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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Diagonalisieren
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Diagonalisieren: Aufgabe mit Unbekannter
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Di 27.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Es geht um folgende Aufgabe:

Für welche [mm] a,b\in\IR [/mm] ist die MAtrix

[mm] \pmat{-3&0&0\\2a&b&a\\10&0&2} [/mm]

diagonalisierbar?

Naja, eigentlich ist das Prinzip, wie ich hier vorgehen muss, klar. Aber dieses a und b irritiert mich irgendwie. Ich habe jetzt als charakteristisches Polynom berechnet:

[mm] -\lambda^3+(b-1)\lambda^2+\lambda(6+b)-6b [/mm]

Nun - wie berechne ich Nullstellen davon? Ich habe als Nullstelle geraten: [mm] \lambda=1, [/mm] dann folgt b=1. Aber irgendwie müsste ich doch hier allgemeine Nullstellen bekommen oder jedenfalls kann ich doch nicht für jedes b einzeln untersuchen, oder?
Für [mm] \lambda=2 [/mm] ist die Gleichung=0 für alle b. Aber das hilft mir auch nicht wirklich. [haee]

Könnte mir hier jemand sagen, wie ich da am besten vorgehe?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
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Diagonalisieren: Cardano
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Di 27.09.2005
Autor: mathmetzsch

Nein, natürlich probieren wir als Mathematiker nicht gerne herum. Es gibt zum Lösen von Gleichungen dritten Grades die sog. Cardanischen Formeln. Entweder hast du ein gutes Buch, das dir diese verrät oder du googlst das mal. Da kannst du deine Nullstellen in Abhängigkeit von b berechnen.

Oder wenn du eine Nullstelle durch probieren herausbekommen hast, dann mach doch ne Polynomdivision dazu.

Viel Spaß. Mathmetzsch
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Diagonalisieren: evtl. noch andere Lösung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Di 27.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo Mathmetzsch!

> Nein, natürlich probieren wir als Mathematiker nicht gerne
> herum. Es gibt zum Lösen von Gleichungen dritten Grades die
> sog. Cardanischen Formeln. Entweder hast du ein gutes Buch,
> das dir diese verrät oder du googlst das mal. Da kannst du
> deine Nullstellen in Abhängigkeit von b berechnen.

Danke für den Hinweis. Allerdings wird das doch sehr kompliziert. Ich habe jetzt mal p und q ausgerechnet (so wie es []hier steht). Da da aber überall noch ein b drin vorkommt, weiß ich dann aber nicht mal, ob ich im Fall 1, 2 oder 3 bin, bzw. ich müsste da dann noch Fallunterscheidungen machen. Das wird mir doch viel zu viel Rechnerei. ;-)

Vielleicht gibt es ja noch irgendeine andere Möglichkeit, wie ich diese Aufgabe lösen könnte.
  
> Oder wenn du eine Nullstelle durch probieren herausbekommen
> hast, dann mach doch ne Polynomdivision dazu.

Ja, das habe ich auch gemacht. Allerdings hängt die Nullstelle ja von b ab, und demnach müsste ich dann für jedes b eine Nullstelle suchen, was ich ja gerade nicht machen will.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Diagonalisieren: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Di 27.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Bastiane!


Durch Probieren mit den Teilern des Absolutgliedes $-6b_$ habe ich als (allgemeine) Nullstelle erhalten: [mm] $\lambda_1 [/mm] \ = \ b$ .


Nun kannst Du ja eine MBPolynomdivision durch [mm] $(\lambda [/mm] - b)$ durchführen ...


Gruß
Loddar

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Diagonalisieren: Hinschauen statt raten! :-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 27.09.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

> Für welche [mm]a,b\in\IR[/mm] ist die MAtrix
>
> [mm]\pmat{-3&0&0\\2a&b&a\\10&0&2}[/mm]
>  
> diagonalisierbar?

Du brauchst hier gar nichts zu raten oder mit Teilern des Absolutglieds rumzuexperimentieren. ;-)

Man sieht doch sofort (anhand der zweiten Spalte), dass  

[mm] $\pmat{-3&0&0\\2a&b&a\\10&0&2} \cdot \pmat{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] b\cdot \pmat{0 \\ 1 \\ 0}$ [/mm]

gilt. Daher ist $b$ in jedem Fall Eigenwert und du kannst die Polynomdivision durchführen. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Diagonalisieren: so erstmal?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Di 27.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo ihr Zwei!

@ Loddar:

Während Stefan noch an seiner Antwort schrieb, habe ich dann schon mal die Polynomdivision durchgeführt. :-)


@ Stefan:

Deine Überschrift sagt alles! [bonk] ;-) Ich hätte wirklich zuerst mal ein bisschen gucken und denken sollen anstatt direkt rechnen zu wollen.

Also, die Polynomdivision ergibt:

[mm] \lambda_1=b [/mm]

[mm] \lambda_2=-3 [/mm]

[mm] \lambda_3=2 [/mm]

Demnach ist die Matrix auf jeden Fall schon mal für alle [mm] b\not=-3 [/mm] und [mm] \not=2 [/mm] diagonalisierbar!? Wobei a beliebig ist, oder? Und jetzt muss ich wohl noch untersuchen, ob die Matrix diagonalisierbar ist, wenn b=-3 oder b=2 ist (evtl. wird das a dann doch eingeschränkt).

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Diagonalisieren: [daumenhoch] ;-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:34 Di 27.09.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

> Also, die Polynomdivision ergibt:
>  
> [mm]\lambda_1=b[/mm]
>  
> [mm]\lambda_2=-3[/mm]
>  
> [mm]\lambda_3=2[/mm]
>  
> Demnach ist die Matrix auf jeden Fall schon mal für alle
> [mm]b\not=-3[/mm] und [mm]\not=2[/mm] diagonalisierbar!? Wobei a beliebig
> ist, oder? Und jetzt muss ich wohl noch untersuchen, ob die
> Matrix diagonalisierbar ist, wenn b=-3 oder b=2 ist (evtl.
> wird das a dann doch eingeschränkt).

Alles perfekt! [daumenhoch]

Versuchst du das jetzt mal? :-)

Liebe Grüße
Stefan  

Bezug
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