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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils die allgemeine Lösung des gegebenen Differentialgleichungssystems:
a) x'=2x-y
[mm] y'=x+2e^t
[/mm]
b) [mm] x'=-4x-2y+\bruch{2}{e^t-1}
[/mm]
[mm] y'=6x+3y-\bruch{3}{e^t-1} [/mm] |
Hallo,
also normalerweise würde ich jetzt eine eine Matrix aufstellen mit
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] und dann die Eigenwerte/Eigenvektoren berechnen. Ich hab nur das Problem, dass ich nicht weiß, was ich mit z.b. [mm] 2e^t [/mm] anstelle bei Aufgabe a)
Oder funktioniert das gar nicht auf die Art und Weise Fundamentalsystem finden?
Gruß Leipziger
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Hallo
> Bestimmen Sie jeweils die allgemeine Lösung des gegebenen
> Differentialgleichungssystems:
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> a) x'=2x-y
> [mm]y'=x+2e^t[/mm]
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> b) [mm]x'=-4x-2y+\bruch{2}{e^t-1}[/mm]
> [mm]y'=6x+3y-\bruch{3}{e^t-1}[/mm]
> Hallo,
>
> also normalerweise würde ich jetzt eine eine Matrix
> aufstellen mit
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] und dann die
> Eigenwerte/Eigenvektoren berechnen. Ich hab nur das
> Problem, dass ich nicht weiß, was ich mit z.b. [mm]2e^t[/mm]
> anstelle bei Aufgabe a)
Nun, dieses [mm] 2e^{t} [/mm] ist die Inhomogenität.. also [mm] \vektor{0\\2e^{t}}. [/mm] Du kannst wie gewohnt zuerst die Matrix aufstellen und die homogene Gleichung lösen... danach hast du einfach die Inhomogenität, wodurch du einen Ansatz finden musst.
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> Oder funktioniert das gar nicht auf die Art und Weise
> Fundamentalsystem finden?
>
Hilft dir das weiter?
> Gruß Leipziger
Grüsse, Amaro
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Gute Frage :)
Also ich stoß schon gleich am Anfang auf Problemchen.
Habe jetzt eben von a) [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] die Eigenwerte berechnet [mm] (\lambda_{1,2}=1) [/mm] und damit die Eigenvektoren [mm] v_1=\vektor{1 \\ 1}, v_2=\vektor{0 \\ 0} [/mm] bestimmt. Soweit so gut. Und nun? Ich könnte jetzt das Fundamentalsystem aufstellen, aber so wie du das erklärst wäre das ja nur das homogene und ich brauch aber die Lösung für das inhomogene?
Tut mir leid das ich so auf der Leitung stehe.
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Gute Frage :)
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> Also ich stoß schon gleich am Anfang auf Problemchen.
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> Habe jetzt eben von a) [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm] die
> Eigenwerte berechnet [mm](\lambda_{1,2}=1)[/mm] und damit die
> Eigenvektoren [mm]v_1=\vektor{1 \\ 1}, v_2=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
Der Nullvektor kann nie Eigenvektor sein.
Bestimme zunächst eine zweite lineare unabhängige Lösung zu
[mm] \pmat{1 \\ 1}e^{t}[/mm]
> bestimmt. Soweit so gut. Und nun? Ich könnte jetzt das
> Fundamentalsystem aufstellen, aber so wie du das erklärst
> wäre das ja nur das homogene und ich brauch aber die
> Lösung für das inhomogene?
> Tut mir leid das ich so auf der Leitung stehe.
Variation der Konstanten führt auch hier zum Ziel.
Sind [mm]Y_{1}\left(t\right), \ Y_{2}\left(t\right)[/mm] Lösungen des homogenen DGL-Systems,
so macht man für die partikuläre Lösung den Ansatz
[mm]Y_{p}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*Y_{1}\left(t\right)+c_{2}\left(t\right)*Y_{2}\left(t\right)[/mm]
Alternativ kannst Du das hier, wie von Arcesius erwähnt,
mit einem Ansatz für die Inhomogenität machen.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Mh, also mit dem doppelten EW hab ich noch Probleme.
