Dgl. 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Dgl 2 Ordnung x''+ax'+bx=g(t) mit b [mm] \not=0
[/mm]
ich will die richtigen partikulären lösungsansätze für folgende Störglieder bestimmen
a) [mm] g(t)=t^3*cos(t)
[/mm]
b) g(t)=cos(t)*sin(t)
c) g(t)=tan(t)
d) [mm] G(t)=\bruch{t^3}{cos(t)} [/mm] |
a) [mm] A*t^3+B*t^2+C*t+D*(E*t^k*cos(\omega*t)+F*t^k*sin(\omega*t))
[/mm]
gibt es lösungsansätze für die nachfolgenden störglieder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Di 29.07.2014 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine Dgl 2 Ordnung x''+ax'+bx=g(t) mit b
> [mm]\not=0[/mm]
>
> ich will die richtigen partikulären lösungsansätze für
> folgende Störglieder bestimmen
>
> a) [mm]g(t)=t^3*cos(t)[/mm]
>
> b) g(t)=cos(t)*sin(t)
>
> c) g(t)=tan(t)
>
> d) [mm]G(t)=\bruch{t^3}{cos(t)}[/mm]
>
> a)
> [mm]A*t^3+B*t^2+C*t+D*(E*t^k*cos(\omega*t)+F*t^k*sin(\omega*t))[/mm]
>
> gibt es lösungsansätze für die nachfolgenden
> störglieder?
Hallo,
hilft dir die Identität
cos(t)*sin(t)=0,5*sin(2t) ?
Gruß Abakus
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hallo,
> hilft dir die Identität
> cos(t)*sin(t)=0,5*sin(2t) ?
ja tut es. gibt es auch lösungsansätze für c) und d)? ich habe mir die Störglieder übrigens ausgedacht. möchte nur wissen ob es für solche fälle auch lösungsansätze gibt
ich kenne auch eine formel für die partikuläre lösung. für solche fälle wie bei c) und d) muss ich diese formel anwenden oder?
Formel https://matheraum.de/read?t=1024569
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
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> > hilft dir die Identität
> > cos(t)*sin(t)=0,5*sin(2t) ?
>
> ja tut es. gibt es auch lösungsansätze für c) und d)?
> ich habe mir die Störglieder übrigens ausgedacht. möchte
> nur wissen ob es für solche fälle auch lösungsansätze
> gibt
>
> ich kenne auch eine formel für die partikuläre lösung.
> für solche fälle wie bei c) und d) muss ich diese formel
> anwenden oder?
>
> Formel https://matheraum.de/read?t=1024569
>
In den Fällen c) und d) ist diese Formel anzuwenden.
Der Ansatz für die partikuläre Lösung im Fall a) stimmt nicht.
Da die Störfunktion (rechte Seite der DGL) ein Produkt
aus einem Polynom 3.Grades und einer trigonometrischen Funktion ist,
lautet auch der Ansatz für die partikuläre Lösung entsprechend:
[mm]x_{p}\left(t\right)=\summe_{k=0}^{3}t^{k}*\left(\ C_{k}*\sin\left(t\right)+D_{k}*\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
mit [mm]C_{k}, D_{k} \in \IR, \ k=0,1,2,3[/mm]
Gruss
MathePower
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hallo,
> Der Ansatz für die partikuläre Lösung im Fall a) stimmt
> nicht.
