Determinate der Hauptminoren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] . [mm] A^k [/mm] bezeichne den k-ten Hauptminor.
Zeige: Für symmetrische Matrizen gilt: Ist A positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] det [mm] A^k [/mm] > 0. |
OK, ich versuche das mit einer Induktion zu zeigen, für k=1 ist das ja offensichtlich, da die Diagonaleinträge auf Grund der positiven Definitheit größer 0 sind. Beim Induktionsschritt zu A^(k+1) komme ich dann aber nicht mehr weiter. Ist Induktion überhaupt der richtige Ansatz??
Besten Dank im Voraus, der Imp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Imp,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da fiele mir der Beweis zur Cholesky Zerlegung der Matrix A ein(vllt. hattet ihr den ja). Dieser funktioniert induktiv und liefert diese Aussage Quasi als Nebenprodukt. Er besagt nämlich das jede dieser Untermatrizen
1.positiv definit ist
2.eine Zerlegung L^TL besitzt. wobei L positive Diagonalelemente hat.
Nützt Dir das was?
viele Grüße
matheamduenn
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort.
Leider hilft sie mir nicht so richtig weiter...
|
|
|
| |
|
Hallo Imp,
> Danke für deine Antwort.
> Leider hilft sie mir nicht so richtig weiter...
siehe Betreffzeile
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo Imp,
Noch ein Ansatz ohne Induktion:
1.Eine symmetrische Matrix ist diagonalisierbar A=Q^TDQ Die Matrix D ist dabei eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen. Da A positiv definit ist können die eigenwerte nur positiv sein.
und [mm] det(Q^TDQ)=det(Q^T)*det(D)*det(Q)=det(D)>0
[/mm]
2. alle Untermatrizen sind symmetrisch und positiv definit.
Alles klar?
viele Grüße
matehamduenn
|
|
|
| |
|
Aaaaja, danke für die Hilfe. Welche Gestalt hat denn die Matrix Q??
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
orthogonale Matrix