Dgl höherer Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stellen Sie folgende Dgl jeweils als Differentialgleichungssystem der Ordnung 1 dar:
a) [mm] x``+2\gamma x`+\omega_0^2x=sint [/mm] mit [mm] \gamma, \omega_0>0
[/mm]
b) [mm] t^4x^4+3t^2x``-7tx+8x=lnt
[/mm]
c) [mm] x``=g*m*\bruch{x}{|x|^3} [/mm] mit x=x(t) [mm] \in \IR^3 [/mm] und g,m>0
d) Stellen Sie, sofern möglich, folgende Dgl-Systeme y`=Ay als Dgl. 2. Ordnung dar:
[mm] A=\pmat{ o & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] bzw. [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] |
ich habe gleich zu beginn eine Frage. Muss ich das Störglied = 0 setzen?
z.b. aufg. a)
[mm] x``+2\gamma x`+\omega_0^2x=sint
[/mm]
[mm] x``+2\gamma x`+\omega_0^2x=0
[/mm]
und jetzt kann ich das Dgl. umwandeln oder?
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Hallo arbeitsamt,
> Stellen Sie folgende Dgl jeweils als
> Differentialgleichungssystem der Ordnung 1 dar:
>
> a) [mm]x''+2\gamma x'+\omega_0^2x=sint[/mm] mit [mm]\gamma, \omega_0>0[/mm]
>
> b) [mm]t^4x^4+3t^2x''-7tx+8x=lnt[/mm]
>
> c) [mm]x''=g*m*\bruch{x}{|x|^3}[/mm] mit x=x(t) [mm]\in \IR^3[/mm] und g,m>0
>
> d) Stellen Sie, sofern möglich, folgende Dgl-Systeme y'=Ay
> als Dgl. 2. Ordnung dar:
>
> [mm]A=\pmat{ o & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] bzw. [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> ich habe gleich zu beginn eine Frage. Muss ich das
> Störglied = 0 setzen?
>
Nein.
> z.b. aufg. a)
>
> [mm]x''+2\gamma x'+\omega_0^2x=sint[/mm]
>
> [mm]x''+2\gamma x'+\omega_0^2x=0[/mm]
>
> und jetzt kann ich das Dgl. umwandeln oder?
Setze zunächst
[mm]x=x_{1}, \ x'=x_{2}=x_{1}'[/mm]
Dann kannst Du die DGL 2. Ordnung in ein
System von DGLn 1. Ordnung umwandeln:
[mm]\pmat{x_{1}' \\ x_{2}'}=\pmat{0 & 1 \\ ... & ...}\pmat{x_{1} \\ x_{2}}+\pmat{0 \\ ...}[/mm]
Gruss
MathePower
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hallo,
[mm] x''+2\gamma x'+\omega_0^2x=sint
[/mm]
[mm] y_1=x
[/mm]
[mm] y_22=y_1'=x'
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] y_2'+2\gamma y_2+\omega_0^2y=sint
[/mm]
[mm] y_2'=sint-2\gamma y_2-\omega_0^2y
[/mm]
ich weiß nicht wie es weiter geht. wie bilde ich nun die matrix?
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> [mm]x''+2\gamma x'+\omega_0^2x=sint[/mm]
>
> [mm]y_1=x[/mm]
> [mm]y_22=y_1'=x'[/mm]
>
[mm]y_2=y_1'=x'[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]y_2'+2\gamma y_2+\omega_0^2y=sint[/mm]
>
> [mm]y_2'=sint-2\gamma y_2-\omega_0^2y[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]y_2'=sint-2\gamma y_2-\omega_0^2y_{\blue{1}}[/mm]
> ich weiß nicht wie es weiter geht. wie bilde ich nun die
> matrix?
Du hast ja noch die Gleichung [mm]y_{1}'=y_2[/mm]
In Vektorform sieht das dann so aus:
[mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=\pmat{y_2 \\ sin(t)-2\gamma y_2-\omega_0^2y_1}[/mm]
Das kannst Du jetzt in der Form
[mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=A\pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ \sin\left(t\right)[/mm]
schreiben.
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> Das kannst Du jetzt in der Form
>
> [mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=A\pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ \sin\left(t\right)[/mm]
>
> schreiben.
