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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Diagonalisierbarkeit
Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Mi 31.01.2007
Autor: peter_d

Aufgabe
[mm] $\text{Ist }A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-9\\0&1&0\\1&0&-2\end{array}\right) \text{ über }\mathbb{R}\text{ diagonalisierbar?}$ [/mm]

Hallo. Eigentlich dachte ich, das schon bearbeitet zu haben, aber nun doch noch eine Rückfrage.
Das char. Poly. ist [mm] $\lambda^3-3\cdot \lambda^2+3\cdot\lambda-1 [/mm] = [mm] (\lambda-1)^3$ [/mm]
Die Eigenwerte sind somit {1,1,1}. 1 ist also 3-facher Eigenwert.
Es gilt aber nun auch [mm] $\dim V_3(A) =3\le [/mm] 3$.
Ist die Matrix nun trotzdem diagonalisierbar? Oder wäre sie nur dann nicht diagonaliserbar wenn die Dimension nur "<" und nicht "<=" wäre?

Und nebenbei: Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner gleich der algebraischen. Doch kann die geometrische auch gleich null sein?

Danke und Gruß

        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Mi 31.01.2007
Autor: angela.h.b.


> [mm]\text{Ist }A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-9\\0&1&0\\1&0&-2\end{array}\right) \text{ über }\mathbb{R}\text{ diagonalisierbar?}[/mm]
>  
> Hallo. Eigentlich dachte ich, das schon bearbeitet zu
> haben, aber nun doch noch eine Rückfrage.
>  Das char. Poly. ist [mm]\lambda^3-3\cdot \lambda^2+3\cdot\lambda-1 = (\lambda-1)^3[/mm]
>  
> Die Eigenwerte sind somit {1,1,1}. 1 ist also 3-facher
> Eigenwert.
>  Es gilt aber nun auch [mm]\dim V_3(A) =3\le 3[/mm].

Hallo,

ich weiß nicht genau, was Du mit [mm] \dim V_3(A) [/mm] =3 meinst, könnte mir aber vorstellen, daß Du eigentlich [mm] \dim V_1(A) [/mm] =3 schreiben wolltest und damit den Eigenraum zum Eigenwert 1 meinst.

Falls das so ist, rechne nochmal nach.
Ich meine, Du hast Dich verrechnet.

Du müßtest doch jetzt den Kern von A-E berechnen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, hat der die Dimension 1.

Gruß v. Angela




Bezug
                
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Mi 31.01.2007
Autor: peter_d

da hast du wohl recht, hab ich wohl wirklich was vertauscht. hrm..

na gut, neuer anlauf:

[mm] $\dim V_1(A) [/mm] = 1-rang(A-E) = 1-2=-1<1\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] $nicht diagonalisierbar

???

Bezug
                        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Mi 31.01.2007
Autor: angela.h.b.


> da hast du wohl recht, hab ich wohl wirklich was
> vertauscht. hrm..
>  
> na gut, neuer anlauf:
>  
> [mm]\dim V_1(A) = 1-rang(A-E) = 1-2=-1<1\ \Rightarrow\ [/mm]nicht
> diagonalisierbar
>  
> ???

Hallo,

ich weiß nicht, ob das nur von der Optik ungeschickt geschrieben ist, oder ob Du irgendetwas nicht richtig verstehst.

Es ist [mm] \dim V_1(A) [/mm] = 1, das hatte ich auch ausgerechnet.

rang(A-E)=2  (2 unabhängige Spalten)

Also ist    
[mm] \underbrace{3}_{3x3 Matrix} [/mm] - [mm] \underbrace{3}_{Vielfachheit}=3 [/mm] - [mm] 3=0\not= [/mm] rang(A-E)=2,

also nicht diagonalisierbar.

Gruß v. Angela

Bezug
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