Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich habe ein paar allgemeine fragen zur diagonalosierbarkeit:
sind matrizen immer bzgl. basen diagonalisierbar, die aus den basisvektoren der haupträume bestehen?
gilt dies auch für basisvektoren aus den eigenräumen?
was brauche ich, damit sich zwei matrizen bzgl. der gleichen basis diagonalisieren lassen?
wenn ich matrizen diagonalisiere, stehen dann auf der diagonalen immer die eigenwerte? oder vielleicht immer dann, wenn ich bzgl. der basis aus den hauptraumvektoren diagonalisiere?
ich bin total verwirrt und würde gerne diese grundätzlichen dinge wissen... in meiner vorlesungsmitschrift blicke ich was das angeht nicht durch...
würd mich über präzise antworten freuen,
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo Kati,
ich frage mich, was du mit "bzgl. einer Basis diagonalisieren" meinst?
Diagonalisieren heisst, zu einem Endomorphismus (Matrix) eine Basis aus Eigenvektoren zu finden. Eine andere Basis (bzgl der diagonalisiert wird), gibt es da nicht.
Insofern kann ich viele deiner Fragen nicht beantworten, denke aber, dass du da was mißverstanden hast. Ansonsten bitte ich dich, dich etwas klarer auszudrücken bzw. zu erklären, was mit "bzgl. einer Basis diagonalisieren" gemeint ist.
> wenn ich matrizen diagonalisiere, stehen dann auf der
> diagonalen immer die eigenwerte?
Das auf jeden Fall.
Die Haupträume spielen bei der Diagonalisierung keine Rolle.
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Also ich kann eine Matrix ja bzgl. verschiedener Basen darstellen. Und wir hatten in der Vorlesung Sätze oder Bemerkungen in dem Stil: Wenn [eine bestimmte Voraussetzung] gilt, dann ist die Matrix diagonalisierbar. Also es gibt dann eine Basis bzgl. der die Matrix Diagonalgestalt hat.
Meine Frage ist jetzt z. B., ob diese Basis eindeutig bestimmt ist. (Aber da du sagst, dass auf der Diagonalen immer die Eigenwerte stehen, denke ich mal ja!)
Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass die Basis bzgl. der die Matrix Diagonalgestalt hat, dann immer aus den Eigenvektoren besteht?
(Ich hätte also oben schreiben müssen "bzgl. einer Basis transformieren", oder?)
Und dann frag ich mich noch: was hat die Diagonalisierbarkeit damit zu tun, ob das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, bzw. wie bekomme ich das raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Nam |
Hi Kati,
also nochmal zum Zusammenhang zwischen den Eigenwerten, Eigenvektoren usw.
Nehmen wir mal an, die gefundene Basis ist [mm]B = \left\{b_1, b_2, \ldots, b_n \right\}[/mm] und die Matrix A hat bzgl. dieser Basis Diagonalgestalt mit den [mm]\lambda_i[/mm]'s auf der Hauptdiagonalen.
Weil in den Spalten der Matrix die Bilder der Basis stehen, muss gelten:
[mm]A * b_1 = \lambda_1 * b_1 + 0*b_2 + \ldots = \lambda_1 * b_1[/mm] usw. Also:
[mm]A * b_i = \lambda_i * b_i[/mm]
Aber das heisst ja nichts anderes, als dass die Lambdas die Eigenwerte und die Basisvektoren
die zugehörigen Eigenvektoren sind.
Die Aufgabe bei der Diagonalisierung ist nun, die Eigenwerte der Matrix und die dazugehörigen
Eigenvektoren auszurechnen und zu gucken, ob es genügend viele sind, um eine Basis zu bilden.
