Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei A eine nxn-Matrix und [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{r} [/mm] die verschiedenen Eigenwerte. Zeigen Sie:
A ist diagonalisierbar [mm] \gdw (\lambda_{1}*E_{n}-A)*...*(\lambda_{r}*E_{n}-A) [/mm] = 0.
b) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] f_{1},...f_{r} \in [/mm] End(V).
Zeigen Sie:
[mm] dim(Ker(f_{1}\circ...\circ f_{r})) \le dim(Ker(f_{1}))+...+dim(Ker(f_{r})). [/mm] |
Hallo Matheraum!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe. Ich hab mir hierzu schon einige Gedanken gemacht, aber ich komme einfach nicht weiter.
Bei (a) muss man glaube ich benutzen,dass A diagonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt, aber ich sehe irgendwie nicht, wie man damit weiterkommt. Kann mir bitte jemand nen Hinweis geben, wie man hier ansetzen kann? Danke schonmal 
mfg
Hans
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> a) Sei A eine nxn-Matrix und [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{r}[/mm]
> die verschiedenen Eigenwerte. Zeigen Sie:
>
> A ist diagonalisierbar [mm]\gdw (\lambda_{1}*E_{n}-A)*...*(\lambda_{r}*E_{n}-A)[/mm]
> = 0.
>
> Bei (a) muss man glaube ich benutzen,dass A
> diagonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom
> komplett in Linearfaktoren zerfällt,
Hallo,
verwende für a)
A diagonalisierbar <==> das Minimalpolynom zerfällt und hat nur einfache Nullstellen,
sowie weitere Eigenschaften des Minimalpolynoms.
Gruß v. Angela
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Zu a) =>: ist die Matrix diagonalisiert, so kann die diagonalisierende Basistransformation auch auf die rechte Seite der Behauptung angewandt werden, d.h. auf der rechten Seite A als diagonalisiert angenommen werden. Dann scheint mir die Behauptung in dieser Richtung trivial.
<=: gilt die rechte Seite, so bedeutet dies, weil [mm]\lambda_k E_n-A[/mm] nur Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]\lambda_k [/mm] (und den Nullvektor) auf den Nullvektor abbildet, dass die (direkte!) Summe aller Eigenräume den Gesamtraum ergibt. Somit kann eine Basis aus den Eigenvektoren aller Eigenräume gebildet werden. Transformation auf diese Basis diagonalisiert A.
Zu b) Der Kern der Zusammensetzung wird maximal gross, wenn jeweils der Kern des nächsten Endomorphismus im Bildraum des vorangehenden Endomorphismus enthalten ist. In diesem Fall erhöht sich die Dimension des Kerns bei der Anwendung dieses weiteren Endomorphismus gerade um die Dimension des Kerns von . Wenn man diese Überlegung ausgehend von iteriert, erhält man die gewünschte obere Schranke für die Dimension des Kerns der Zusammensetzung. - Soweit die Intuition. Das müsste man nun wohl möglichst elegant formal machen...
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Hallo und danke für eure Antworten,
Ich habe ein paar Fragen dazu:
zu "<=", leider weiß ich nicht, was eine direkte Summe ist.
> Transformation auf diese Basis diagonalisiert A.
Das hab ich leider auch nicht verstanden.
Vielleicht kannst du da noch was zu sagen?
mfg
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sorry, hatte die fälligkeit vergessen
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Zugegeben, mein Verständnis dessen, was ich voraussetzen darf, ist leider sehr beschränkt: tut mir leid.
Vielleicht ist eine Art kurzer Grundlagenrepetition angesagt?
Nochmals zu a) =>: Was heisst (bei Dir, in Deiner Vorlesung) "Diagonalisierbarkeit", wie wurde dieser Begriff definiert und welche weiteren Kenntnisse hast Du darüber und über den Begriff des Eigenwertes einer Matrix (einer lineare Abbildung) bereits?
