Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
| Aufgabe | Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] ist die Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0\\ 2a & b & a\\ 10 & 0 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
diagonalisierbar über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC? [/mm] Geben Sie die geometrische und algebraische Vielfachheit der Eigenwerte an und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Matrix P, für die [mm] P^{-1}AP [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Hi,
gibt es irgendwelche allgemeinen Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen, damit Matrizen diagonalisierbar sind?
Die Eigenwerte habe ich bereits berechnet: [mm] \lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=b
[/mm]
Da alle einfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, ist die algebraische Vielfachheit bei allen 1. Wie gehts jetzt weiter? Muss ich noch die Eigenvektoren bestimmen?
Gruß shaltow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für welche a,b [mm]\in \IR[/mm] ist die Matrix
>
> [mm]A=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0\\ 2a & b & a\\ 10 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> diagonalisierbar über [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC?[/mm] Geben Sie die
> geometrische und algebraische Vielfachheit der Eigenwerte
> an und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Matrix P, für die
> [mm]P^{-1}AP[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Hi,
> gibt es irgendwelche allgemeinen Voraussetzungen, die
> erfüllt sein müssen, damit Matrizen diagonalisierbar
> sind?
>
> Die Eigenwerte habe ich bereits berechnet: [mm]\lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=2[/mm]
> und [mm]\lambda_{3}=b[/mm]
> Da alle einfache Nullstellen des charakteristischen
> Polynoms sind,
Das stimmt aber im Falle b=-3 oder b=2 nicht !
> ist die algebraische Vielfachheit bei allen
> 1. Wie gehts jetzt weiter? Muss ich noch die Eigenvektoren
> bestimmen?
Ja, A ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
FRED
>
> Gruß shaltow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
Ok, ich hab für den Eigenvektor von
[mm] \lambda_{1}: \vec{x_{1}}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{-2a}{-3-b}\\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Diesen hab ich mit Mathematica überprüft, er passt.
[mm] \lambda_{2}: \vec{x_{2}}=\begin{pmatrix} 0\\ \frac{a}{-2+b}\\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
auch dieser stimmt.
aber für [mm] \lambda_{3} [/mm] bekomme ich was sinnloses, nämlich den [mm] \vec{0}
[/mm]
kann mir jemand da helfen?
Gruß shaltow
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Hallo shaltow,
> Ok, ich hab für den Eigenvektor von
>
> [mm]\lambda_{1}: \vec{x_{1}}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{-2a}{-3-b}\\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
Das wage ich zu bezweifeln.
> Diesen hab ich mit Mathematica überprüft, er passt.
>
> [mm]\lambda_{2}: \vec{x_{2}}=\begin{pmatrix} 0\\ \frac{a}{-2+b}\\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
Der Eigenvektor muss doch so lauten:
[mm]\lambda_{2}: \vec{x_{2}}=\begin{pmatrix} 0\\ \blue{-}\frac{a}{-2+b}\\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Dann ist das nur ein Eigenvektor, wenn [mm]b \not=2[/mm]
> auch dieser stimmt.
>
> aber für [mm]\lambda_{3}[/mm] bekomme ich was sinnloses, nämlich
> den [mm]\vec{0}[/mm]
>
> kann mir jemand da helfen?
>
Poste doch dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Gruß shaltow
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
Also ich habe [mm] \lambda_{1} [/mm] nochmals nachgerecht und wieder mit Mathematica bestätigt. Wenn ich [mm] det(\lambda E-A)\vec{x} [/mm] rechne, kommt [mm] \vec{0} [/mm] raus...
auch bei [mm] \lambda_{2} [/mm] kommt bei mir durch nachrechnen und Mathematica wieder dasselbe raus, also ohne des minus. wenn ich dein ergebnis nehme kommt eben nicht [mm] \vec{0} [/mm] raus...
[mm] \lambda_{3} [/mm] eingesetzt in [mm] det(\lambda [/mm] E-A):
[mm] \begin{vmatrix} b+3 & 0 & 0\\ 2a & 0 & a\\ 10 & 0 & b-2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 2a & 0 & a\\ b+3 & 0 & 0\\ 10 & 0 & b-2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b+3 & 0 & 0\\ 10 & 0 & b-2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & b-7 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & -\frac{3}{2b}\\ 0 & 0 & b-7 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{3}{2b}-\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & b-7 \end{vmatrix}
[/mm]
und hier komm ich nicht mehr weiter...
Gruß shaltow
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Hallo shaltow,
> Also ich habe [mm]\lambda_{1}[/mm] nochmals nachgerecht und wieder
> mit Mathematica bestätigt. Wenn ich [mm]det(\lambda E-A)\vec{x}[/mm]
> rechne, kommt [mm]\vec{0}[/mm] raus...
