Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] A=\vmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \alpha & 0 & 2 }
[/mm]
Frage: Für welche [mm] \alpha [/mm] ist A diagonalisierbar? |
Ich weiß nicht so recht wie ich hier rangehen soll. Ich weiß, das wenn ein Eigenwert 2x vorkommen würde, die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Muss ich jetzt hier schauen für welche [mm] \alpha [/mm] das zutrifft?
Bei der Berechnung der Eigenwerte haperts auch gleich. Als charakteristisches Polynom habe ich:
[mm] (\lambda-2)^{2}(\lambda-1)-\alpha(\lambda-1)
[/mm]
[mm] =x^{3}-5x^{2}+8x-\alpha x+\alpha-4
[/mm]
Wie kann ich jetzt hiervon die Nullstellen bestimmen? Ich weiß nicht wie ich hier mit dem [mm] \alpha [/mm] umgehen soll. Muss ich da die einzelnen Teile des Polynoms getrennt nach Nullstellen untersuchen? Also so in etwa?:
[mm] (\lambda-2)^{2}(\lambda-1)=0
[/mm]
[mm] -\alpha(\lambda-1)=0 [/mm] (hier stört mich auch wieder das [mm] \alpha)
[/mm]
Kann mir bitte jemand behilflich sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]A=\vmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \alpha & 0 & 2 }[/mm]
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> Frage: Für welche [mm]\alpha[/mm] ist A diagonalisierbar?
> Ich weiß nicht so recht wie ich hier rangehen soll. Ich
> weiß, das wenn ein Eigenwert 2x vorkommen würde, die Matrix
> nicht diagonalisierbar ist. Muss ich jetzt hier schauen für
> welche [mm]\alpha[/mm] das zutrifft?
Nein das stimmt nicht, z.B. hat im [mm] $\IR^n$ [/mm] die Identität nur den Eigenwert $1$ mit Vielfachheit $n$, ist aber stets diagonalisierbar.
> Bei der Berechnung der Eigenwerte haperts auch gleich. Als
> charakteristisches Polynom habe ich:
>
> [mm](\lambda-2)^{2}(\lambda-1)-\alpha(\lambda-1)[/mm]
[mm] $=(\lambda-1)\cdot((\lambda-2)^2-\alpha)$, [/mm] d.h. die Eigenwerte sind $1$ und [mm] $2\pm\sqrt{\alpha}$. [/mm] Entscheidend für die Diagonalisierbarkeit ist, ob die Dimension der Eigenräume (geometrische Vielfachheit) gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
Gruß, Robert
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