Z.B. dürfte "[mm]A[/mm] ist diagonalisierbar" heissen: es gibt eine Basis, bezüglich der [mm]A[/mm] (aufgefasst als Abbildungsmatrix der durch [mm]A[/mm] in der alten Basis definierten linearen Abbildung) eine Diagonalmatrix ist. Dies bedeutet, dass es eine reguläre Matrix T gibt, derart, dass gilt [mm]A' := T\circ A \circ T^{-1}[/mm] ist Diagonalmatrix (deren Diagonalelemente sind gerade die Eigenwerte von [mm]A[/mm]). Wendet man diese Matrix auf die rechte Seite der Behauptung an, so erhält man aus:
[mm]T \circ \big((\lambda_1 E_n -A)\circ (\lambda_2 E_n -A) \circ \cdots \circ (\lambda_r E_n -A)\big)\circ T^{-1} = T \circ 0 \circ T^{-1}[/mm]
([mm]0[/mm] ist hier die "Nullabbildung") dass gilt
[mm](\lambda_1 E_n -A')\circ (\lambda_2 E_n -A') \circ \cdots \circ (\lambda_r E_n -A') = 0[/mm]
Beachte, dass nun die Diagonalmatrix [mm]A'[/mm] anstelle von [mm]A[/mm] steht: deshalb ist in dieser Form, m.E., die Behauptung in der => Richtung trivial, denn [mm]\lambda_i E_n-A'[/mm] ist eine Diagonalmatrix, bei der die (und nur die) Diagonalelemente von [mm]A'[/mm] mit dem Wert [mm]\lambda_i[/mm] alle durch 0 ersetzt werden. Hat man auf diese Weise alle Diagonalelemente auf 0 gesetzt, hat man natürlich auf der linken Seite der Gleichung ebenfalls die Nullabbildung (was zu zeigen war).
Dann zu a) <=: Wenn [mm]\lambda_{i=1\ldots r}[/mm] (die) Eigenwerte von [mm]A[/mm] sind, so haben die Abbildungen der Form [mm]f_i := \lambda_i E_n -A[/mm] gewisse Eigenschaften, die man sich erst einmal klar machen muss, bevor man eine solche Aufgabe lösen kann. Ist zum Beispiel [mm]f_i[/mm] ein Eigenvektor [mm]\vec{x}[/mm] von [mm]A[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda_j[/mm], so erkennt man, dass gilt
[mm]f_i(\vec{x})=(\lambda_i-\lambda_j)\vec{x}[/mm]
dieser Vektor ist also ein Eigenvektor von [mm]f_i[/mm] zum "Eigenwert" [mm]\lambda_i-\lambda_j[/mm]. Dies bedeutet: [mm]f_i[/mm] hat den Eigenraum von [mm]A[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm] als Kern und die anderen Eigenräume [mm]E_\lambda[/mm] von [mm]A[/mm] sind Eigenräume von [mm]f_i[/mm] zu den Eigenwerten [mm]\lambda_i-\lambda[/mm].
Wenn nun also, wie die rechte Seite der Behauptung a) sagt, die Zusammensetzung der Abbildungen [mm]f_i[/mm] die Nullabbildung ergibt, so bedeutet dies, dass jeder Vektor in einem der Eigenräume von [mm]A[/mm] liegen muss. Nimmt man also eine Basis von jedem Eigenraum, so erhält man insgesamt gerade eine Basis des Gesamtraumes. Dabei benutze ich, dass Eigenräume einer linearen Abbildung zu verschiedenen Eigenwerten nur den Nullvektor gemeinsam haben. Deren Summe nennt man dann, m.E, eine "direkte" Summe (im Unterschied zu einer Summe von Unterräumen, die nicht nur den Nullvektor, sondern einen nicht-trivialen Teilraum gemeinsam haben). Bei einer direkten Summe addieren sich z.B. die Dimensionen der addierten Teilräume...
Ich weiss nicht, ob Dir das obige Gebrabbel helfen wird, aber ich hoffe Du wirst mir zugute halten, dass ich nicht zu faul war, diesen Roman einzutippen.
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