Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Werte von c [mm] \in \IR [/mm] ist
A:= [mm] \pmat{ 3 & c \\ -1 & 1 }
[/mm]
diagonalisierbar? |
huhu,
also meine matrix von A wo ich die Det. von berechnen muss sieht ja so aus:
[mm] \pmat{ \lambda -3 & -c \\ 1 & \lambda -1 }
[/mm]
die Determinante ist ja :
[mm] (\lambda [/mm] -3) [mm] (\lambda-1) [/mm] + c und das muss ich für die Nullstellen/Eigenwertberchnung = 0 setzen.
äquivalent muss ich herausfinden, für welche [mm] \lambda [/mm] die Gleichung
[mm] (\lambda [/mm] -3) [mm] (\lambda-1) [/mm] = -c
bzw
[mm] \lambda^2 [/mm] -4 [mm] \lambda [/mm] +3 = -c
erfüllt ist. Naja, 2 Unbekannte, nur eine Gleichung. Weiß jemand wie ich vorgehen kann?
Lg,
Eve
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Hallo,
nun ja, du sollst ja gerade in Abhängigkeit von c rechnen. Bestimme also einmal die Eigenwerte in Abhängigkeit von c für die Gleichung
[mm] \lambda^2-4\lambda+3+c=0
[/mm]
Wie viele Eigenwerte sollte es denn geben, damit die Matrix diagoniliserbar ist?
PS: warum hast du die Vorzeichen in der Matrix umgedreht? Das hat zwar auf das Ergebnis keinerlei Einfluss, ich würde es aber trotzdem nicht tun (zumindest nicht in Klausuren).
Gruß, Diophant
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> Hallo,
huhu
>
> nun ja, du sollst ja gerade in Abhängigkeit von c rechnen.
> Bestimme also einmal die Eigenwerte in Abhängigkeit von c
> für die Gleichung
>
> [mm]\lambda^2-4\lambda+3+c=0[/mm]
>
> Wie viele Eigenwerte sollte es denn geben, damit die Matrix
> diagoniliserbar ist?
sollten 2 sein
>
> PS: warum hast du die Vorzeichen in der Matrix umgedreht?
> Das hat zwar auf das Ergebnis keinerlei Einfluss, ich
> würde es aber trotzdem nicht tun (zumindest nicht in
> Klausuren).
wir haben die Formel halt [mm] (\lambda \* [/mm] In - A), In = Einheitsmatrix
>
p q Formel ergibt :
[mm] x_{1,2} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{1+c}
[/mm]
muss ich nun für [mm] \lambda_1 [/mm] bzw [mm] \lambda_2 [/mm] 2+ [mm] \wurzel{1+c} [/mm] und 2 [mm] -\wurzel{1+c} [/mm] einfügen?
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Hallo,
deine pq-Formel ist falsch. Es muss heißen
[mm] \lambda_{1,2}=2\pm\wurzel{4-(3+c)}=\lambda_{1,2}=2\pm\wurzel{1-c)}
[/mm]
und jetzt musst du c so wählen, dass es da tatsächlich zwei Lösungen gibt.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> deine pq-Formel ist falsch. Es muss heißen
>
> [mm]\lambda_{1,2}=2\pm\wurzel{4-(3+c)}=\lambda_{1,2}=2\pm\wurzel{1-c)}[/mm]
Woops
>
> und jetzt musst du c so wählen, dass es da tatsächlich
> zwei Lösungen gibt.
also für c < 1 gehts nicht, da sonst neg unter der Wurzel wäre.
für c = 0 wären 2 Lösungen erfüllt.
für c= 1 gäbe es nur eine Lösung, also fällt das weg.
für c > 1 gibt es immer 2 Lösungen.
also muss ich c = 0 [mm] \cup [/mm] { c | c>1 } setzen ? beweise ich dadurch schon die diagonalisierbarkeit?
>
>
> Gruß, Diophant
Liebe Grüße zurück,
Eve
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sry, hab mich verbabbelt^^
meine es gilt nur für c< 1
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Hallo EvelynSnowley2311,
> > Hallo,
> >
> > deine pq-Formel ist falsch. Es muss heißen
> >
> >
> [mm]\lambda_{1,2}=2\pm\wurzel{4-(3+c)}=\lambda_{1,2}=2\pm\wurzel{1-c)}[/mm]
>
> Woops
> >
> > und jetzt musst du c so wählen, dass es da tatsächlich
> > zwei Lösungen gibt.
>
> also für c < 1 gehts nicht, da sonst neg unter der Wurzel
> wäre.
> für c = 0 wären 2 Lösungen erfüllt.
