Dgl lösen mit Trigon. Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Löse die DGL:
dy/dx = [mm] cos^{2009}(y) [/mm] |
Hallo.
Unser Professor stellt in der mündlichen Prüfung öfters die Frage wie man solche DGL's löst.
Ich habe allerdings keine Anung wie ich an diese DGL herangehen soll. Es muss für die Lösung anscheinend irgendeinen Trick geben.
Ich hatte daran überlegt, sie über Trennung der Variablen und anschließende Substitution und Produktintegration zu lösen, aber hierbei wirft sich das Problem auf, dass ich 1. den Kosinus im Nenner stehen hab (und die Lösung von 1/cos ableiten/integrieren nicht kenne) und 2. für eine Substitution der sin den ich in der Ableitung dann erhalte nicht schon vorhanden ist.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen
ann.
|
|
| |
|
Hallo anncharlot,
das ist ja eine herzige Aufgabe...
> Löse die DGL:
> dy/dx = [mm]cos^{2009}(y)[/mm]
> Hallo.
> Unser Professor stellt in der mündlichen Prüfung öfters
> die Frage wie man solche DGL's löst.
Ich würde vermuten, dass in diesem Jahr der Exponent zufällig 2012 beträgt...
> Ich habe allerdings keine Anung wie ich an diese DGL
> herangehen soll. Es muss für die Lösung anscheinend
> irgendeinen Trick geben.
> Ich hatte daran überlegt, sie über Trennung der
> Variablen und anschließende Substitution und
> Produktintegration zu lösen, aber hierbei wirft sich das
> Problem auf, dass ich 1. den Kosinus im Nenner stehen hab
> (und die Lösung von 1/cos ableiten/integrieren nicht
> kenne) und 2. für eine Substitution der sin den ich in der
> Ableitung dann erhalte nicht schon vorhanden ist.
Ja, das ist ein Problem.
Du könntest möglicherweise eine iterative Lösung in etwa [mm] 2009\pm1 [/mm] Schritten finden, aber ich würde immer hellhörig werden, wenn trigonometrische Funktion in "höherer" Potenz auftauchen, spätestens ab etwa der fünften, vielleicht schon ab der dritten.
Dann spricht meist viel dafür, komplex weiterzuarbeiten.
Dann hieße die DGl.: [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{\left(e^{iy}+e^{-iy}\right)^{2009}}{2^{2009}}=\left(\cosh{iy}\right)^{2009}
[/mm]
Besser? Zur Definition bzw. dem Zusammenhang von cosh und cos z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Für den mathematisch nicht so beschlagenen Leser: Was hat man durch diese Umformung gewonnen (Ich sehe es leider nicht.) bzw. wie integriert man überhaupt komplexwertige Funktionen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Di 21.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo franzzink,
> nicht.) bzw. wie integriert man überhaupt komplexwertige
> Funktionen?
Wenn $y=u+iv$ mit reellen Funktionen [mm] $u,\, [/mm] v$, so ist
[mm] $\int [/mm] y = [mm] \int [/mm] u + [mm] i\int [/mm] v$
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Di 21.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo Wolfgang,
danke für die Erklärung.
Schöne Grüße
franzzink
|
|
|
| |
|
Es kommt doch dann mit der Exp.funktion wegen dem 1/2 :
[mm] (e^{iy}+e^{-iy})/2^{2010} [/mm] = dy/dx heraus
wenn ich aber umstelle bekomme ich :
[mm] 2^{2010}/(e^{iy}+e^{-iy}) [/mm] dy = dx
hier kann ich aber auch keine Produktintegration oder ähnliches machen um das integral zu lösen da ich für den term kein aufgespaltenes produkt finde. allerdings habe ich einmal mit quotientenregel das ableiten der Funktion ausprobiert, was mich allerdings auch nicht weiterbringt, da der term schon beim ersten ableiten zu kompliziert wird und ich den zusammenhang der n-ten Ableitung / bzw dann Integration nicht sehe.
Wenn ich den cos durch cosh ersetze bringt mich das bei meinem Integrationsproblem auch irgendwie nicht weiter. ich weis zwar was das Integral von cosh bzw cos ist aber nicht von [mm] cos^{-2009} [/mm] bzw [mm] cosh^{-2009} [/mm] ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Di 21.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo anncharlot,
[mm] $y(x)=\pi/2$ [/mm] löst [mm] $y'=cos^n [/mm] y$.
Gruß
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 21.08.2012 | | Autor: | hippias |
Trennung der Variablen muesste theoretisch erfolgreich sein: Denn ganz-rationale Funktionen in den trigonometrischen Funktionen kannst Du mit Hilfe der Substitution $z= [mm] tan(\frac{x}{2})$ [/mm] und eventuell anschliessender Partialbruchzerlegung o.ae. loesen. Die Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{cos^{n}(x)}$ [/mm] findest Du im Prinzip hier
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions
Andererseits: Da die Steigung von $y$ betragsmaessig [mm] $\leq [/mm] 1$ ist, und wegen des hohen Exponenten sowieso praktisch $=0$ ist, muesste sich die Loesung doch auch sehr gut numerisch bestimmen lassen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 21.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Kann es sein, dass Dein Prof. nicht nur eine DGL vorgelegt hat, sondern ein AWP, etwa:
dy/dx = $ [mm] cos^{2009}(y) [/mm] $, [mm] y(0)=\pi/2
[/mm]
?
Dieses AWP hat genau eine Lösung. Welche ?