Ich dachte man bekommt dann den 2ten Vektor mittels:
[mm] Kern(A-\lambda_1*E)^2=0 [/mm] raus. Leider für das in dem Fall hier zu
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und somit nicht zu Ziel.
VdR klingt einfacher, aber weiß nicht wie man das bei einem DGL-System macht.
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Mh, also mit dem doppelten EW hab ich noch Probleme.
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> Ich dachte man bekommt dann den 2ten Vektor mittels:
> [mm]Kern(A-\lambda_1*E)^2=0[/mm] raus. Leider für das in dem Fall
> hier zu
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] und somit nicht zu Ziel.
Die Einheitsvektoren des [mm]\IR^{2}[/mm] sind hier Lösung.
Mach doch für die zweite linear unabhängige Lösung
des homogenen DGL-Systems den Ansatz
[mm]Y_{2}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}*t\right)Üe^{t}[/mm]
Dann bekommst Du Bedingungen, die die
Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] erfüllen müssen.
> VdR klingt einfacher, aber weiß nicht wie man das bei
> einem DGL-System macht.
Nun, die allgemeine Lösung des DGL-Systems beinhaltet Konstanten.
Bei der Variation der Konstanten macht man nun diese Konstanten
von t abhängig, differentiert dies setzt das in das inhomogene
DGL-System und erhält dann daraus die gesuchten Konstanten.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Ich hab mich erstmal an der b) probiert, weil ich die als "einfacher" empfinde.
Hier sind die Eigenwerte [mm] \lambda_1=0,\lambda_2=1, [/mm] damit ergeben sich folgende Eigenvektoren: [mm] v_1=\vektor{-1/2 \\ 1} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{-2/3 \\ 1}.
[/mm]
Damit [mm] Y(t)=C_1*\vektor{-1/2 \\ 1}e^{t*0} [/mm] + [mm] C_2*\vektor{-2/3 \\ 1}*e^{t*1}, [/mm] als homogene Lösung.
Wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich jetzt C doch von t abhängig machen, und dann?
Gruß Leipziger
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Ich hab jetzt mal versucht mit VdK die C´s zu bestimmen:
bei a)
[mm] C_{1} [/mm] = [mm] 2*x+x^{2}+k_{1}
[/mm]
[mm] C_{2}= -2*x+k_{2}
[/mm]
bei b)
[mm] C_{1} [/mm] = [mm] k_{1}
[/mm]
[mm] C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2*(e^{t}-1)}+k_{2}
[/mm]
Korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Leipziger |
Kann keiner sagen ob das stimmt oder nicht?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Ich hab jetzt mal versucht mit VdK die C´s zu bestimmen:
>
> bei a)
> [mm]C_{1}[/mm] = [mm]2*x+x^{2}+k_{1}[/mm]
> [mm]C_{2}= -2*x+k_{2}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei b)
> [mm]C_{1}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm]
> [mm]C_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{2*(e^{t}-1)}+k_{2}[/mm]
[mm]C_{1}[/mm] stimmt, [mm]C_{2}[/mm] mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Korrekt?
>
Gruss
MathePower
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Hallo Leipziger,
> Ich hab mich erstmal an der b) probiert, weil ich die als
> "einfacher" empfinde.
>
> Hier sind die Eigenwerte [mm]\lambda_1=0,\lambda_2=1,[/mm] damit
Der zweite Eignwert ist doch [mm]\lambda_{2}=\red{-}1[/mm].
> ergeben sich folgende Eigenvektoren: [mm]v_1=\vektor{-1/2 \\ 1}[/mm]
> und [mm]v_2=\vektor{-2/3 \\ 1}.[/mm]
>
> Damit [mm]Y(t)=C_1*\vektor{-1/2 \\ 1}e^{t*0}[/mm] + [mm]C_2*\vektor{-2/3 \\ 1}*e^{t*1},[/mm]
> als homogene Lösung.
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> Wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich jetzt C doch
> von t abhängig machen, und dann?
So isses.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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