das Problem kam daher, dass ich immer noch nicht weiß, wie und wieso jemand Determinanten mit Gauß berechnen will. Gauß ist (abgesehen von dem Menschen, nach dem es benannt ist ) für mich ein Verfahren, mit dem man LGS löst, Determinanten hingehen berechnet man entweder mit Sarrus oder mit Laplace. Und wenn man normal ein LGS damit löst, wendet man meiner Meinung nach selten Spaltenumformungen an, genau aus dem Grund, dass man dann die Variablen tauschen muss, und das ist zu umständlich aufzuschreiben oder man vergisst es zu leicht oder wie auch immer.
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Do 13.11.2008 | | Autor: | Englein89 |
Ich glaub ich hab aufgrund der vielen Fragen einfach zu viele Begriffe vertauscht. Missverständnisse. Tut mir leid. Hab in unserem Skript jetzt aber auch die richtigen Stellen gefunden und verstehe jetzt, was ihr meint.
Aber: Bei uns bedeutet die Determinantenberechnung durch elementare Umformungen tatsächlich das Lösen mit Gauß. Sarrus und Laplace Entwicklung kennen wir auch, aber wir müssen beide Umformungen kennen.
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> Aber: Bei uns bedeutet die Determinantenberechnung durch
> elementare Umformungen tatsächlich das Lösen mit Gauß.
Hallo,
das ist ja auch gar nciht übel, vorausgesetzt, man weiß genau, was man tun darf, ohne den Wert der Determinante zu verändern, bzw. man weiß, wie welche Operation den Wert der Determinante verändert.
Der Vorteil bei Gauß: man bekommt die Determinante u.U. im Vorübergehen geschenkt.
Zu Berechnen ist die Multiplikation der Diagonalelemente sicher angenehmer als eine Laplace-Entwicklung.
Aber man muß es, wie gesagt, richtig machen. Allerdings gilt dies für sämtliche Methoden.
Gruß v. Angela
> Sarrus und Laplace Entwicklung kennen wir auch, aber wir
> müssen beide Umformungen kennen.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:35 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bastiane,
> Hallo Englein89!
>
> > Ok, ich setz nochmal an :)
> >
> > 1) Also. Wenn ich eine Inverse berechnen will, muss ich die
> > Matrize ja mit der Einheitsmatrix erweitern und dann auf
> > eine Diagonale mit 1en kommen und bei der Einheitsmatrix
> > dann die Inverse ablesen. Frage ist aber: Muss ich unter
> > UND über dieser DIagonale Nullen stehen haben, oder reicht
> > es, wenn ich nur unter der Diagonale Nullen hab und darüber
> > ganz andere Zahlen?
> >
> > zB
> >
> > 1 0 0 | 1 2 3
> > 0 1 0 | 4 5 6
> > 0 0 1 | 7 8 9
> >
> > Könnte ich aber auch dieses Ergebnis haben und da schon
> > aufhören um die Inverse zu berechnen?
> >
> > 1 2 2 | 1 2 3
> > 0 1 3 | 4 5 6
> > 0 0 1 | 7 8 9
>
> Nein. Invers bedeutet ja, dass die Matrix mit ihrer
> Inversen multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Deswegen
> kann du das Ganze überhaupt mit der Einheitsmatrix machen,
> und deswegen muss da am Ende auch die Einheitsmatrix
> stehen. Kann man sich so eigentlich ganz einfach merken.
>
> > 2) Bei der Berechnung der Determinante: Darf ich Zeilen und
> > Spalten tauschen? Also beim Zeilentausch weiß ich, dass das
> > geht, ok, und da muss ich vor die gesamte Matrize dann ein
> > Minuszeichen setzen. Aber was mache ich dann am Ende? Nehme
> > ich das Minuszeichen bis zum Schluss mit und muss dann alle
> > Zahlen in der Matrix mit -1 multiplizieren?
>
> Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie du hier die Determinante
> berechnen willst. Was mir dazu nur einfällt, ist folgendes:
> Wenn du bei einer Matrix zwei Zeilen tauschst, dann ändert
> sich die Determinante dadurch, dass sie nun negativ wird.
> Multiplizierst du eine Zeile mit einer Matrix, so
> multipliziert sich auch die Determinante mit dieser Zahl,
> wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Spalten tauschen
> darfst du dabei aber nicht, das darf man ja beim
> Gauß-Algorithmus auch nicht.
wie kommst Du zu dieser Behauptung? Es gilt doch [mm] $\text{det}A=\text{det}A^T\,$ [/mm] (siehe auch Kapitel 6.8 hier) also da besteht eine gewisse Korrespondenz. Wenn Du die Zeilen bei [mm] $A^T$ [/mm] vertauschst, vertauschst Du die zugehörigen Spalten bei [mm] $A\,.$ [/mm] Also kannst Du sehr wohl auch die Spalten vertauschen und ein Minus vor die Determinante schreiben (det (Matrix mit vertauschten Zeilen)=-det (Ausgangsmatrix)).
Analog ändert sich, wenn man die Spalte einer Matrix mit einem Skalar multipliziert, die Determinante der Matrix genauso, wie wenn man eine Zeile der Matrix mit einem Skalar multipliziert. (Das folgt genauso aus [mm] $\text{det}A=\text{det}A^T\,.$) [/mm]
Übrigens könnte man beim Gaußverfahren auch sehr wohl die Spalten vertauschen. Nur muss man dann auch daran denken, die Variablen mitzuvertauschen, die mit den entsprechenden Spalten korrespondieren.
Beispiel:
[mm] $A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12}\,,$ $b=\vektor{1\\2\\3}$
[/mm]
Gleichungssystem:
[mm] $A*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=b\,.$
[/mm]
Die erste Spalte von $A$ korrespondiert mit [mm] $x_1\,,$ [/mm] die zweite mit [mm] $x_2\,,$ [/mm] die dritte...
Vertausche ich nun die erste gegen die 4e Spalte, so steht da genau das gleiche Gleichungssystem wie oben, wenn ich es so schreibe:
[mm] $\pmat{ 4 & 2 & 3 & 1\\ 8 & 6 & 7 & 5\\ 12 & 10 & 11 & 9}*\vektor{x_4\\x_2\\x_3\\x_1}=b\,.$
[/mm]
Bei der neuen Matrix korrespondiert nun die erste Spalte mit [mm] $x_4$ [/mm] und die letzte Spalte mit [mm] $x_1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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