FRED
|
|
|
| |
|
@hippias: ja man kann [mm] 1/cos^{2009} [/mm] natürlich in dieser Formelsammlung nachschlagen und findet eine Lösung mit [mm] cos^{n-2} [/mm] für [mm] cos^{n} [/mm] ,
aber das sind für eine 20min mündliche Prüfung eindeutig zu viele Schritte und wenn man die Lösung nicht nachschlägt sondern rechnen will dauert das eindeutig zu lange. Es muss also einen Trick oder eine einfachere Lösung geben v.a. bei so spaßig hohen exponenten.
@helbig: ich will ja die gesamte lösung der DGL und nicht eine spezielle.
@Fred97: ja ich weis schon, dass die Funktion Lipschitzstetig ist da ich eine Lipschitzkonstante finden kann mit:
[mm] 2009*cos^{2008}(y)* [/mm] (-sin(y)) [mm] \le [/mm] 2009
2009 wäre dann die Lipschitzkonst.
dadurch weis ich dass eine eindeutige Lösung existiert. Aber wie berechne ich diese jetzt explizit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Helbig |
> @helbig: ich will ja die gesamte lösung der DGL und nicht
> eine spezielle.
Hallo anncharlot,
definiere "gesamte Lösung". Ich kenne den Begriff nicht. So wie die Frage formuliert ist, fragte der Prof. nach einer Lösung der DGL und nicht nach der Menge aller Lösungen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast die Frage quasi schon selbst beantwortet - zumindest zum Teil:
WENN die Aufgabe als Anfangswertproblem gestellt ist und
WENN dabei gilt: [mm] y(0)=\pi/2
[/mm]
Dann ist die "spezielle Lösung" [mm] y(x)=\pi/2 [/mm] auch die einzige Lösung der Anfangswertaufgabe. Dies folgt direkt aus der Lipschitz-Stetigkeit.
Dementsprechend lässt sich auch ganz einfach eine eindeutige Lösung für alle anderen Startpunkte [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm]
mit [mm] y_{0} [/mm] = ... , - [mm] \bruch{3}{2}\pi, [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\pi, \bruch{1}{2}\pi, \bruch{3}{2}\pi, [/mm] ... finden.
Sind andere Startpunkte gegeben oder ist die Aufgabe nicht als Anfangswertproblem formuliert, lässt sich die Lösung scheinbar nicht so leicht angeben...
|
|
|
| |
|
also bis jetzt mussten wir noch immer eine Formel für y(x) finden die die Dgl löst und alle Lösungen beinhaltet. Das AWP haben wir dann nur benutzt um die Integrationskonstanten zu bestimmen und so y(x) eindeutig zu machen.
Er hatte diese Frage ein paar mal gestellt manchmal auch ohne AWP angegeben zu haben.
Ich könnte mir nur denken dass es eine einfache Möglichkeit gibt es auszurechnen gerade auch weil es eine Trigonometrische Funktion beinhaltet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 22.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt mit Sicherheit keine allgemeine Lösung, die man in einer mündlichen Prüfung erarbeiten kann.
solche Fragen werden eben oft nur ungenau nach der Prüfung mitgeteilt! also sei sicher, dass das ein AW Problem war und hör auf eine allgemeine Lösung zu suchen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
naja ich denke wirklich durchrechnen muss man es wahrscheinlich nicht, aber zumindest anfangen und wissen wie man es berechnen kann, also wär es nicht schlecht einmal das ergebnis berechnet zu haben.
und er fragt schließlich nach der lösung von y(x) und nicht nach irgendeiner zahl die diese gleichung löst, ansonsten könnte man ja auch einfach das AWP einsetzen (da dieses ja die gleichung schon löst)
|
|
|
| |
|
Hallo anncharlot,
> naja ich denke wirklich durchrechnen muss man es
> wahrscheinlich nicht, aber zumindest anfangen und wissen
> wie man es berechnen kann, also wär es nicht schlecht
> einmal das ergebnis berechnet zu haben.
> und er fragt schließlich nach der lösung von y(x) und
> nicht nach irgendeiner zahl die diese gleichung löst,
> ansonsten könnte man ja auch einfach das AWP einsetzen (da
> dieses ja die gleichung schon löst)
Du kannst hier eine Näherungslösung bestimmen.
Ausgehend von
[mm]\bruch{dy}{dx}=\cos^{2009}\left(y\right)[/mm]
wird dies differenziert:
[mm]\bruch{d^{2} y}{dx^{2}}=-2009*\cos^{2008}\left(y\right)*\sin\left(y\right)* \bruch{dy}{dx}[/mm]
Anschliessend ersetzt:
[mm]\bruch{d^{2} y}{dx^{2}}=-2009*\cos^{2008}\left(y\right)*\sin\left(y\right)* \cos^{2009}\left(y\right)[/mm]
Bestimmst Du jetzt [mm]y'\left(x_{0}\right), \ y''\left(x_{0}\right) [/mm],
so ergibt sich eine Näherungslösung zu:
[mm]y\left(x\right)=y\left(x_{0}\right)+y'\left(x_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+\bruch{y''\left(x_{0}\right)}{2}*\left(x-x_{0}\right)^{2}[/mm]
,wobei [mm]y\left(x_{0}\right)=y_{0}[/mm] die Anfangsbedingung ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mi 22.08.2012 | | Autor: | anncharlot |
super danke, soetwas habe ich gesucht 
also praktisch eine Taylorentwicklung.
lg ann
|
|
|
|