> für c= 1 gäbe es nur eine Lösung, also fällt das weg.
Das fällt doch nicht weg.
> für c > 1 gibt es immer 2 Lösungen.
>
Für c > 1 steht doch unter der Wurzel etwas negatives.
Demnach gibt es dann konjuguert komplexe Eigenwerte.
> also muss ich c = 0 [mm]\cup[/mm] { c | c>1 } setzen ? beweise ich
> dadurch schon die diagonalisierbarkeit?
Gibt es verschiedene Eigenwerte, so ist die Matrix diagonalisierbar.
SInd die Eigenwerte jedoch gleich, so muß überprüft werden,
ob die Matrix A für diesen Fall diagonalisierbar ist.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
>
> Liebe Grüße zurück,
>
> Eve
Gruss
MathePower
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> Gibt es verschiedene Eigenwerte, so ist die Matrix
> diagonalisierbar.
> SInd die Eigenwerte jedoch gleich, so muß überprüft
> werden,
> ob die Matrix A für diesen Fall diagonalisierbar ist.
>
okay, also für c < 1 ist es jedenfalls erfüllt. Für c= 1 wäre [mm] \lamba_{1,2} [/mm] = 2.
eingesetzt in die Matrix
[mm] \pmat{ 3 & 2 \\ -1 & 1 }
[/mm]
ergibt sich mit der Formel [mm] det(\lambda [/mm] In -A )
[mm] \pmat{ \lambda-3 & -2 \\ 1 & \lambda-1 }
[/mm]
=> [mm] \lambda^2 -4\lambda [/mm] +5 soll 0 sein:
Nullstellen:
2-i und 2+i (nach nem schlauen Rechner.. ;P )
nun die Eigenvektoren, die lin. unabhängig sein müssen für die Diagonalisierbarkeit:
setzt im LGS:
2-i-3 [mm] x_1 [/mm] -2 [mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + 2+i-1 [mm] x_2 [/mm] = 0
ist hoffentlich äquivalent zu
[mm] (-1-i)x_1 -2x_2 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] (1+i)x_2 [/mm] = 0
hab das noch nie im Komplexen gemacht. Also äquivalent in der zweiten Zeile ist ja
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -(1+i)x_2
[/mm]
eingesetzt in die erste ergibt das doch
[mm] (-1-i)(-1-i)x_2 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] = 0
= [mm] 2ix_2 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] = 0 bzw [mm] 2ix_2 [/mm] = [mm] 2x_2
[/mm]
bedeutet das, dass [mm] x_2 [/mm] = 0 ist oder hab ich mich bisher verrechnet? bzw ich kann nicht gut im Komplexen deuten.
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Hallo EvelynSnowley2311,
> >
> > Gibt es verschiedene Eigenwerte, so ist die Matrix
> > diagonalisierbar.
> > SInd die Eigenwerte jedoch gleich, so muß überprüft
> > werden,
> > ob die Matrix A für diesen Fall diagonalisierbar ist.
> >
>
> okay, also für c < 1 ist es jedenfalls erfüllt. Für c= 1
> wäre [mm]\lamba_{1,2}[/mm] = 2.
>
> eingesetzt in die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> ergibt sich mit der Formel [mm]det(\lambda[/mm] In -A )
> [mm]\pmat{ \lambda-3 & -2 \\ 1 & \lambda-1 }[/mm]
>
> => [mm]\lambda^2 -4\lambda[/mm] +5 soll 0 sein:
>
> Nullstellen:
>
> 2-i und 2+i (nach nem schlauen Rechner.. ;P )
>
>
> nun die Eigenvektoren, die lin. unabhängig sein müssen
> für die Diagonalisierbarkeit:
>
> setzt im LGS:
>
> 2-i-3 [mm]x_1[/mm] -2 [mm]x_2[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] + 2+i-1 [mm]x_2[/mm] = 0
>
> ist hoffentlich äquivalent zu
>
> [mm](-1-i)x_1 -2x_2[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] + [mm](1+i)x_2[/mm] = 0
>
> hab das noch nie im Komplexen gemacht. Also äquivalent in
> der zweiten Zeile ist ja
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-(1+i)x_2[/mm]
> eingesetzt in die erste ergibt das doch
>
> [mm](-1-i)(-1-i)x_2[/mm] - [mm]2x_2[/mm] = 0
> = [mm]2ix_2[/mm] - [mm]2x_2[/mm] = 0 bzw [mm]2ix_2[/mm] = [mm]2x_2[/mm]
>
> bedeutet das, dass [mm]x_2[/mm] = 0 ist oder hab ich mich bisher
> verrechnet? bzw ich kann nicht gut im Komplexen deuten.