>
> Da die Störfunktion (rechte Seite der DGL) ein Produkt
> aus einem Polynom 3.Grades und einer trigonometrischen
> Funktion ist,
> lautet auch der Ansatz für die partikuläre Lösung
> entsprechend:
>
> [mm]x_{p}\left(t\right)=\summe_{k=0}^{3}t^{k}*\left(\ C_{k}*\sin\left(t\right)+D_{k}*\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
>
> mit [mm]C_{k}, D_{k} \in \IR, \ k=0,1,2,3[/mm]
[mm] x_{p}\left(t\right)=\summe_{k=0}^{3}t^{k}*\left(\ C_{k}*\sin\left(t\right)+D_{k}*\cos\left(t\right) \ \right)=C_0*sin(t)+D_0*cos(t)+t*(C_1*sin(t)+D_1*cos(t))+t^2*(C_2*sin(t)+D_2*cos(t))+t^3*(C_3*sin(t)+D_3*cos(t))
[/mm]
wenn ich mich nicht täusche ist die lösung sehr ähnlich mit meiner lösung. die Konstanten E und F waren bei meiner Lösung falsch
[mm] x_p(t)=(A*t^3+B*t^2+C*t+D)*(t^k*cos(\omega*t)+t^k*sin(\omega*t)) [/mm] wobei k von den nullstellen der homogenen gleichung [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0 [/mm] abhängt. ist diese lösung nun richtig?
deine partikuläre lösung hängt meines wissens nach nicht von den nullstellen der homogenen gleichung [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0 [/mm] ab, deshalb glaube ich dass deine lösung nicht ganz richtig ist. kann das sein?
in unserem script steht folgendes:
[mm] g(t)=p_m(t)*cos(\omgea*t)+q_m(t)*sin(\omgea*t)
[/mm]
[mm] x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+Q_m(t)*t^k*sin(\omega*t) [/mm]
mit k=0 oder k=1 wobei [mm] i\omega [/mm] k-fache Nullstelle von [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0
[/mm]
[mm] p_m, q_m, P_m, Q_m=Polynome [/mm] m-ten Grades
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
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> > Der Ansatz für die partikuläre Lösung im Fall a) stimmt
> > nicht.
> >
> > Da die Störfunktion (rechte Seite der DGL) ein Produkt
> > aus einem Polynom 3.Grades und einer trigonometrischen
> > Funktion ist,
> > lautet auch der Ansatz für die partikuläre Lösung
> > entsprechend:
> >
> > [mm]x_{p}\left(t\right)=\summe_{k=0}^{3}t^{k}*\left(\ C_{k}*\sin\left(t\right)+D_{k}*\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
>
> >
> > mit [mm]C_{k}, D_{k} \in \IR, \ k=0,1,2,3[/mm]
>
>
> [mm]x_{p}\left(t\right)=\summe_{k=0}^{3}t^{k}*\left(\ C_{k}*\sin\left(t\right)+D_{k}*\cos\left(t\right) \ \right)=C_0*sin(t)+D_0*cos(t)+t*(C_1*sin(t)+D_1*cos(t))+t^2*(C_2*sin(t)+D_2*cos(t))+t^3*(C_3*sin(t)+D_3*cos(t))[/mm]
>
> wenn ich mich nicht täusche ist die lösung sehr ähnlich
> mit meiner lösung. die Konstanten E und F waren bei meiner
> Lösung falsch
>
> [mm]x_p(t)=(A*t^3+B*t^2+C*t+D)*(t^k*cos(\omega*t)+t^k*sin(\omega*t))[/mm]
> wobei k von den nullstellen der homogenen gleichung
> [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm] abhängt. ist diese lösung nun
> richtig?
>
> deine partikuläre lösung hängt meines wissens nach nicht
> von den nullstellen der homogenen gleichung
> [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm] ab, deshalb glaube ich dass deine
> lösung nicht ganz richtig ist. kann das sein?
>
Der Ansatz geht natürlich davon aus,
daß [mm]\cos\left(t\right)[/mm] keine Lösung der homogenen DGL ist.