Beispiel:
[mm]A = \pmat{10 & -7 & -14 \\ -14 & 3 & 14 \\ 14 & -7 & -18}[/mm]
Dann ist das charakteristische Polynom
[mm]\chi_A = (\lambda-3)(\lambda+4)^2[/mm]
Eigenvektoren [mm]\lambda = 3[/mm]:
[mm]Eig(A, 3) = \left\langle \pmat{1\\-1\\1} \right\rangle[/mm]
Eigenvektoren [mm]\lambda = -4[/mm]:
[mm]Eig(A, -4) = \left\langle \pmat{1\\2\\0},\pmat{1\\0\\1} \right\rangle[/mm]
Das sind insgesamt 3 Vektoren, also reicht das für eine Basis, die z. B. lauten könnte:
[mm]B = \left\{ \pmat{1\\-1\\1},\pmat{1\\2\\0},\pmat{1\\0\\1} \right\}[/mm]
Anderes Beispiel für eine Matrix, die nicht diagonalisierbar ist:
[mm]A = \pmat{2 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 4}[/mm]
Charakteristisches Polynom [mm]\chi_A = (\lambda-2)(\lambda-4)^2[/mm]
Eigenvektoren zu [mm]\lambda = 2[/mm]:
[mm]Eig(A, 2) = \left\langle \pmat{1\\0\\0} \right\rangle[/mm]
Eigenvektoren zu [mm]\lambda = 4[/mm]:
[mm]Eig(A, 4) = \left\langle \pmat{-1\\0\\1} \right\rangle[/mm]
Das macht aber insgesamt nur 2 Vektoren, nicht genug, da die Basis 3 Vektoren
haben muss.
> Meine Frage ist jetzt z. B., ob diese Basis eindeutig bestimmt ist
Nein, denn wenn [mm]b_i[/mm] ein Eigenvektor ist, dann ist auch [mm]k * b_i[/mm] ein Eigenvektor,
wobei [mm]k \in K[/mm] ein Skalar aus dem Körper ist. Das heisst, du kannst die Eigenvektoren in der
Basis auch skalieren, und es bleiben Eigenvektoren. Somit gibt es nicht nur eine Basis.
> Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass die Basis bzgl. der die Matrix Diagonalgestalt hat, dann immer aus den Eigenvektoren besteht?
Ja, genau (siehe oben)
> Und dann frag ich mich noch: was hat die Diagonalisierbarkeit damit zu tun, ob das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, bzw. wie bekomme ich das raus?
Diese Frage kann ich leider nicht beantworten.
Ich kann nur sagen, dass die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts sein muss, damit die Matrix diagonalisierbar ist (siehe 2. Beispiel: dort war die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts [mm]\lambda=4[/mm] nämlich 2 (doppelte Nullstelle), aber die geometrische war nur 1 (ein Eigenvektor)).
Ich bin nicht 100%ig sicher, aber ich glaube, das Minimalpolynom darf dann keine doppelten Nullstellen haben, d.h. die Eigenräume müssen gleich den Haupträumen sein (wie gesagt, bin nicht sicher hierbei).
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> Und dann frag ich mich noch: was hat die
> Diagonalisierbarkeit damit zu tun, ob das Minimalpolynom in
> paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt
Hallo katilein84,
dann wollen wir uns mal über das letzte verbliebene Rätsel hermachen.
Es ist so, daß die Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn ihr Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache Nullstellen hat.
Wie findet man das Minimalpolynom?
Das Minimalpolynom [mm] m_A [/mm] zur Matrix A ist das normierte Polynom kleinsten Grades, für welches [mm] m_A(A)=0 [/mm] ist. Es hat zwei Eigenschaften, welche fürs Aufspüren nützlich sind: das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom der Matrix und es hat diesselben Nullstellen.
Was bedeutet das? Angenommen, das Char.Pol. einer Matrix A wäre [mm] (x-5)^3(x-4)^2(x-3). [/mm] Als Minimalpolynom kommt dann nur ein Polynom in Frage der Gestalt [mm] (x-5)^a(x-4)^b(x-3), [/mm] wobei [mm] a\in [/mm] {1,2,3} [mm] b\in [/mm] {1,2} ist.
Sinnigerweise würde man beginnen, in das kleinsten Grades A einzusetzen.
Hier wäre das (x-5)(x-4)(x-3). Wäre (A-5E)(A-4E)(A-3E)=0, hätte man zum einen das Minimalpolynom gefunden. Zum anderen wüßte man: aha, das Minimalpolynom zerfallt in paarweise verschiedene Linearfaktoren, also ist die Matrix diagonalisierbar.
In Nams erstem Beispiel ist (x-3)(x+4) das Minimalpolynom und siehe da: die Matrix ist diagonalisierbar.
In Nams 2.Beispiel müßtest Du feststellen, daß (x-2)(x-4) nicht das Minimalpolynom ist, sondern [mm] (x-2)(x-4)^2. [/mm] Also Linearfaktoren, aber keinen einfachen Nullstellen==> nicht diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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