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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 08.07.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] sei die Matrix [mm] A_{\alpha} \in \IR^{3,3} [/mm] gegeben durch:
[mm] A_{\alpha}=\pmat{3&1&0\\0&\alpha&0\\0&0&2}
[/mm]
Teilaufgabe b)
Zeigen Sie, dass [mm] A_{\alpha} [/mm] für alle [mm] \alpha\not=3 [/mm] diagonalisierbar, aber für [mm] \alpha=3 [/mm] nicht diagonalisierbar ist. (Hinweis: Überlegen Sie sich, welcher Satz aus der Vorlesung aufwendiges Rechnen erspart.) |
Leider habe ich scheinbar in der VL geschlafen, jedenfalls kann sich meine Erinnerung nicht an einen solchen Satz erinnern. Was ich jedoch weiß ist, dass für die Diagonalisierbarkeit
1. Das charakteristische Polynom vollständig in seine Linearfaktoren zerfallen muss
und
2. Alg. und geom. Vielfachheit übereinstimmen müssen.
Soweit so gut. Irgendwie fehlt mir nur der Ansatz.
Das charakteristische Polynom sieht immer folgendermaßen aus:
[mm] (2-\lambda)(3-\lambda)(\alpha-\lambda).
[/mm]
Für alle [mm] \alpha [/mm] außer [mm] \alpha=0 [/mm] ist es also erfüllt. Für [mm] \alpha=3 [/mm] hat man die doppelte Nullstelle für den EW=3. Soweit so gut.
Ich schließe daraus, dass die Lösung in der algebraischen oder geometrischen Vielfachheit liegt. Hat jemand vielleicht den Satz aus der Vorlesung parat, den ich verpasst haben könnte?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Für [mm]\alpha \in \IR[/mm] sei die Matrix [mm]A_{\alpha} \in \IR^{3,3}[/mm]
> gegeben durch:
>
> [mm]A_{\alpha}=\pmat{3&1&0\\0&\alpha&0\\0&0&2}[/mm]
>
> Teilaufgabe b)
>
> Zeigen Sie, dass [mm]A_{\alpha}[/mm] für alle [mm]\alpha\not=3[/mm]
> diagonalisierbar, aber für [mm]\alpha=3[/mm] nicht diagonalisierbar
> ist. (Hinweis: Überlegen Sie sich, welcher Satz aus der
> Vorlesung aufwendiges Rechnen erspart.)
> Leider habe ich scheinbar in der VL geschlafen, jedenfalls
> kann sich meine Erinnerung nicht an einen solchen Satz
> erinnern. Was ich jedoch weiß ist, dass für die
> Diagonalisierbarkeit
>
> 1. Das charakteristische Polynom vollständig in seine
> Linearfaktoren zerfallen muss
>
> und
>
> 2. Alg. und geom. Vielfachheit übereinstimmen müssen.
>
> Soweit so gut. Irgendwie fehlt mir nur der Ansatz.
>
> Das charakteristische Polynom sieht immer folgendermaßen
> aus:
Das char. Polynom brauchst du nichtmal aufzustellen, die Eigenwerte stehen doch auf der Hauptdiagonalen
>
> [mm](2-\lambda)(3-\lambda)(\alpha-\lambda).[/mm]
>
> Für alle [mm]\alpha[/mm] außer [mm]\alpha=0[/mm] ist es also erfüllt.
Ist was erfüllt? [mm]\alpha=0[/mm] ist völlig umkritisch.
In diesem Falle hättest du drei verschiedene Linearfaktoren, mithin 3 verschiedene Eigenwerte und hättest Diagonalisierbarkeit geschenkt bekommen.
Warum?
> Für
> [mm]\alpha=3[/mm] hat man die doppelte Nullstelle für den EW=3.
Ja, und für [mm]\alpha=2[/mm] doch auch ...
> Soweit so gut.
>
> Ich schließe daraus, dass die Lösung in der algebraischen
> oder geometrischen Vielfachheit liegt.
Das würde ich doch stark annehmen ...
> Hat jemand
> vielleicht den Satz aus der Vorlesung parat, den ich
> verpasst haben könnte?
Leider saß und sitze ich nicht in deiner Vorlesung, habe also auch deine Mitschrift nicht zur Hand.
