Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:
Seien A und B kommutierende (d.h. AB = BA) diagonalisierbare Endomorphismen eines endlichdimensionalen Vektorraums V.
Zeigen Sie, dass es eine Basis von V aus gemeinsamen Eigenvektoren von A und B gibt.
Gilt eine entsprechende Behauptung auch für beliebig viele paarweise kommutierende diagonalisierbare Endomorphismen von V ?
Hat irgendjemand Tips, was da zu tun ist ?
Bzw. Lösungsvorschläge ?
Danke schonmal,
Planloser
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Hallo!
Es gibt auf jeden Fall eine Basis aus Eigenvektoren von $B$, weil $B$ ja diagonalisierbar ist.
Sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $B$. Dann gilt für jeden Eigenvektor $v$ zu [mm] $\lambda$, [/mm] d.h. [mm] $v\in \mathrm{Eig}_\lambda(B)$:
[/mm]
[mm] $BAv=ABv=\lambda [/mm] Av$.
Also ist auch $Av$ ein Eigenvektor von $B$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$, $Av\in \mathrm{Eig}_\lambda(B)$.
[/mm]
Sei [mm] $\{w_1,\dots,w_n\}$ [/mm] die Basis aus Eigenvektoren von $A$.
Sei $x$ eine Linearkombination von [mm] $w_j$, [/mm] die nicht in [mm] $\mathrm{Eig}_\lambda(B)$ [/mm] liegen. Dann ist auch $Ax$ nicht in [mm] $\mathrm{Eig}_\lambda(B)$.
[/mm]
Deshalb gibt es eine Basis von [mm] $\mathrm{Eig}_\lambda(B)$ [/mm] aus Eigenvektoren von $A$. Diese sind alle auch Eigenvektoren von $B$ zum EW [mm] $\lambda$.
[/mm]
Gruß, banachella
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 01.06.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
Hab die Aufgabe auch und bekomm sie nicht gebacken.
> Es gibt auf jeden Fall eine Basis aus Eigenvektoren von [mm]B[/mm],
> weil [mm]B[/mm] ja diagonalisierbar ist.
>
> Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]B[/mm]. Dann gilt für jeden
> Eigenvektor [mm]v[/mm] zu [mm]\lambda[/mm], d.h. [mm]v\in \mathrm{Eig}_\lambda(B)[/mm]:
>
> [mm]BAv=ABv=\lambda Av[/mm].
> Also ist auch [mm]Av[/mm] ein Eigenvektor von [mm]B[/mm]
> zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm], [mm]Av\in \mathrm{Eig}_\lambda(B)[/mm].
Ok, bis hier hin alles klar, diesen Ansatz hatte ich auch schon versucht.
> Sei [mm]\{w_1,\dots,w_n\}[/mm] die Basis aus Eigenvektoren von [mm]A[/mm].
> Sei [mm]x[/mm] eine Linearkombination von [mm]w_j[/mm], die nicht in
> [mm]\mathrm{Eig}_\lambda(B)[/mm] liegen. Dann ist auch [mm]Ax[/mm] nicht in
> [mm]\mathrm{Eig}_\lambda(B)[/mm].
Das verstehe ich nicht ganz: x kann doch Eigenvektor von B zum EW [mm]\lambda[/mm] sein, auch wenn die [mm]w_j[/mm] es nicht sind oder? Also kann auch Ax in [mm]\mathrm{Eig}_\lambda(B)[/mm] liegen. Oder sehe ich das falsch?
Gruß Biggi
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Erstmal danke für deine Hilfe. Ich schreib dir jetzt mal auf wie ich den beweis verstanden habe (also keine garantie für richtigkeit) x kann kein eigenvektor zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] sein weil x eine linear kombi ist aus vektoren auf die das nicht zutrifft. und Ax kann dann auch kein Eingenvektor zu [mm] \lambda [/mm] sein weil
x eine linear kombi ist aus eigenvektoren von A und damit Ax im selben Spann liegt wie voher auch. das klingt ein bisschen wirr hoffe es hilft dir trozdem ein bisschen weiter mit ist aber der letzte schluß des beweises dann nicht ganz klar (also warum daraus folgt dass es dann eine basis von [mm] Eig_{\lambda}(B) [/mm] aus Eigenvektoren von A gibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Fr 03.06.2005 | | Autor: | taura |
Hi Julius, hi MrCoffee!
Danke für eure Hilfe!
LG Biggi
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