Diagonalisieren von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 13.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Ich hab mal eine Frage zum Diagonalisieren von Matrizen.Ich soll die Matrix [mm] A=\pmat{ -5 & 1 & 6 & 6 \\ -12 & 2 & 12 & 12 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ -4 & 0 & 4 & 6 } [/mm] diagonalisieren, bzw. eine Matrix S [mm] \in [/mm] Gl(4) bestimmen, sodass [mm] S*A*S^{-1}
[/mm]
Diagonalmatrix ist.
Das Problem ist, dass diese Matrix nicht symmetrisch ist. Ich kenne nur zwei Methoden zum diagonalisieren aber da bestimmt man eine Matrix S so, dass [mm] S^{T}*A*S [/mm] Diagonalmatrix ist.
1.Methode: Eigenwerte und Eigenräume bestimmen usw..Hier ist [mm] S^{T}=S^{-1}, [/mm] also hab ich eine Diagonalmatrix [mm] S^{-1}*A*S, [/mm] aber das ist doch nicht das gleiche wie [mm] S*A*S^{-1} [/mm] oder?
Folglich kann ich diese Methode schonmal nicht anwenden.
2.Methode: Mit Zeilen und Spaltenoperationen. Hier hab ich [mm] S^{T}*A*S [/mm] als Diagonalmatrix, d.h. ich kann diese Methode auch nicht anwenden.
Und das Problem der Symmetrie kommt hinzu, denn bei beiden Methoden muss die Matrix symmetrisch sein.
Ich weiß sonst nicht, wie ich diese Matrix diagonalisieren kann. Oder gibt es eine andere Methode,die ich nicht kenne, und deshalb die Aufgabe gar nicht lösen kann?
Vielen Dank
lg
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Hey Mandy,
> Hallo zusammen^^
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> Ich hab mal eine Frage zum Diagonalisieren von Matrizen.Ich
> soll die Matrix [mm]A=\pmat{ -5 & 1 & 6 & 6 \\ -12 & 2 & 12 & 12 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ -4 & 0 & 4 & 6 }[/mm]
> diagonalisieren, bzw. eine Matrix S [mm]\in[/mm] Gl(4) bestimmen,
> sodass [mm]S*A*S^{-1}[/mm]
> Diagonalmatrix ist.
>
> Das Problem ist, dass diese Matrix nicht symmetrisch ist.
> Ich kenne nur zwei Methoden zum diagonalisieren aber da
> bestimmt man eine Matrix S so, dass [mm]S^{T}*A*S[/mm]
> Diagonalmatrix ist.
>
> 1.Methode: Eigenwerte und Eigenräume bestimmen usw..Hier
> ist [mm]S^{T}=S^{-1},[/mm] also hab ich eine Diagonalmatrix
> [mm]S^{-1}*A*S,[/mm] aber das ist doch nicht das gleiche wie
> [mm]S*A*S^{-1}[/mm] oder?
> Folglich kann ich diese Methode schonmal nicht anwenden.
Du hast völlig recht, das ist nicht dasselbe! Dennoch kannst du diese Methode anwenden, denn die Symmetrie der Matrix A ist hierfür nicht erforderlich. Du kannst ganz normal Eigenwerte und -vektoren bestimmen und erhälst so eine Matrix S, mit der du eine Diagonalmatrix [mm]D=S^{-1}*A*S [/mm] erhälst. Allerdings ist das nicht die gewünschte Form. Dies kannst du aber leicht "hintricksen", indem du die Matrix S zunächst z.B. als Matrix T definierst und dann diese Matrix T invertierst und somit deine gesuchte Matrix [mm] S=T^{-1} [/mm] erhälst, mit der du eine Diagonalmatrix zu A bekommst.
Also Diagonalmatrix [mm]D=T^{-1}*A*T=S*A*S^{-1} [/mm] , da ja [mm] S=T^{-1} [/mm] gilt.
> 2.Methode: Mit Zeilen und Spaltenoperationen. Hier hab ich
> [mm]S^{T}*A*S[/mm] als Diagonalmatrix, d.h. ich kann diese Methode
> auch nicht anwenden.
>
> Und das Problem der Symmetrie kommt hinzu, denn bei beiden
> Methoden muss die Matrix symmetrisch sein.
>
> Ich weiß sonst nicht, wie ich diese Matrix diagonalisieren
> kann. Oder gibt es eine andere Methode,die ich nicht kenne,
> und deshalb die Aufgabe gar nicht lösen kann?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du hast völlig recht, das ist nicht dasselbe! Dennoch
> kannst du diese Methode anwenden, denn die Symmetrie der
> Matrix A ist hierfür nicht erforderlich. Du kannst ganz
> normal Eigenwerte und -vektoren bestimmen und erhälst so
> eine Matrix S, mit der du eine Diagonalmatrix [mm]D=S^{-1}*A*S[/mm]
> erhälst. Allerdings ist das nicht die gewünschte Form.