Aber das Problem lässt sich ganz einfach in 3 elementaren Schritten beheben:
1) Mitschrift rauskramen
2) Kapitel "Diagonalisierung" aufschlagen
3) Durchlesen
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 08.07.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich schrreibe bei den Vorlesungen nicht mit weil es mich zu sehr ablenkt bzw. ich scheinbar ein Fokussierungsdefizit habe :). Es gibt die gezeigten Folien online, das Tutorium sowie weiteres Material. Jedoch ist das manchmal nicht ausreichend und man benötigt den einen oder anderen Schub aus einer anderen Richtung. Lange Rede kurzer Sinn, ich habe dazu nicht viel gefunden.
Ich habs aber mal mit nachdenken versucht.
Fakt 1:
Für alle [mm] \alpha [/mm] funktioniert die Diagonalisierung, da das Polynom vollständig zerfällt.
Fakt 2:
Die algebraische Vielfachheit ist gleich der geometrischen Vielfachheit für alle [mm] \alpha [/mm] außer für 3, da ist die geometrische Vielfachheit gleich 2 was ungleich 3 ist.
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> Ich schrreibe bei den Vorlesungen nicht mit weil es mich zu
> sehr ablenkt bzw. ich scheinbar ein Fokussierungsdefizit
> habe :). Es gibt die gezeigten Folien online, das Tutorium
> sowie weiteres Material. Jedoch ist das manchmal nicht
> ausreichend und man benötigt den einen oder anderen Schub
> aus einer anderen Richtung. Lange Rede kurzer Sinn, ich
> habe dazu nicht viel gefunden.
>
> Ich habs aber mal mit nachdenken versucht.
Das ist immer ein guter Plan - wenn nicht der beste 
>
> Fakt 1:
>
> Für alle [mm]\alpha[/mm] funktioniert die Diagonalisierung, da das
> Polynom vollständig zerfällt.
Die KANN funktionieren, du sagst doch später richtig, dass es für [mm]\alpha=3[/mm] nicht klappt ...
Das Zerfallen des cha. Polynoms in LFen allein reicht nicht!
>
> Fakt 2:
>
> Die algebraische Vielfachheit ist gleich der geometrischen
> Vielfachheit für alle [mm]\alpha[/mm] außer für 3, da ist die
> geometrische Vielfachheit gleich 2 was ungleich 3 ist.
Moment, für [mm]\alpha=3[/mm] ist [mm]\lambda=3[/mm] doppelte Nullstelle, also ist die algebr. VFH des Eigenwertes [mm]\lambda=3[/mm] doch 2 (tritt als Linearfaktor doppelt auf)
Die geometrische VFH dieses Eigenwertes ist aber 1, wie man schnell sieht, wenn man die Matrix aufschreibt.
Für [mm]\alpha=2[/mm] ist [mm]\lambda=2[/mm] doppelte Nullstelle im c.P., also auch hier algebr. VFH=2
Die geometr. VFH ist aber auch 2 - einfach Matrix aufschreiben, dann sieht man das
Für alle anderen [mm]\alpha[/mm] hast du 3 verschiedene Eigenwerte, mithin für jeden Eigenwert algebr. VFH (=Vorkommen als NST im c.P) =1
Da [mm]1\le \text{geometr. VFH}\le \text{algebr. VFH}[/mm], ist die geometr. dann auch 1 und du hast Diagonalisierbarkeit.
Fazit: Es sind eigentlich nur [mm]\alpha=2,3[/mm] zu untersuchen ..
>
> Stimmt das?
Nicht ganz
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 08.07.2014 | | Autor: | fuoor |
Dass das mit dem charakt. Polynom nicht reicht ist mir klar, habe ich aber nicht ausreichend zum Ausdruck gebracht.
Insgesamt habe ich da aber wohl etwas durcheinandergeworfen bzw. scheinbar waren mir die Begrifflichkeiten der algeb.- und geom. VFH nicht so ganz klar.
Also algebraische VFH vom EW 3 bei [mm] \alpha=3 [/mm] = 2, jedoch geometrische VFH=1, da [mm] \alpha=3 [/mm] lediglich den Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] hat.
Bei 2 anders da algebraische VFH für 3 gleich 1 sowie geometrische VFH gleich 1. Für 2 algebraische=2 und geometrische=2.
Für alle anderen [mm] \alpha-Werte [/mm] sind die Werte jeweils immer 1 für geom. und algeb. VFH, also ist die Matrix immer diagonalisierbar.