>
> auch bei [mm]\lambda_{2}[/mm] kommt bei mir durch nachrechnen und
> Mathematica wieder dasselbe raus, also ohne des minus. wenn
> ich dein ergebnis nehme kommt eben nicht [mm]\vec{0}[/mm] raus...
>
Dann poste doch die zugehörigen Rechenschritte.
> [mm]\lambda_{3}[/mm] eingesetzt in [mm]det(\lambda[/mm] E-A):
>
> [mm]\begin{vmatrix} b+3 & 0 & 0\\ 2a & 0 & a\\ 10 & 0 & b-2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 2a & 0 & a\\ b+3 & 0 & 0\\ 10 & 0 & b-2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b+3 & 0 & 0\\ 10 & 0 & b-2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & b-7 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & -\frac{3}{2b}\\ 0 & 0 & b-7 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{3}{2b}-\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & b-7 \end{vmatrix}[/mm]
>
Bei der Ausgangsmatrix hat sich ein Fehler eingeschlichen:
[mm]\begin{vmatrix} b+3 & 0 & 0\\ 2a & 0 & a\\ 10 & 0 & \blue{-}b\blue{+}2 \end{vmatrix}[/mm]
> und hier komm ich nicht mehr weiter...
>
> Gruß shaltow
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
zu [mm] \lambda_{1}:
[/mm]
[mm] \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2a & -3-b & a\\ 10 & 0 & -5 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 2a & -3-b & a\\ 10 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 2a & -3-b & a\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 2 & \frac{-3-b}{a} & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{-3-b}{a} & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}
[/mm]
[mm] x_{1}-\frac{1}{2}x_{3}=0
[/mm]
[mm] \frac{-3-b}{a}x_{2}+2x_{3}=0
[/mm]
[mm] \rightarrow x_{2}=\frac{-2a}{-3-b}x_{3}
[/mm]
[mm] \rightarrow x_{1}=\frac{1}{2}x_{3}
[/mm]
zu [mm] \lambda_{2}:
[/mm]
[mm] \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0\\ 2a & 2-b & a\\ 10 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & \frac{2-b}{2a} & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & \frac{2-b}{2a} & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & \frac{2-b}{2a} & \frac{1}{2}\\ 0 & -\frac{2-b}{2a} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} [/mm]
[mm] x_{1}+\frac{2-b}{2a}x_{2}+\frac{1}{2}x_{3}=0
[/mm]
[mm] -\frac{2-b}{2a}x_{2}-\frac{1}{2}x_{3}=0
[/mm]
[mm] \rightarrow x_{2}=\frac{a}{-2+b}x_{3}
[/mm]
[mm] \rightarrow x_{1}=0
[/mm]
zu [mm] \lambda_{3}:
[/mm]
Ich rechne doch in der Matrix bei [mm] a_{33}= \lambda [/mm] -2 (bei [mm] \lambda=b) [/mm] bekomme ich doch b-2?
Gruß shaltow
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Hallo shaltow,
> zu [mm]\lambda_{1}:[/mm]
>
> [mm]\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2a & -3-b & a\\ 10 & 0 & -5 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 2a & -3-b & a\\ 10 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 2a & -3-b & a\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 2 & \frac{-3-b}{a} & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{-3-b}{a} & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}[/mm]
>
Die zu betrachtende Matrix lautet doch:
[mm]\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2a & \red{+}3\red{+}b & a\\ 10 & 0 & \red{+}5 \end{vmatrix}[/mm]
> [mm]x_{1}-\frac{1}{2}x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\frac{-3-b}{a}x_{2}+2x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow x_{2}=\frac{-2a}{-3-b}x_{3}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow x_{1}=\frac{1}{2}x_{3}[/mm]
>
>
> zu [mm]\lambda_{2}:[/mm]
>
> [mm]\begin{vmatrix} 5 & 0 & 0\\ 2a & 2-b & a\\ 10 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & \frac{2-b}{2a} & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & \frac{2-b}{2a} & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & \frac{2-b}{2a} & \frac{1}{2}\\ 0 & -\frac{2-b}{2a} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}[/mm]
>
> [mm]x_{1}+\frac{2-b}{2a}x_{2}+\frac{1}{2}x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]-\frac{2-b}{2a}x_{2}-\frac{1}{2}x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow x_{2}=\frac{a}{-2+b}x_{3}[/mm]
>
Es ist doch zunächst:
[mm]-\frac{2-b}{2a}x_{2}=\blue{\left(-\right)}-\frac{1}{2}x_{3}=\blue{+}\frac{1}{2}x_{3}[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\rightarrow x_{2}=\blue{-}\frac{a}{-2+b}x_{3}[/mm]
> [mm]\rightarrow x_{1}=0[/mm]
>
>
> zu [mm]\lambda_{3}:[/mm]
> Ich rechne doch in der Matrix bei [mm]a_{33}= \lambda[/mm] -2 (bei
> [mm]\lambda=b)[/mm] bekomme ich doch b-2?
