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| Aufgabe | | Ein diagnostischer Test zeige in 99% der Fälle das korrekte Ergebnis, bei Erkankten und bei nicht Erkrankten. Wenn man davon ausgeht, dass nur 0,4% der Bevölkerung diese Erkankung hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann ein zufällig ausgewählte Person, deren Test die Erkrankung anzeigt, tatsächlich erkrankt? Geben Sie eine anschauliche Erklärung für die (unerwartet?) kleine Wahrscheinlichkeit. |
Ich habe mir das mal so gedacht:
P(krank) = 0,004
P(nicht_krank) = 1-0,004
P(korrekt|krank) = 0,99
P(korrekt|nicht_krank) =0,99
P(krank|korrekt) = [mm] \bruch{P(krank)*P(korrekt|krank)}{P(korrekt|krank)*P(krank) + P(korrekt|nicht_krank)*P(nicht_krank)} [/mm] = 0,004
Kann das stimmen? Das Ergebnis kommt mir seltsam vor, weil es ja gleich dem P(krank) ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich habe Deine Zahlen mal in eine Tabelle umgesetzt, dann lässt sich sehr schön das Ergebnis direkt ablesen. Durch die hohe Erfolgswahrscheinlichkeit des Tests meint man, die Anzahl der Erkrankten müsste auch so hoch sein, dem ist aber nicht so. "Test positiv" bedeutet, dass der Test das richtige anzeigt, Kranke sind wirklich krank, Gesunde wirklich gesund.
Personen Test positiv Test negativ
Krank 400 396 4
Gesund 99600 98604 996
Summe 100000 99000 1000
396/99000 sind wirklich krank.
Viele Grüße,
Infinit
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Danke, die Tabelle wirkt sehr übersichtlich!
So wie ich es gelöst habe, also mit Bayes und vollständiger Wahrscheinlichkeit, stimmt es aber auch oder? Es kommt zumindest das gleiche heraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
Dir ist da ein kleiner Fehler unterlaufen:
> P(krank) = 0,004
> P(nicht_krank) = 1-0,004
> P(korrekt|krank) = 0,99
> P(korrekt|nicht_krank) =0,99
>
> P(krank|korrekt) =
> [mm]\bruch{P(krank)*P(korrekt|krank)}{P(korrekt|krank)*P(krank) + P(korrekt|nicht_krank)*P(nicht_krank)}[/mm]
> = 0,004
Du willst ja gar nicht wissen P(krank|korrekt) sondern P(krank|"krank wird angezeigt")
Am besten vorher mal die Zufallsvariablen ordentlich definieren, und da würde ich dir nicht "korrekt" empfehlen, sondern eben "krank wird angezeigt" (oder K) und sonst [mm] \overline{K}.
[/mm]
Damit wär z.B. P(K|nicht_krank)=0,01.
Dann kannst du die Formel schon so verwenden.
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OK, dann bekomme ich folgendes raus:
[mm] \bruch{P(K|krank)*P(krank)}{P(K|krank)*P(krank) + P(K|nicht_krank)*P(nicht_krank)} [/mm] = [mm] \bruch{0,99*0,004}{0,99*0,004+0,01*(1-0,004)} [/mm] = 0,284
Das ist jetzt natürlich ein anderes Ergebnis als die 396/99000 vom Vorredner, was stimmt nun? Die 0,284 oder? Die 396/99000 gelten für eine andere Fragestellung?
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Hallo,
> OK, dann bekomme ich folgendes raus:
>
> [mm]\bruch{P(K|krank)*P(krank)}{P(K|krank)*P(krank) + P(K|nicht_krank)*P(nicht_krank)}[/mm]
> = [mm]\bruch{0,99*0,004}{0,99*0,004+0,01*(1-0,004)}[/mm] = 0,284
>
> Das ist jetzt natürlich ein anderes Ergebnis als die
> 396/99000 vom Vorredner, was stimmt nun? Die 0,284 oder?
Dein Ergebnis ist richtig.
Den Wert aus der Tabelle, den Infinit abliest, ist die Wahrscheinlichkeit für P(krank und Test zeigt "krank" an), also noch gar keine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Zur Lösung deiner Textaufgabe "warum ist das so?" kannst du trotzdem nochmal einen Blick auf Infinit's Tabelle werfen. Da kannst du sehen:
Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person die Krankheit hat, so gering ist (0.4%), sieht das Verhältnis des Tests folgendermaßen aus:
Krank und Test zeigt krank: 0.004*0.99 = 0.00396
Gesund und Test zeigt krank: 0.996*0.01 = 0.00996
Das bedeutet: Wenn der Test "krank" zeigt, kommt das entweder aus dem Lager der Kranken - dort konnte es aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.00396 entstehen; ganz anders als beim Lager der Gesunden, wo das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.00996 entstehen konnte.
Mit anderen Worten (und nur direkt von oben abgelesen): Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer Person aus der Menge der Menschen, die zu 0.4% krank sind, "krank" zeigt und die Person wirklich krank ist, ist viel geringer als dass der Test "krank" zeigt und die Person gesund ist.
Grüße,
Stefan
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