So sinniger?
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Hallo nochmal,
> Dass das mit dem charakt. Polynom nicht reicht ist mir
> klar, habe ich aber nicht ausreichend zum Ausdruck
> gebracht.
Ruhig Blut, das kann ich ja nicht wissen. Ich kenne dich ja nicht und kann ja nur das beurteilen, was ich lese ...
Aber du hast es ja jetzt goldrichtig, also alles bestens ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Insgesamt habe ich da aber wohl etwas durcheinandergeworfen
> bzw. scheinbar waren mir die Begrifflichkeiten der algeb.-
> und geom. VFH nicht so ganz klar.
Ok, ich schreib's einfach nochmal auf, kann nicht schaden:
1) die algebraische VFH eines Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] ist gleich der Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] als Nullstelle im char. Polynom
2) die geometr. VFH eines Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] ist die Dimension des zu [mm]\lambda[/mm] gehörigen Eigenraumes.
3) Es gilt stets [mm]1\le \text{geometr. VFH}\le \text{algebr. VFH}[/mm]
Das liefert dir auch die Begrüngung für Diagonalisierbarkeit, wenn du paarweise verschiedene Eigenwerte hast (alle VFH 1 im ch. Polynom und damit auch geom. VFH 1)
>
> Also algebraische VFH vom EW 3 bei [mm]\alpha=3[/mm] = 2, jedoch
> geometrische VFH=1, da [mm]\alpha=3[/mm] lediglich den Eigenvektor
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] hat.
Und jedes Vielfache dieses Vektors (außer dem Nullvektor)
Genauer also: Der zu [mm]\lambda=3[/mm] geh. Eigenraum wird von [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] aufgespannt (habe ich nicht nachgerechnet, sondern nur die Matrix aufgeschrieben, daran kann man die Dimension ablesen, eine Basis interessiert ja nicht vordergründig bei dieser Aufgabe), hat also Dimension 1
Aber im Kern richtig!
>
> Bei 2 anders da algebraische VFH für 3 gleich 1 sowie
> geometrische VFH gleich 1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das muss so sein. Wenn du einen einfachen Eigenwert hast, also algebr. VFH =1, dann MUSS die geometr, VFH dieses Eigenwertes auch 1 sein
> Für 2 algebraische=2 und
> geometrische=2.
Genau!
>
> Für alle anderen [mm]\alpha-Werte[/mm] sind die Werte jeweils immer
> 1 für geom. und algeb. VFH, also ist die Matrix immer
> diagonalisierbar.
Jo
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> So sinniger?
Ja, sehr gut, bis auf kleine Begrifflichkeiten
Du hast es!
Gut!
Gruß und viel Spaß bei Spiel
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 08.07.2014 | | Autor: | fuoor |
> > Dass das mit dem charakt. Polynom nicht reicht ist mir
> > klar, habe ich aber nicht ausreichend zum Ausdruck
> > gebracht.
>
> Ruhig Blut, das kann ich ja nicht wissen. Ich kenne dich ja
> nicht und kann ja nur das beurteilen, was ich lese ...
Das war nicht aufbrausend gemeint :). Ist manchmal schwierig lediglich mit dem Geschriebenen ohne einen Gesichtsausdruck dazu.
Jedenfalls vielen Dank für den Support. Damit hab ichs nun soweit verstanden.
Ich wünsche dir noch einen schönen Abend!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mi 09.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich schreibe $a$ statt [mm] \alpha.
[/mm]
Das char. Polynom von A ist
[mm] $p(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-a)(\lambda-2)$.
[/mm]
Fall 1: $a [mm] \ne3$. [/mm] Wegen $p(A)=0$ folgt:
[mm] $\IR^3=Kern(A-3E) \oplus [/mm] Kern(A-aE) [mm] \oplus [/mm] Kern(A-2E)$
Also gibt es eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus Eigenvektoren von $A$. Somit ist $A$ diagonalisierbar.
Fall 2: $a=3$. A hat also die Eigenwerte 2 und 3.Sei $t [mm] \in \{3,2\}. [/mm] $ Schreibt man sich die Matrix $A-tE$ hin, so sieht man sofort
$rang(A-tE)=2$
Mit dem Rangsatz folgt
$dim Kern(A-tE)=1$
Damit kann es keine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus Eigenvektoren von A geben. A ist also nicht diagonalisierbar.
FRED
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