Diag. stoch. Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \Pi [/mm] eine stochastische [mm] d \times d [/mm]-Matrix mit ausschließlich positiven Einträgen. Dann gibt es eine Zerlegung von [mm] \Pi [/mm] von der Form
[mm] \Pi = P D P^{-1} ,[/mm]
wobei
- [mm] D = diag(1, \alpha_2, \ldots , \alpha_d)[/mm] die Diagonalmatrix der Eigenwerte von [mm] \Pi [/mm] ist
- die erste Spalte von [mm] P [/mm] gleich [mm] (1, \ldots , 1)[/mm] ist
- und die erste Zeile von [mm]P{-1} [/mm] gleich der invarianten Verteilung von [mm] \Pi [/mm] ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich schreibe zur Zeit an meiner Diplomarbeit in WT und bin im Zuge meiner Recherche auf obige Behauptung in![[]](/images/popup.gif) diesem Paper, Seite 22 gestoßen.
Der Diagonalisierbarkeitsbegriff dort scheint nicht der aus dem LA-Grundstudium zu sein, denn [mm] \Pi [/mm] ist im Allgemeinen nicht invertierbar.
Wie ist die Diagonalisierung dort gemeint, wo könnte ich in der Literatur Beweise für die Durchführbarkeit finden?
Meine Vermutung war, dass hier die „fehlenden“ Eigenwerte in [mm] D [/mm] und Eigenvektoren in [mm] P [/mm] jeweils durch 0 bzw 0-Spalten definiert werden. [mm] P [/mm] wäre dann aber nicht invertierbar. Ich habe mir deshalb gedacht, dass [mm] P^{-1} [/mm] vielleicht eine Matrix sein könnte,
- die genau viele 0-Zeilen besitzt wie [mm] P [/mm] 0-Spalten
- und für die [mm] PP^{-1} [/mm] von der Form
[mm] \pmat{ diag(1, \ldots ,1) & 0 \\ 0 & diag(0, \ldots ,0) } [/mm]
ist.
Liege ich damit in etwa richtig?
Ich danke im Vorraus für eure Aufmerksamkeit und Hilfe.
Beste Grüße,
Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\Pi[/mm] eine stochastische [mm]d \times d [/mm]-Matrix mit
> ausschließlich positiven Einträgen. Dann gibt es eine
> Zerlegung von [mm]\Pi[/mm] von der Form
>
> [mm]\Pi = P D P^{-1} ,[/mm]
> wobei
> - [mm]D = diag(1, \alpha_2, \ldots , \alpha_d)[/mm] die
> Diagonalmatrix der Eigenwerte von [mm]\Pi[/mm] ist
> - die erste Spalte von [mm]P[/mm] gleich [mm](1, \ldots , 1)[/mm] ist
> - und die erste Zeile von [mm]P{-1}[/mm] gleich der invarianten
> Verteilung von [mm]\Pi[/mm] ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo, ich schreibe zur Zeit an meiner Diplomarbeit in WT
> und bin im Zuge meiner Recherche auf obige Behauptung
> indiesem Paper,
> Seite 22 gestoßen.
>
> Der Diagonalisierbarkeitsbegriff dort scheint nicht der aus
> dem LA-Grundstudium zu sein, denn [mm]\Pi[/mm] ist im Allgemeinen
> nicht invertierbar.
Dass [mm] $\Pi$ [/mm] nicht invertierbar ist ist nicht das Problem. Schlimmer ist, dass [mm] $\Pi$ [/mm] nicht diagonalisierbar sein muss!
> Wie ist die Diagonalisierung dort gemeint, wo könnte ich
> in der Literatur Beweise für die Durchführbarkeit
> finden?
Das einzige, was ich mir denken kann, ist dass [mm] $P^{-1}$ [/mm] nicht die Inverse von $P$ ist, sondern irgendetwas anderes. Aber was, das weiss ich nicht...
Es muss zumindest eine Matrix sein, die [mm] $A^n [/mm] = P [mm] \Pi^n P^{-1}$ [/mm] unterstuetzt. Das macht das ganze etwas komplizierter; ich wuerde spontan vermuten, dass dies nur fuer die Inverse von $P$ selber geht.
> Meine Vermutung war, dass hier die „fehlenden“
> Eigenwerte in [mm]D[/mm] und Eigenvektoren in [mm]P[/mm] jeweils durch 0 bzw
> 0-Spalten definiert werden. [mm]P[/mm] wäre dann aber nicht
> invertierbar. Ich habe mir deshalb gedacht, dass [mm]P^{-1}[/mm]
> vielleicht eine Matrix sein könnte,
> - die genau viele 0-Zeilen besitzt wie [mm]P[/mm] 0-Spalten
> - und für die [mm]PP^{-1}[/mm] von der Form
> [mm]\pmat{ diag(1, \ldots ,1) & 0 \\ 0 & diag(0, \ldots ,0) }[/mm]
Wie schon gesagt, das Problem ist nicht dass [mm] $\Pi$ [/mm] nicht invertierbar ist, sondern dass die Eigenraeume von [mm] $\Pi$ [/mm] zu klein sein koennen. Deine Vermutung bringt dich deswegen nicht weiter.
Vielleicht solltest du die Autoren mal anschreiben und fragen, warum die Matrix [mm] $\Pi$ [/mm] immer diagonalisierbar ist, oder was genau sie mit "diagonalisierbar" meinen?
LG Felix
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Schonmal herzlichen Dank!
Vielleicht sollte ich mich kurz dazu äußern, wie ich zu meiner Vermutung gekommen bin:
Besteht die stoch. Matrix [mm] \Pi [/mm] aus identischen Zeilen [mm] \mu [/mm] , dann ist 1 der einzige Eigenwert, der zugehörige Eigenraum hat die Dimension 1. In diesem Fall ist dann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\1 & 0 & \ldots & 0} \pmat{ 1 & 0 & \ldots & 0 \\0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & \ldots & 0} \pmat{ \mu \\ 0 \\ \vdots \\0} [/mm]
eine Zerlegung von [mm]P[/mm], die der Aufgabenstellung genügt.
Meine Vermütung ist eine Verallgemeinerung dieses Spezialfalls.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 16.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Nun ist eine Woche vergangen. Darf ich noch auf Antworten hoffen, oder ist die Frage im Sande verlaufen?
(Ich möchte nicht ungeduldig erscheinen; mich verunsichert nur, dass es längere Zeit keine sichtbare Aktivität mehr gegeben hat.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 06.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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