[mm] \pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}= \pmat{ 0 & 1 \\ -\omega_0^2 & -2\gamma} \pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ \sin\left(t\right)}
[/mm]
ist das nun die gesuchte dgl 1 ordnung?
ich habe noch eine allgemeine Frage zu dgl:
Bei dgl 1 Ordnung (homogen) gibt es zwei funktionen x(t) und g(t) [mm] \Rightarrow [/mm] x'=x(t)*g(t)
Bei Dgl 2 Ordnung (homogen) ist nur eine funktion mit ihren Ableitrungen vorhanden [mm] \Rightarrow [/mm] x''+x'+x=0
wo ist die zweite funktion g(t) bei dgl 2 Ordnung?
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Hallo arbeitsamt,
> > Das kannst Du jetzt in der Form
> >
> > [mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=A\pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ \sin\left(t\right)[/mm]
>
> >
> > schreiben.
>
>
> [mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}= \pmat{ 0 & 1 \\ -\omega_0^2 & -2\gamma} \pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ \sin\left(t\right)}[/mm]
>
>
> ist das nun die gesuchte dgl 1 ordnung?
>
Ja.
> ich habe noch eine allgemeine Frage zu dgl:
>
> Bei dgl 1 Ordnung (homogen) gibt es zwei funktionen x(t)
> und g(t) [mm]\Rightarrow[/mm] x'=x(t)*g(t)
>
> Bei Dgl 2 Ordnung (homogen) ist nur eine funktion mit ihren
> Ableitrungen vorhanden [mm]\Rightarrow[/mm] x''+x'+x=0
>
> wo ist die zweite funktion g(t) bei dgl 2 Ordnung?
Wie bei allen skalaren DGLn gibt es nur eine Funktion
mit ihren entsprechenden Ableitungen.
Handelt es sich um ein System von Dgln,
so gibt es natürlich mehrere Funktionen
mit samt ihren Ableitungen.
Gruss
MathePower
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b) [mm] t^4x^4+3t^2x''-7tx+8x=lnt
[/mm]
[mm] y_1=x
[/mm]
[mm] y_2=y_1'=x'
[/mm]
[mm] y_3=y_2'=x''
[/mm]
[mm] y_4=y_3'=x'''
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] t^4y_4'+3t^2y_3-7ty_1+8y_1=lnt
[/mm]
[mm] y_4'=\bruch{lnt}{t^4}-\bruch{3y_3}{t^2}+\bruch{7y_1}{t^3}-\bruch{8y_1}{t^4}
[/mm]
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{lnt}{t^4}}+A\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \bruch{2}{t^3}-\bruch{8}{t^4} & 0 & \bruch{3}{t^2} & 0}
[/mm]
ich bitte um Korrektur. hat diese methode, dgl höherer ordnung in die 1 ordnung um zuwandeln, auch einen namen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Sa 14.06.2014 | | Autor: | leduart |
Gallo
steht da [mm] x^4 [/mm] oder x''''' also 4 te Ableitung oder x''' also dritte Ableitung als erstes Glied?
deine Herleitung gilt wenn es mit t^4x''' anfängt.
dann ist das System fpr [mm] t\not=0 [/mm] richtig
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 14.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo,
> steht da [mm]x^4[/mm] oder x''''' also 4 te Ableitung oder x'''
> also dritte Ableitung als erstes Glied?
in der aufgabe steht [mm] x^{(4)}. [/mm] das soll wahrscheinlich für die 4te ableitung stehen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Sa 14.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Arbeitsamt,
> b) [mm]t^4x^4+3t^2x''-7tx+8x=lnt[/mm]
Annahme: [mm] x^{(4)}.
[/mm]
> [mm]y_1=x[/mm]
>
> [mm]y_2=y_1'=x'[/mm]
>
> [mm]y_3=y_2'=x''[/mm]
>
> [mm]y_4=y_3'=x'''[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]t^4y_4'+3t^2y_3-7ty_1+8y_1=lnt[/mm]
>
> [mm]y_4'=\bruch{lnt}{t^4}-\bruch{3y_3}{t^2}+\bruch{7y_1}{t^3}-\bruch{8y_1}{t^4}[/mm]
Richtig.
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{lnt}{t^4}}+A\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \bruch{2}{t^3}-\bruch{8}{t^4} & 0 & \bruch{3}{t^2} & 0}[/mm]
Das stimmt nicht. Multipliziere mal aus, dann siehst du es.
> ich bitte um Korrektur. hat diese methode, dgl höherer
> ordnung in die 1 ordnung um zuwandeln, auch einen namen?
Transformation von Gleichungen n-ter Ordnung in ein Gleich-
ungssystem erster Ordnung?