Wenn dies aber doch der Fall ist,
dann lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]x_{p}\left(t\right)=\summe_{k=0}^{3}t^{k\blue{+1}}*\left(\ C_{k}*\sin\left(t\right)+D_{k}*\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
mit [mm]C_{k}, D_{k} \in \IR, \ k=0,1,2,3[/mm]
>
> in unserem script steht folgendes:
>
> [mm]g(t)=p_m(t)*cos(\omgea*t)+q_m(t)*sin(\omgea*t)[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+Q_m(t)*t^k*sin(\omega*t)[/mm]
>
> mit k=0 oder k=1 wobei [mm]i\omega[/mm] k-fache Nullstelle von
> [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm]
>
> [mm]p_m, q_m, P_m, Q_m=Polynome[/mm] m-ten Grades
Das ist ja auch richtig.
Die Koeffizienten der Polynome sind dann noch zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
ist meine lösung richtig? (die frage wurde nicht beantwortet)
[mm] x_p(t)=(A*t^3+B*t^2+C*t+D)*(t^k*cos(\omega*t)+t^k*sin(\omega*t))
[/mm]
im script steht
[mm] x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+Q_m(t)*t^k*sin(\omega*t) [/mm]
wird hier zwischen [mm] P_m(t) [/mm] und [mm] Q_m(t) [/mm] unterschieden? bei meiner Lösung sind [mm] P_m(t)=Q_m(t)
[/mm]
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Hallo arbeitsamt,
> hallo mathepower,
>
> ist meine lösung richtig? (die frage wurde nicht
> beantwortet)
>
> [mm]x_p(t)=(A*t^3+B*t^2+C*t+D)*(t^k*cos(\omega*t)+t^k*sin(\omega*t))[/mm]
>
> im script steht
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+Q_m(t)*t^k*sin(\omega*t)[/mm]
>
> wird hier zwischen [mm]P_m(t)[/mm] und [mm]Q_m(t)[/mm] unterschieden? bei
> meiner Lösung sind [mm]P_m(t)=Q_m(t)[/mm]
[mm]P_m(t)[/mm] und [mm]Q_m(t)[/mm] sind unterschiedliche Polynome.
Von daher ist Deine Lösung nicht richtig.
Gruss
MathePower
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ich habe das dann noch nicht verstanden
am besten nehmen wir eine andere störfunktion, wo wir nicht so viele koeffizienten haben
g(t)=t*cos(t)
wie würde hier die partikuläre lösung lauten? (bitte an meinem script orientieren)
[mm] x_p(t)=(A*t+B)(t^k*cos(t)+t^k*sin(t))
[/mm]
das ist wahrscheinlich nicht richtig, sonst wäre meine lösung oben richtig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ich habe das dann noch nicht verstanden
>
> am besten nehmen wir eine andere störfunktion, wo wir
> nicht so viele koeffizienten haben
>
> g(t)=t*cos(t)
>
> wie würde hier die partikuläre lösung lauten? (bitte an
> meinem script orientieren)
>
> [mm]x_p(t)=(A*t+B)(t^k*cos(t)+t^k*sin(t))[/mm]
>
Mit k möchtest du wohl wieder berücksichtigen, wenn die Lösung der homogenen DGL auch eine sin/cos Kombination der Frequenz 1 ist, oder?
Im allgemeinen Fall ist daher $k=0$.
Jedenfalls fehlen noch Koeffizienten bei sin und cos, also
[mm]x_p(t)=t^k*(A*t+B)(C*cos(t)+D*sin(t))[/mm]
Da du die Koeffizienten aber vermutlich via Koeffizientenvergleich bestimmst, ist es rechentechnisch geschickter, so anzusetzen:
[mm] $x_p(t)=t^k*\summe_{i=0}^{1}{t^i*(C_i*cos(t)+D_i*sin(t))}$
[/mm]
Im Vergleich zum ersten Ansatz ebenfalls 4 Koeffizienten, allerdings mit [mm] $C_0=B*C$ [/mm] oder etwa [mm] $D_1=A*D$.