Die Eigenvektoren werden für den Fall zweier verschiedener Eigenwerte
nicht benötigt, da diese Matrix dann automatisch diagonalisierbar ist.
Nur für den Fall zweier gleicher Eigenwerte sind die Eigenvektoren
zu berechnen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Gibt es verschiedene Eigenwerte, so ist die Matrix
> > diagonalisierbar.
> > SInd die Eigenwerte jedoch gleich, so muß überprüft
> > werden,
> > ob die Matrix A für diesen Fall diagonalisierbar ist.
> >
>
> okay, also für c < 1 ist es jedenfalls erfüllt. Für c= 1
> wäre [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2.
>
> eingesetzt in die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ -1 & 1 }[/mm]
Was machst Du da ? Es ist doch c=1 und nicht=2.
FRED
>
> ergibt sich mit der Formel [mm]det(\lambda[/mm] In -A )
> [mm]\pmat{ \lambda-3 & -2 \\ 1 & \lambda-1 }[/mm]
>
> => [mm]\lambda^2 -4\lambda[/mm] +5 soll 0 sein:
>
> Nullstellen:
>
> 2-i und 2+i (nach nem schlauen Rechner.. ;P )
>
>
> nun die Eigenvektoren, die lin. unabhängig sein müssen
> für die Diagonalisierbarkeit:
>
> setzt im LGS:
>
> 2-i-3 [mm]x_1[/mm] -2 [mm]x_2[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] + 2+i-1 [mm]x_2[/mm] = 0
>
> ist hoffentlich äquivalent zu
>
> [mm](-1-i)x_1 -2x_2[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] + [mm](1+i)x_2[/mm] = 0
>
> hab das noch nie im Komplexen gemacht. Also äquivalent in
> der zweiten Zeile ist ja
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-(1+i)x_2[/mm]
> eingesetzt in die erste ergibt das doch
>
> [mm](-1-i)(-1-i)x_2[/mm] - [mm]2x_2[/mm] = 0
> = [mm]2ix_2[/mm] - [mm]2x_2[/mm] = 0 bzw [mm]2ix_2[/mm] = [mm]2x_2[/mm]
>
> bedeutet das, dass [mm]x_2[/mm] = 0 ist oder hab ich mich bisher
> verrechnet? bzw ich kann nicht gut im Komplexen deuten.
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> > >
> > > Gibt es verschiedene Eigenwerte, so ist die Matrix
> > > diagonalisierbar.
> > > SInd die Eigenwerte jedoch gleich, so muß
> überprüft
> > > werden,
> > > ob die Matrix A für diesen Fall diagonalisierbar
> ist.
> > >
> >
> > okay, also für c < 1 ist es jedenfalls erfüllt. Für c= 1
> > wäre [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2.
> >
> > eingesetzt in die Matrix
> >
> > [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
>
> Was machst Du da ? Es ist doch c=1 und nicht=2.
>
>
> FRED
>
grr verdammt.
[mm] \pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
lol ich gib mir solche mühe mit den Komplexen^^
Okay hier kommt schnell als Eigenwert raus
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 2 und als EV [mm] \vektor{-1 \\ 1}.
[/mm]
da ich ne doppelten Eigenwert habe, müsste ich nach dem geom. / alg. Vielfachheitskriterium ja eig auch einen zweiten Vektor haben, da dies nicht der Fall ist => nicht diagonalisierbar für c =1 oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > >
> > > > Gibt es verschiedene Eigenwerte, so ist die Matrix
> > > > diagonalisierbar.
> > > > SInd die Eigenwerte jedoch gleich, so muß
> > überprüft
> > > > werden,
> > > > ob die Matrix A für diesen Fall diagonalisierbar
> > ist.
> > > >
> > >
> > > okay, also für c < 1 ist es jedenfalls erfüllt. Für c= 1
> > > wäre [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2.
> > >
> > > eingesetzt in die Matrix
> > >
> > > [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ -1 & 1 }[/mm]
> >
> >
> > Was machst Du da ? Es ist doch c=1 und nicht=2.
> >
> >
> > FRED
> >
> grr verdammt.
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> lol ich gib mir solche mühe mit den Komplexen^^
>
> Okay hier kommt schnell als Eigenwert raus
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2 und als EV [mm]\vektor{-1 \\ 1}.[/mm]
>
> da ich ne doppelten Eigenwert habe, müsste ich nach dem
> geom. / alg. Vielfachheitskriterium ja eig auch einen
> zweiten Vektor haben, da dies nicht der Fall ist => nicht
> diagonalisierbar für c =1 oder?
Ja
FRED
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