> Dies kannst du aber leicht "hintricksen", indem du die
> Matrix S zunächst z.B. als Matrix T definierst und dann
> diese Matrix T invertierst und somit deine gesuchte Matrix
> [mm]S=T^{-1}[/mm] erhälst, mit der du eine Diagonalmatrix zu A
> bekommst.
> Also Diagonalmatrix [mm]D=T^{-1}*A*T=S*A*S^{-1}[/mm] , da ja
> [mm]S=T^{-1}[/mm] gilt.
Ok, sagen wir ich habe jetzt ein Matrix S. Dann setze ich S:=T. Wenn ich T invertiere habe doch [mm] S^{-1}=T^{-1} [/mm] und nicht [mm] S=T^{-1} [/mm] ?
Oder meinst du das so: Ich habe zunächst eine Matrix S gefunden, so dass gilt: [mm] S^{-1}*A*S=D. [/mm] Jetzt definiere ich mir [mm] S^{-1}=T [/mm] und invertiere T, dann bekomme ich [mm] S=T^{-1} [/mm] und habe [mm] T^{-1}*A*T=D. [/mm]
Aber ich darf diese Methode doch nur anwenden,wenn die Matrix aus den reellen Zahlen ist.
Und eigentlich könnte ich hier auch mit der 2.Methode, also Zeilen-und Spaltenoperationen diagonalisieren oder? Ich wüsste nicht, was dagegen sprechen würde.
lg
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> > Du hast völlig recht, das ist nicht dasselbe! Dennoch
> > kannst du diese Methode anwenden, denn die Symmetrie der
> > Matrix A ist hierfür nicht erforderlich. Du kannst ganz
> > normal Eigenwerte und -vektoren bestimmen und erhälst so
> > eine Matrix S, mit der du eine Diagonalmatrix [mm]D=S^{-1}*A*S[/mm]
> > erhälst. Allerdings ist das nicht die gewünschte Form.
> > Dies kannst du aber leicht "hintricksen", indem du die
> > Matrix S zunächst z.B. als Matrix T definierst und dann
> > diese Matrix T invertierst und somit deine gesuchte Matrix
> > [mm]S=T^{-1}[/mm] erhälst, mit der du eine Diagonalmatrix zu A
> > bekommst.
> > Also Diagonalmatrix [mm]D=T^{-1}*A*T=S*A*S^{-1}[/mm] , da ja
> > [mm]S=T^{-1}[/mm] gilt.
>
> Ok, sagen wir ich habe jetzt ein Matrix S. Dann setze ich
> S:=T. Wenn ich T invertiere habe doch [mm]S^{-1}=T^{-1}[/mm] und
> nicht [mm]S=T^{-1}[/mm] ?
Das hast du falsch verstanden.
> Oder meinst du das so: Ich habe zunächst eine Matrix S
> gefunden, so dass gilt: [mm]S^{-1}*A*S=D.[/mm] Jetzt definiere ich
> mir [mm]S^{-1}=T[/mm] und invertiere T, dann bekomme ich [mm]S=T^{-1}[/mm]
> und habe [mm]T^{-1}*A*T=D.[/mm]
Eher [mm]T*A*T^{-1}=D.[/mm] Du hast dich da wahrscheinlich vertippt. Letztendlich brauchst du am Ende nur eine Umbennenung durchführen.
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> Aber ich darf diese Methode doch nur anwenden,wenn die
> Matrix aus den reellen Zahlen ist.
> Und eigentlich könnte ich hier auch mit der 2.Methode,
> also Zeilen-und Spaltenoperationen diagonalisieren oder?
> Ich wüsste nicht, was dagegen sprechen würde.
Dann erhälst du aber [mm]D= S*A*H [/mm], wobei i.A. und auch hier [mm]S^{-1}\neq H[/mm] ist.
Das mit den Zeilen und Spaltenoperationen funktioniert nur so leicht bei symmetrischen Matrizen, da jede "gute" zeilenoperation auch eine "gute" Spaltenoperation ist.
Hier kommst du meines erachtens nicht um das charakteristische Polynom drum herum.
Noch eine Anmerkung:
> 1.Methode: Eigenwerte und Eigenräume bestimmen usw..Hier ist [mm] S^{T}=S^{-1}, [/mm] > also hab ich eine Diagonalmatrix [mm] S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S, [/mm] aber das ist doch nicht das > gleiche wie [mm] S\cdot{}A\cdot{}S^{-1} [/mm] oder?
> Folglich kann ich diese Methode schonmal nicht anwenden.
