Diagonalisierbarkeit der Wurze < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle.
Sei [mm] $A\in\IC^{N,N}$ [/mm] positiv definit und diagonalisierbar (ueber [mm] $\IC$), [/mm] d.h.
[mm] $\exists\,Y\in\IC^{N,N}$ [/mm] invertierbar: $A=Y [mm] \Lambda_{A} Y^{-1}$
[/mm]
wobei [mm] $\Lambda_{A}\in\IC^{N,N}$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist, die auf ihrer Diagonalen die Eigenwerte der Matrix $A$ enthaelt.
Nun benoetige ich eine Aussage ueber die Wurzel der Matrix $A$, d.h.
[mm] $A^{\frac{1}{2}}=\left(Y \Lambda_{A} Y^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}\overset{?}{=}Y \Lambda_{A}^{\frac{1}{2}} Y^{-1}$
[/mm]
Um einer eventuellen Nichteindeutigkeit der Wurzel vorzubeugen, soll [mm] $A^{\frac{1}{2}}$ [/mm] diejenige Wurzel von $A$ bezeichnen, die positiv definit ist. Das sollte hoffentlich moeglich sein.
Meine Frage: Gilt das letzte Gleichheitszeichen? Wenn ja, warum? Wenn nein, was laesst sich ansonsten ueber die Wurzel in Bezug auf die Diagonalisierbarkeit von $A$ aussagen?
Vielen Dank
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Da A positiv definit ist, sind doch alle Eigenwerte > 0. Also kannst du die Wurzel aus [mm] $\Lambda$ [/mm] ziehen.
Also
[mm]A^{0.5}A^{0.5}=A=Y\Lambda Y^{-1}=Y\Lambda^{0.5}\Lambda^{0.5} Y^{-1}=Y\Lambda^{0.5}E\Lambda^{0.5} Y^{-1}=Y\Lambda^{0.5}\underbrace{Y^{-1}Y}_{E}\Lambda^{0.5} Y^{-1}=(\underbrace{Y\Lambda^{0.5}Y^{-1}}_{A^{0.5}})(\underbrace{Y\Lambda^{0.5} Y^{-1}}_{A^{0.5}})[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
super, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle.
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> Sei [mm]A\in\IC^{N,N}[/mm] positiv definit und diagonalisierbar
> (ueber [mm]\IC[/mm]), d.h.
>
> [mm]\exists\,Y\in\IC^{N,N}[/mm] invertierbar: [mm]A=Y \Lambda_{A} Y^{-1}[/mm]
>
> wobei [mm]\Lambda_{A}\in\IC^{N,N}[/mm] eine Diagonalmatrix ist, die
> auf ihrer Diagonalen die Eigenwerte der Matrix [mm]A[/mm] enthaelt.
>
> Nun benoetige ich eine Aussage ueber die Wurzel der Matrix
> [mm]A[/mm], d.h.
>
> [mm]A^{\frac{1}{2}}=\left(Y \Lambda_{A} Y^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}\overset{?}{=}Y \Lambda_{A}^{\frac{1}{2}} Y^{-1}[/mm]
>
> Um einer eventuellen Nichteindeutigkeit der Wurzel
> vorzubeugen, soll [mm]A^{\frac{1}{2}}[/mm] diejenige Wurzel von [mm]A[/mm]
> bezeichnen, die positiv definit ist. Das sollte hoffentlich
> moeglich sein.
Ja, das ist möglich, denn es gilt:
Ist $ [mm] A\in\IC^{N,N} [/mm] $ positiv semidefinit (insbes. also hermitesch), so gibt es genau eine positiv semidefinite Matrix $ B [mm] \in\IC^{N,N} [/mm] $ mit:
[mm] B^2=A.
[/mm]
Dies Matrix wird mit [mm] A^{1/2} [/mm] bezeichnet.
FRED
>
> Meine Frage: Gilt das letzte Gleichheitszeichen? Wenn ja,
> warum? Wenn nein, was laesst sich ansonsten ueber die
> Wurzel in Bezug auf die Diagonalisierbarkeit von [mm]A[/mm]
> aussagen?
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
> > Um einer eventuellen Nichteindeutigkeit der Wurzel
> > vorzubeugen, soll [mm]A^{\frac{1}{2}}[/mm] diejenige Wurzel von [mm]A[/mm]
> > bezeichnen, die positiv definit ist. Das sollte hoffentlich
> > moeglich sein.
>
> Ja, das ist möglich, denn es gilt:
>
> Ist [mm]A\in\IC^{N,N}[/mm] positiv semidefinit (insbes. also
> hermitesch), so gibt es genau eine positiv semidefinite
> Matrix [mm]B \in\IC^{N,N}[/mm] mit:
>
> [mm]B^2=A.[/mm]
>
> Dies Matrix wird mit [mm]A^{1/2}[/mm] bezeichnet.
Das hört sich gut an.
In welcher Quelle finde ich diese Aussage (am besten mit Seitenangabe)?
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank fuer den Buchtipp. Das kannte ich bislang gar nicht. Sieht nach einer schoenen Formelsammlung aus.
Aber: Fred schrieb, dass diese positiv definite Wurzel der Matrix eindeutig ist. In der Formelsammlung steht lediglich "(...) there exists a positive definit (mxm) matrix B such that (...)". Das hoert sich fuer mich eher nach "there exists at least one positive definit matrix" an anstatt nach "there exists a unique positive definit matrix".
Ist diese positiv definite Wurzel nun eindeutig? Wenn ja warum (eventuell andere Literatur)?
Vielen Dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mi 15.02.2012 | | Autor: | wieschoo |
Wenn die Existenz gegeben ist, dann gibt es doch einen goldenen Weg auch die Eindeutigkeit zu zeigen.
Annahme: Es gibt zwei .....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank fuer den Buchtipp. Das kannte ich bislang gar
> nicht. Sieht nach einer schoenen Formelsammlung aus.
>
> Aber: Fred schrieb, dass diese positiv definite Wurzel der
> Matrix eindeutig ist. In der Formelsammlung steht lediglich
> "(...) there exists a positive definit (mxm) matrix B such
> that (...)". Das hoert sich fuer mich eher nach "there
> exists at least one positive definit matrix" an anstatt
> nach "there exists a unique positive definit matrix".
>
> Ist diese positiv definite Wurzel nun eindeutig?
Ja
> Wenn ja
> warum (eventuell andere Literatur)?
Ganz so einfach wie wieschoo meint ist der Beweis für die Eindeutigkeit nicht.
Schau mal in das Buch "Funktionalanalysis" von Riesz und Nagy ( ein Klassiker !).
Da wird in Kapitel VII, §104 , die Existenz und Eindeutigkeit gezeigt.
FRED
>
> Vielen Dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank. Dann werde ich dort einmal reinschauen.
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http://books.google.de/books?id=FuVGbQS2lZoC&pg=PA155&dq=root+of+matrix+semi+positiv&hl=de&sa=X&ei=z3k5T9_pLIPTtAa53cGBBw&ved=0CD0Q6AEwAg#v=onepage&q=root%20of%20matrix%20semi%20positiv&f=false