[/mm]
Wenn du anstelle eines Polynoms erster Ordung eines dritter Ordnung hast, so wie in dem Beispiel, bei dem MathePower dir den entsprechenden Ansatz gezeigt hatte, dann erhöht sich durch den Ansatz die Anzahl der zu bestimmenden Koeffizienten von 6 auf 8, trotzdem rechnet es sich so vermutlich leichter. BTW, dein Ansatz bei dem erwähnten Bsp war grundsätzlich OK, allerdings fehlte die Klammer um das Polynom dritter Ordnung. Bei diesem deinen Ansatz mit 6 Koeffizienten kannst du bei Koeffizientenvergleich in der Regel nur Aussagen über Produkte von Unbekannten machen, was die Berechnung etwas erschwert.
Probier es einfach aus und rechne mit beiden Ansatz ein konkretes Beispiel durch.
Gruß RMix
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> Jedenfalls fehlen noch Koeffizienten bei sin und cos, also
>
> [mm]x_p(t)=t^k*(A*t+B)(C*cos(t)+D*sin(t))[/mm]
laut meinem script kommen bei sin und cos keine koeffizienten
[mm] g(t)=p_m(t)*cos(\omgea*t)+q_m(t)*sin(\omgea*t)
[/mm]
[mm] x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+Q_m(t)*t^k*sin(\omega*t) [/mm]
mit k=0 oder k=1 wobei [mm] i\omega [/mm] k-fache Nullstelle von [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0
[/mm]
[mm] p_m, q_m, P_m, Q_m=Polynome [/mm] m-ten Grades
die störfunktion im script hat zwei polynome [mm] p_m(t) [/mm] und [mm] q_m(t). [/mm] deshalb hat die partikuläre lösung ebenfalls zwei polynome [mm] P_m(t) [/mm] und [mm] Q_m(t)
[/mm]
in meinem beispiel gibt es nur ein polynom. deshalb gehe ich davon aus dass der lösungsansatz so wäre:
[mm] x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+P_m(t)*t^k*sin(\omega*t) [/mm]
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Hallo arbeitsamt,
> > Jedenfalls fehlen noch Koeffizienten bei sin und cos, also
> >
> > [mm]x_p(t)=t^k*(A*t+B)(C*cos(t)+D*sin(t))[/mm]
>
> laut meinem script kommen bei sin und cos keine
> koeffizienten
>
>
> [mm]g(t)=p_m(t)*cos(\omgea*t)+q_m(t)*sin(\omgea*t)[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+Q_m(t)*t^k*sin(\omega*t)[/mm]
>
> mit k=0 oder k=1 wobei [mm]i\omega[/mm] k-fache Nullstelle von
> [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm]
>
> [mm]p_m, q_m, P_m, Q_m=Polynome[/mm] m-ten Grades
>
> die störfunktion im script hat zwei polynome [mm]p_m(t)[/mm] und
> [mm]q_m(t).[/mm] deshalb hat die partikuläre lösung ebenfalls zwei
> polynome [mm]P_m(t)[/mm] und [mm]Q_m(t)[/mm]
>
> in meinem beispiel gibt es nur ein polynom. deshalb gehe
Woher nimmst Du die Erkenntnis, dass es nur ein Polynom gibt?
> ich davon aus dass der lösungsansatz so wäre:
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)*t^k*cos(\omega*t)+P_m(t)*t^k*sin(\omega*t)[/mm]
Das ist nicht richtig. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der richtige Lösungsansatz ist der weiter oben erwähnte.
Gruss
MathePower
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hallo
> Hallo arbeitsamt,
> Woher nimmst Du die Erkenntnis, dass es nur ein Polynom
> gibt?
hm? meine störfunktion ist g(t)=t*sin(t). das ist ein Polynom 1 grades multipliziert mit einer sinusfunktion
im script steht [mm] g(t)=p_m(t)*cos(\omega*t)+q_m(t)*sin(\omega*t)
[/mm]
ich habe aber nur [mm] p_m(t) [/mm] und nicht [mm] q_m(t). [/mm] also nur ein polynom und nicht zwei
>
> Der richtige Lösungsansatz ist der weiter oben erwähnte.
