Diagonalisierbarkeit, obere Dr < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Mi 18.02.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Durch die folgenden Matrizen sind Endomorphismen des Vektorraumes [mm] R^4, [/mm] bzw. [mm] R^3 [/mm] gegeben. Untersuchen ob diese Matrizen diagonalisierbar sind. A
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
B
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
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Fuer B kann man sagen: Jede quadratische, symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Kann man auch allgemeine Aussage fuer A geben ( etwas mit obere Dreiecksmatirix...), oder muss man einfach rechnen?
Ich habe diese Frage ... und wie immer:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Czescz waruna,
ich weiss gerade nicht ob es reicht einfach nur zu sagen, dass es eine Dreiecksmatrix ist, dann folgt daraus dass sie diagonalisierbar ist. Versuche aus beiden Matrizen eine Diagonalmatrix zu machen dann siehst du ob die Matrizen diagonalisierbar sind.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Pozdrawiam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt:
Eine Matrix A ist diagonalisierbar
[mm] \gdw [/mm]
für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A gilt: geometrische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] = algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda
[/mm]
Nun überlege Dir mal , ob das für obere Dreiecksmatrizen zutrifft.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 18.02.2009 | | Autor: | waruna |
Ich habe das gerechnet, diese Matrix ist diag.
Ist es immer so, dass in obere Dreiecksmatrix im Diagonal EW stehen?
Ich habe auch andere Matrix gerechnet, die 0 in Diagonal hat, dann ist sie auch diag. (ich weiss nicht warum, aber ich geglaubt habe, dass dann sie nicht diag. sein kann...).
Also denke ich, dass obere Dreiecksmatrix immer diagonalisierbar ist. Ist meine Vermutung gut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe das gerechnet, diese Matrix ist diag.
> Ist es immer so, dass in obere Dreiecksmatrix im Diagonal
> EW stehen?
Ja !
> Ich habe auch andere Matrix gerechnet, die 0 in Diagonal
> hat, dann ist sie auch diag. (ich weiss nicht warum, aber
> ich geglaubt habe, dass dann sie nicht diag. sein
> kann...).
> Also denke ich, dass obere Dreiecksmatrix immer
> diagonalisierbar ist. Ist meine Vermutung gut?
Ja !
Nein
FRED
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> Also denke ich, dass obere Dreiecksmatrix immer
> diagonalisierbar ist. Ist meine Vermutung gut?
Hallo,
nein, i.a. gilt das nicht.
Es ist nicht jede obere Dreiecksmatrix diagonalisierbar.
Schau Dir z.B. [mm] \pmat{1&1&0\\0&1&0\\ 0&0&3} [/mm] an.
Sie hat keine Basis aus Eigenvektoren, denn der Eigenraum zum Eigenwert 1 hat nur die Dimension 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 18.02.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Entscheiden Sie ohne Rechnung, welche der Folgenden Matrizen diagonalisierbar ist, und welche nicht. Die Antwort ist kurz zu begrunden.
A
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
B
[mm] \begin{pmatrix}
100 & 17 & 22 \\
0 & 101 & 18\\
0 & 0 & 102
\end{pmatrix}
[/mm]
C
[mm] \begin{pmatrix}
10.77 & -12.45 & 8 \\
-12.45 & 10034 & 98\\
8 & 98 & -13^7
\end{pmatrix}
[/mm]
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Und C analog wie frueher, diagonalisierbar, weil quadratisch und symmetrisch, aber A und B? A habe ich gerechnet - sie ist nicht diag., aber welche Regel muss ich nutzen, um ohne Rechnung das zu sagen? Und was mit B?
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> Entscheiden Sie ohne Rechnung, welche der Folgenden
> Matrizen diagonalisierbar ist, und welche nicht. Die
> Antwort ist kurz zu begrunden.
> A
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
bei A erkennst Du entweder, daß sie in JNF ist.
Wenn Du das nicht weißt, siehst Du, daß sie den dreifachen Eigenwert 0 hat, Ihr Rang =2 ist. Also hat der kern=Eigenraum die Dimension 1, und folglich gibt es keine Basis aus Eigenvektoren.
> B
> [mm]\begin{pmatrix}
100 & 17 & 22 \\
0 & 101 & 18\\
0 & 0 & 102
\end{pmatrix}[/mm]
Die Matrix B hat drei verschiedene Eigenwerte, also eine Basis aus Eigenvektoren, also ist sie diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
>
> C
> [mm]\begin{pmatrix}
10.77 & -12.45 & 8 \\
-12.45 & 10034 & 98\\
8 & 98 & -13^7
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Und C analog wie frueher, diagonalisierbar, weil
> quadratisch und symmetrisch, aber A und B? A habe ich
> gerechnet - sie ist nicht diag., aber welche Regel muss ich
> nutzen, um ohne Rechnung das zu sagen? Und was mit B?
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> Also denke ich, dass obere Dreiecksmatrix immer
> diagonalisierbar ist. Ist meine Vermutung gut?
Die ![[]](/images/popup.gif) Jordan-Formen einer Matrix sind gute Bespiel für Dreiecksmatrizen, die nicht diagonalisierbar sind.
Lg Patrick
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