>
Wenn Du so rechnest, dann musst Du
alle Nicht-Diagonalelemente mit -1 multiplizieren.
> Gruß shaltow
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
Ok vielen Dank. Dann hab ich die Eigenvektoren für [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] jetzt.
zu [mm] \lambda_{3}: [/mm] (da kam bei mir ja immer der Nullvektor raus)
[mm] \begin{vmatrix} b+3 & 0 & 0\\ 2a & 0 & a\\ 10 & 0 & 2-b \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b+3 & 0 & 0\\ 1 & 0 & \frac{2-b}{10} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & \frac{-3-b}{10}\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & -\frac{3}{2b}\\ 0 & 0 & \frac{-3-b}{10}\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{-3-b}{2b}\\ 0 & 0 & \frac{-3-b}{10}\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] taucht hier nicht mehr auf [mm] \rightarrow [/mm] 0
die beiden unteren Gleichungen liefern mir [mm] x_{3}=0
[/mm]
daraus folgt mit der ersten Gleichung [mm] x_{1}=0
[/mm]
wo is hier mein Fehler?
Gruß shaltow
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Hallo shaltow,
> Ok vielen Dank. Dann hab ich die Eigenvektoren für
> [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm] jetzt.
>
> zu [mm]\lambda_{3}:[/mm] (da kam bei mir ja immer der Nullvektor
> raus)
>
> [mm]\begin{vmatrix} b+3 & 0 & 0\\ 2a & 0 & a\\ 10 & 0 & 2-b \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b+3 & 0 & 0\\ 1 & 0 & \frac{2-b}{10} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ b & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & \frac{-3-b}{10}\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 1 & 0 & -\frac{3}{2b}\\ 0 & 0 & \frac{-3-b}{10}\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{-3-b}{2b}\\ 0 & 0 & \frac{-3-b}{10}\end{vmatrix}[/mm]
>
> [mm]x_{2}[/mm] taucht hier nicht mehr auf [mm]\rightarrow[/mm] 0
[mm]x_{2}[/mm] ist trotzdem frei wählbar, z.B. [mm]x_{2}=1[/mm]
> die beiden unteren Gleichungen liefern mir [mm]x_{3}=0[/mm]
Das ist nur der Fall für [mm]b \not= -3[/mm].
> daraus folgt mit der ersten Gleichung [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> wo is hier mein Fehler?
>
> Gruß shaltow
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
Dann wäre also in diesem Fall der Eigenvektor
[mm] \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}
[/mm]
Darf b überhaupt -3 oder 2 sein, denn damit A (3x3-Matrix) diagonalisierbar ist, muss sie doch 3 verschiedene Eigenwerte besitzen (hab ich im Skript gefunden). Schließt das dann die Sonderfälle, also b=-3 oder b=2 von anfang an aus, sonst wäre die Aufgabe ja nicht lösbar.
Gruß shaltow
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Hallo shaltow,
> Dann wäre also in diesem Fall der Eigenvektor
> [mm]\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
>
Die Eigenvektoren sind nur für den Fall, daß [mm]b \notin \{-3,2\}[/mm]
sowie [mm]a \not=0, \ b \not=0[/mm] ist, berechnet worden.
> Darf b überhaupt -3 oder 2 sein, denn damit A (3x3-Matrix)
> diagonalisierbar ist, muss sie doch 3 verschiedene
> Eigenwerte besitzen (hab ich im Skript gefunden). Schließt
> das dann die Sonderfälle, also b=-3 oder b=2 von anfang an
> aus, sonst wäre die Aufgabe ja nicht lösbar.
>
Um auf Diagonalisierbarkeit zu prüfen,
sind für alle möglichen Fälle, die
zugehörigen Eigenvektoren zu berechnen.
> Gruß shaltow
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 10.06.2012 | | Autor: | shaltow |
Also damit A diagonalisierbar ist, müssen alle Eigenvektoren linear unabhängig sein. D.h. ich muss jetzt a und b so wählen, dass das der Fall ist?
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Hallo shaltow,
> Also damit A diagonalisierbar ist, müssen alle
> Eigenvektoren linear unabhängig sein. D.h. ich muss jetzt
> a und b so wählen, dass das der Fall ist?
Wie schon erwähnt sind die Eigenvektoren
nur für den Fall, daß [mm]b \notin \left\{-3,2\right\}[/mm]
und [mm]a \not=0, \ b\not=0[/mm] berechnet worden.
Für diesen Fall sollten die Eigenvektoren linear unabhängig sein.
Für die anderen Fälle sind diese Eigenvektoren noch zu berechnen.
Gruss
MathePower
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