>
diesen verstehe ich wohl nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> hallo
>
> > Hallo arbeitsamt,
>
> > Woher nimmst Du die Erkenntnis, dass es nur ein Polynom
> > gibt?
>
> hm? meine störfunktion ist g(t)=t*sin(t). das ist ein
> Polynom 1 grades multipliziert mit einer sinusfunktion
>
> im script steht
> [mm]g(t)=p_m(t)*cos(\omega*t)+q_m(t)*sin(\omega*t)[/mm]
>
> ich habe aber nur [mm]p_m(t)[/mm] und nicht [mm]q_m(t).[/mm] also nur ein
> polynom und nicht zwei
>
> >
> > Der richtige Lösungsansatz ist der weiter oben erwähnte.
> >
>
> diesen verstehe ich wohl nicht
Der Ansatz in deinem Skript stimmt schon - die Polynome, welche als Faktoren von sin und cos dort stehen haben zwar den selben Grad, aber eben nicht notwendigerweise dieselben Koeffizienten. Es werden in aller Regel verschiedene Polynome sein. Im Falle eines linearen Polynoms hast du somit 2*2 und damit genau wieder deine vier zu bestimmenden Koeffizienten.
Sieh es einfach pragmatischer und denk dir den Ansatz für die Partikulärlösung ausmultipliziert (das machst du ja ohnedies beim Koeffizientenvergleich).
Konkretes Beispiel: Quadratisches Polynome mal sin/cos Kombi. Wenn du das ausrechnest, wieviele verschiedene Terme kannst du bekommen? Das sind wohl sechs: [mm]t^2*sin(t);\ t*sin(t);\ sin(t);\ t^2*cos(t);\ t*cos(t);\ cos(t)[/mm] und für jeden dieser sechst Ausdrücke musst du den Koeffizienten bestimmen. Ob du das jetzt so wie in deinem Skript oder wie vorhin mit dem Summenzeichen oder irgendwie ganz anders aufschreibst ist letzlich egal. Das verwirrende an der Schreibweise in deinem Skript ist sicher die Tatsache, dass die Polynome m-ten Grades $P$ und $Q$ eben unterschiedliche Polynome sind - sie dürfen nicht gleichgesetzt werden!
Anders ausgedrückt: Nur weil in deiner Störfunktion q(t)=0 ist, beudetet das nicht, dass deswegen Q(t)=0 oder Q(t)=P(t) ist. Genauso gilt ja auch, dass wenn in deiner Störfunktion nur sin(t) vorkommt, dann kann deine Partikulärlösung deswegen trotzdem einen sinus-Anteil beinhalten.
Gruß RMix
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hallo,
also war meine Lösung schon richtig mit
g(t)=t*cos(t)
[mm] x_p(t)=(A*t+B)*(t^k*cos(t)+sin(t))
[/mm]
k =0 oder k=1. das hängt von den nullstellen von [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0 [/mm] ab
bei cos und sin kommen laut meinem Script keine Koeffizienten
das ist so richtig oder?
sry das ich so oft nachfragen muss
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> also war meine Lösung schon richtig mit
>
> g(t)=t*cos(t)
>
> [mm]x_p(t)=(A*t+B)*(t^k*cos(t)+sin(t))[/mm]
>
Mit diesem Ansatz läßt sich keine partikuläre Lösung der DGL
[mm]x''+x=t*\cos\left(t\right)[/mm]
ermitteln.
> k =0 oder k=1. das hängt von den nullstellen von
> [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm] ab
>
>
> bei cos und sin kommen laut meinem Script keine
> Koeffizienten
>
> das ist so richtig oder?