Gruß
DieAcht
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>
> > [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{lnt}{t^4}}+A\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> >
> > [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \bruch{2}{t^3}-\bruch{8}{t^4} & 0 & \bruch{3}{t^2} & 0}[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Multipliziere mal aus, dann siehst du
> es.
es müsste heißen
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \bruch{7 }{t^3}-\bruch{8}{t^4} & 0 & \bruch{3}{t^2} & 0}
[/mm]
einen anderen fehler sehe ich jetzt nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Sa 14.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> >
> > > [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{lnt}{t^4}}+A\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \bruch{2}{t^3}-\bruch{8}{t^4} & 0 & \bruch{3}{t^2} & 0}[/mm]
>
> >
> > Das stimmt nicht. Multipliziere mal aus, dann siehst du
> > es.
>
> es müsste heißen
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \bruch{7 }{t^3}-\bruch{8}{t^4} & 0 & \bruch{3}{t^2} & 0}[/mm]
>
> einen anderen fehler sehe ich jetzt nicht
Jetzt stimmt es.
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Ich denke das ich auf. c falsch gelöst habe, da die funktion x ein vektor ist. muss ich da auf was besonderes achten? ich hätte es so gelöst:
[mm] x''=g*m*\bruch{x}{|x|^3}
[/mm]
[mm] y_1=x
[/mm]
[mm] y_2=y_1'=x'
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] y2'=g*m*\bruch{y_1}{|y_1|^3}
[/mm]
[mm] \vektor{y_1'\\ y_2'}=\vektor{y_2\\ g*m*\bruch{y_1}{|y_1|^3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \vektor{y_1'\\ y_2'}=\pmat{ 0 & 1 \\ \bruch{gm}{|y_1|^3} & 0 }\vektor{y_1\\ y_2}
[/mm]
ich bitte um korrektur. bei d) muss ich doch jetzt umgekehrt ran gehen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 14.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, da stet doch ausgeschrieben
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}'=gm/|\vec{x}|^3*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
das gibt ein System mit 6 Komponenten.
Gruss leduart
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hallo,
was wäre der richtige ansatz?
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}''=\bruch{1}{|x|^3}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
[mm] y_1=x_1
[/mm]
[mm] y_2=y_1`=x_2 [/mm] oder [mm] x_1` [/mm] ?
[mm] y_3=y_2`= [/mm] was?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Sa 14.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
[mm] \vektor{y_4\\y_5\\y_6}=(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})'
[/mm]
(
bzw du schreibst es als einen 6d Vektor
wie kommst du auf die Nachfrage nachdem ich von einem System mit 6 Gl. sprach?
Gruss leduart
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[mm] \vektor{y_1' \\ y_2'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{y_1 \\ y_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] y_1'=y_2
[/mm]
[mm] y_2'=y_1
[/mm]
und wie leite ich nun die dgl. 2 ordnung her?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 14.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh nicht was du gemacht hast
wo bleiben meine 6 ypsilons?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Sa 14.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
das ist mein ansatz zu aufg d)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 15.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
kein Danke, keine Bestätigung der vorigen Antworten, kein Wort was das soll, aber wir sollen nett antworten?
wenn man eine zwite ordnung will, sollte man eine erste differenzieren, z.B die erst deiner Gl.
Das was du schriebst ist kein Ansatz, sondern nur y'=Ay ausgeschrieben!
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 So 15.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo
> kein Danke, keine Bestätigung der vorigen Antworten, kein
> Wort was das soll, aber wir sollen nett antworten?
ich verstehe deine reaktion jetzt nicht. ich habe aufg. c) noch nicht gelöst und einfach mit der nächsten aufgabe angefangen. ich bin immer für jede antwort dankbar. mir gefällt diese seite auch, sonst würde ich hier auch nicht so viele fragen stellen
> Das was du schriebst ist kein Ansatz, sondern nur y'=Ay ausgeschrieben!
Da A eine 2x2 Matrix ist, gehe ich davon aus, dass eine Dgl 2 Ordnung in die dgl 1 Ordnung in der form y'=Ay umgewandelt worden ist. ich habe mir gedacht, dass ich es zurück umwandeln kann, indem ich einfach von hinten anfange
[mm] y'=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }y
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] y_1'=y_1+y_2
[/mm]
[mm] y_2'=y_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x=y_1
[/mm]
[mm] x'=y_2=y_1'
[/mm]
[mm] x''=y_2'
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
x'=x+x'
x''=x
Ich bekomme folgende Dgl 2 ordnung:
x''=0
sieht aber nicht richtig aus
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