Es ist nicht immer [mm] $S^T=S^{-1}$! [/mm] Auch nicht bei dieser Methode. Bei symmetrischen Matrizen ist kannst du durch normierung [mm] $\tilde{S}^{T}=\tilde{S}^{-1}$ [/mm] erreichen. Da bei symmetrischen Matrizen du stehts eine Orthogonalbasis durch die Eigenvektoren erhälst. Durch normierung erhälst du [mm] $S^{T}=S^{-1}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Noch eine Anmerkung:
> > 1.Methode: Eigenwerte und Eigenräume bestimmen
> usw..Hier ist [mm]S^{T}=S^{-1},[/mm] > also hab ich eine
> Diagonalmatrix [mm]S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S,[/mm] aber das ist doch
> nicht das > gleiche wie [mm]S\cdot{}A\cdot{}S^{-1}[/mm] oder?
> > Folglich kann ich diese Methode schonmal nicht anwenden.
> Es ist nicht immer [mm]S^T=S^{-1}[/mm]! Auch nicht bei dieser
> Methode. Bei symmetrischen Matrizen ist kannst du durch
> normierung [mm]\tilde{S}^{T}=\tilde{S}^{-1}[/mm] erreichen. Da bei
> symmetrischen Matrizen du stehts eine Orthogonalbasis durch
> die Eigenvektoren erhälst. Durch normierung erhälst du
> [mm]S^{T}=S^{-1}[/mm].
Ok, das war mir jetzt nicht klar.Das allgemein [mm] S^{T}=S^{-1} [/mm] nicht gilt,ist klar.Aber bei dieser Methode muss es doch gelten. Denn ich bestimme ein S [mm] \in O_{n}(\IR), [/mm] also eine orthogonale Matrix S und für die gilt: [mm] S^{T}*S=E_{n}. [/mm] Dann muss logischerweise [mm] S^{T} [/mm] die Inverse sein. Wieso ist das denn nicht so?
Meinst du das mit dem Normieren so, dass ich z.B. meine Matrix [mm] S^{T} [/mm] ausgerechnet habe und dann die Spalten der Matrix normiere (wie normiert man sonst eine Matrix?) und dadurch [mm] S^{-1} [/mm] erhalte?
lg
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Die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 0 \\
0 & 1 } [/mm] beinhaltet orthogonale Basisvektoren. Hier ist [mm]S^T\neq S^{-1}[/mm]
> Ok, das war mir jetzt nicht klar.Das allgemein [mm]S^{T}=S^{-1}[/mm]
> nicht gilt,ist klar.Aber bei dieser Methode muss es doch
> gelten. Denn ich bestimme ein S [mm]\in O_{n}(\IR),[/mm] also eine
> orthogonale Matrix S und für die gilt: [mm]S^{T}*S=E_{n}.[/mm] Dann
Wenn du eine symmetrische Matrix auf eine Diagonalmatrix mit zeilen-/ Spaltenoperationen bringst:[mm]\underbrace{S_1*S_2*S_3\cdots S_n}_{R}*A*\underbrace{S_n^{T}\cdots *S_3^{T}*S_2^{T}*S_1^{T}}_{R^T}=D[/mm]
Gilt doch auch nicht allgemein [mm] $R^{-1}=R^T$. [/mm] Gegenbeispiel habe ich dir gegeben. Du kommst mit der Methode zwar auf eine Diagonalmatrix aber halt nicht auf [mm] $S^T=S^{-1}$.
[/mm]
> muss logischerweise [mm]S^{T}[/mm] die Inverse sein. Wieso ist das
> denn nicht so?
Wie gesagt durch normieren erhälst du erst eine OthoNormalBasis.
> Meinst du das mit dem Normieren so, dass ich z.B. meine
> Matrix [mm]S^{T}[/mm] ausgerechnet habe und dann die Spalten der
> Matrix normiere (wie normiert man sonst eine Matrix?) und
> dadurch [mm]S^{-1}[/mm] erhalte?
Mit normieren meine ich speziell Gram-Schmidt-Verfahren.
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 0 \\
0 & 1 }[/mm] ist offensichtlich eine
> orthogonale Matrix. Hier ist [mm]S^T\neq S^{-1}[/mm]
Hä? Ich versteh nichts mehr, diese Matrix ist doch nicht orthogonal, nennen wir sie S. Es ist [mm] S^{T}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }=S [/mm] und [mm] S^{T}*S=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 1 } \not=E_{n}.
[/mm]
lg
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Ich habe mich absolut schlecht ausgedrückt. Sorry. Ich wollte nur damit andeuten, dass es auch sein, kann dass die Eigenvektoren senkrecht auch einander stehen.
[mm]\vektor{2 \\
0},\vektor{0\\
1}[/mm]
und trotzdem nicht [mm]S^{-1}=S^{T}[/mm] gilt. Damit wollte ich den Unterschied zwischen einer OrthoNormalBasis und OrthogonalBasis deutlich machen.
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