>
> sry das ich so oft nachfragen muss
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 30.07.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo
> >
> > also war meine Lösung schon richtig mit
> >
> > g(t)=t*cos(t)
> >
> > [mm]x_p(t)=(A*t+B)*(t^k*cos(t)+t^k*sin(t))[/mm]
> >
>
>
> Mit diesem Ansatz läßt sich keine partikuläre Lösung
> der DGL
>
> [mm]x''+x=t*\cos\left(t\right)[/mm]
>
> ermitteln.
>
hier wäre die partikuläre lösung
[mm] x_p(t)=(A*t^2+B*t)*t^k*cos(t)+(C*t^2+D*t)t^k*sin(t)
[/mm]
ich habe aber im ersten beitrag erwähnt, dass ich mich auf folgende dgl beziehe:
x''+ax'+bx=g(t) mit [mm] b\not=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> hallo,
>
> also war meine Lösung schon richtig mit
>
> g(t)=t*cos(t)
>
> [mm]x_p(t)=(A*t+B)*(t^k*cos(t)+sin(t))[/mm]
Nein! Das ist doppelt falsch!
Ist doch schon mehrmals erwähnt worden, dass du in diesem Fall vier Koeffizienten bestimmen musst. Warum glaubst du immer noch, dass du mit zwei auskommst?
Außerdem gehört der Faktor [mm] $t^k$ [/mm] nicht nur zu cos(t).
>
> k =0 oder k=1. das hängt von den nullstellen von
> [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm] ab
Ja , und zwar in doppelter Hinsicht. Entweder es ist [mm] $\lambda_{1,2}=\pm{j}$, [/mm] dann kommt der Faktor $t$ zu sin(t) UND cos(t) dazu, oder es ist eine Lösung [mm] $\lambda=0$, [/mm] dann kommt der Faktor t formal zum Polynom dazu. Den Fall, dass beide Nullstellen des charakteristischen Polynoms Null sind können wir wohl ignorieren, denn da musst du nur zweimal integrieren.
Zieh den faktor [mm] t^k [/mm] doch einfach ganz nach vor oder lass ihn zunächst ganz weg, schließlich ist dein Problem ja ganz etwas anderes.
>
> bei cos und sin kommen laut meinem Script keine
> Koeffizienten
>
> das ist so richtig oder?
NEIN!Dein Skript "sagt" doch
$ [mm] x_p(t)=P_m(t)\cdot{}t^k\cdot{}cos(\omega\cdot{}t)+Q_m(t)\cdot{}t^k\cdot{}sin(\omega\cdot{}t) [/mm] $
also:
$ [mm] x_p(t)=\left({A*t+B}\right)\cdot{}t^k\cdot{}cos(\omega\cdot{}t)+\left({C*t+D}\right)\cdot{}t^k\cdot{}sin(\omega\cdot{}t) [/mm] $,
denn dass [mm] $P_m(t)\not={Q_m(t)}$ [/mm] hast du in meiner Antwort vorhin doch verstanden, oder?
Wie vorhin auch schon geschrieben hat (wenn ausmultipliziert) jeder der vier Summanden (sin, t*sin, cos, t*cos) [mm] (t^k [/mm] hab ich jetzt weggelassen) seinen "eigenen" Koeffizienten!
RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mi 30.07.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> Außerdem gehört der Faktor [mm]t^k[/mm] nicht nur zu cos(t).
jepp das habe ich vergessen hinzuzufügen
> NEIN!Dein Skript "sagt" doch
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)\cdot{}t^k\cdot{}cos(\omega\cdot{}t)+Q_m(t)\cdot{}t^k\cdot{}sin(\omega\cdot{}t)[/mm]
>
> also:
>
> [mm]x_p(t)=\left({A*t+B}\right)\cdot{}t^k\cdot{}cos(\omega\cdot{}t)+\left({C*t+D}\right)\cdot{}t^k\cdot{}sin(\omega\cdot{}t) [/mm],
>
ach jetzt verstehe ich was du meinst. ok damit hat sich die frage erledigt.
danke für eure hilfe leute
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