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Hallo zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und wollte mal fragen ob jemand weiß wie man hier weitergeht und so nett wär, es mir zu verraten.
Man hat eine Matrix A [mm] \in \IR^{2,2}, x^{t}=( \gamma_{1}, \gamma_{2}) [/mm] und [mm] \beta \in \IR [/mm] gegeben. Es ist eine quadartische Funktion folgendermaßen gegeben: F(x) = [mm] x^{t}Ax+ \beta [/mm] = 10 [mm] (\gamma_{1})^{2}-4\gamma_{1}\gamma_{2} [/mm] + 7 [mm] (\gamma_{2})^{2}-1
[/mm]
a) Nun soll man A so bestimmen, dass A diagonalisierbar ist.
Hierzu habe ich folgendermaßen gerechnet:
F(x) lässt sich ja nun schreiben als
F(x) = [mm] (\gamma_{1},\gamma_{2}) \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{\gamma_{1} \\ \gamma_{2}}+\beta=
[/mm]
[mm] (a\gamma_{1}+c\gamma_{2},b\gamma_{1}+d\gamma_{2}) \vektor{\gamma_{1} \\ \gamma_{2}}+\beta=
[/mm]
[mm] a(\gamma_{1})^{2}+(b+c)\gamma_{1}\gamma_{2}+d(\gamma_{2})^{2}+\beta
[/mm]
Also ist doch a=10, b+c = 4, d= 7, wenn man diese Gleichung nun mit der gegebenen vergleicht. Wie komme ich jetzt nun auf b und c? Hier komm ich nicht weiter und bitte um Rat.
b) Hier soll man bezgl. des kanonischen Skalarproduktes eine orthogonale Transformation T : x [mm] \to [/mm] y = [mm] \vektor{\mu_{1} \\ \mu_{2}} [/mm] finden, so dass f(x) = F*(y)= [mm] \lambda_{1}(\mu_{1})^{2}+\lambda_{2}(\mu_{2})^{2} [/mm] -1 ist. T heißt Hauptachsentransformation. Hier weiß ich nicht genau, was ich machen soll. Kann mir jemand erklären, was ich da genau zu tun habe? Danke.
Mfg,
Basti
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man hat eine Matrix A [mm]\in \IR^{2,2}, x^{t}=( \gamma_{1}, \gamma_{2})[/mm]
> und [mm]\beta \in \IR[/mm] gegeben. Es ist eine quadartische
> Funktion folgendermaßen gegeben: F(x) = [mm]x^{t}Ax+ \beta[/mm] = 10
> [mm](\gamma_{1})^{2}-4\gamma_{1}\gamma_{2}[/mm] + 7
> [mm](\gamma_{2})^{2}-1[/mm]
>
> a) Nun soll man A so bestimmen, dass A diagonalisierbar
> ist.
> Hierzu habe ich folgendermaßen gerechnet:
> F(x) lässt sich ja nun schreiben als
> F(x) = [mm](\gamma_{1},\gamma_{2}) \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{\gamma_{1} \\ \gamma_{2}}+\beta=[/mm]
>
> [mm](a\gamma_{1}+c\gamma_{2},b\gamma_{1}+d\gamma_{2}) \vektor{\gamma_{1} \\ \gamma_{2}}+\beta=[/mm]
>
> [mm]a(\gamma_{1})^{2}+(b+c)\gamma_{1}\gamma_{2}+d(\gamma_{2})^{2}+\beta[/mm]
>
> Also ist doch a=10, b+c = 4, d= 7, wenn man diese Gleichung
> nun mit der gegebenen vergleicht. Wie komme ich jetzt nun
> auf b und c? Hier komm ich nicht weiter und bitte um Rat.
Da es sich um eine Bilinearform handelt, ist b = c = 2,
> b) Hier soll man bezgl. des kanonischen Skalarproduktes
> eine orthogonale Transformation T : x [mm]\to[/mm] y =
> [mm]\vektor{\mu_{1} \\ \mu_{2}}[/mm] finden, so dass f(x) = F*(y)=
> [mm]\lambda_{1}(\mu_{1})^{2}+\lambda_{2}(\mu_{2})^{2}[/mm] -1 ist. T
> heißt Hauptachsentransformation. Hier weiß ich nicht genau,
> was ich machen soll. Kann mir jemand erklären, was ich da
> genau zu tun habe? Danke.
Ich weiss nicht, ob Du Dich schon mit Eigenwerte beschäftigt hast.
Die Eigenwerte eine Matrix A werden durch lösen der folgenden Gleichung bestimmt:
[mm]\det \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\; = \;0[/mm]
Hier also:
[mm]
\left| {\begin{array}{*{20}c}
{10\; - \;\lambda } & 2 \\
2 & {7\; - \;\lambda } \\
\end{array}} \right|\; = \;\left( {10\; - \;\lambda } \right)\;\left( {7\; - \;\lambda } \right)\; - \;4\; = \;0[/mm]
Nun werden die Eigenvektoren zu jedem gefunden Eigenwert bestimmt:
[mm]\left( {A\; - \;\lambda _i \;I} \right)\;e_i \; = \;0[/mm]
Dann ergibt sich die Transformationsmatrix zu:
[mm]T\; = \;\left( {e_{1} ,\;e_{2} } \right),\;e_i \; \in \;\IR^{2} [/mm]
Die Transformationsmatrix T ist gerade die Matrix die A diagonalisiert.
Es geht aber auch anders. Nämlich durch quadratische Ergänzung.
Ziel ist es hier die gemischtquadratischen Glieder durch eine geschickte Transformation zu eliminieren.
Gruß
MathePower
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Hallo,
vielen Dank für den Hinweis, dass b=c=2 sein muss. Ich erhalte nun die folgende Matrix A= [mm] \pmat{ 10 & 2 \\ 2 & 7 }, [/mm] d.h. doch also dass [mm] A=A^{t} [/mm] ist, also A transponiert, welches ich im folgenden als B bezeichnen werde. Somit ist nach Satz A diagonalisierbar, also lässt sich das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegen: [mm] p_{B} [/mm] = [mm] \vmat{ 10-t & 2 \\ 2 & 7-t } [/mm] = (10-t)(7-t)-4 = [mm] t^{2} [/mm] -17t-66.
Jetzt habe ich verzweifelt versucht, zu dieser quadratischen Gleichung die Eigenwerte, also Nullstellen zu finden, und komme auf keine vernünftigen Werte, sondern mit riesigen Wurzeln, da kann doch also was nicht ganz richtig sein oder?
Ich habe nach der "Mitternachtsformel" zur Lösung der quadratischen Gleichung nun für [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{17 + \wurzel{553}}{2} [/mm] und für [mm] t_{2}= \bruch{17- \wurzel{533}}{2} [/mm] rausbekommen, das kann doch wohl nicht stimmen, oder? Stimmt evtl unsere Matrix A nicht?
Wie man nun die Eigenvektoren berechnet, das ist ja nicht das Problem, das Vefahren kann ich. Aber ich finde, dass mit den Eigenwerten was nicht stimmt. Habe ich heir was falsche gemacht? Die Transformationsmatrix ist dann trivial, die besteht ja gerade aus den Eigenvektoren.
Danke schön.
Mfg,
Basti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 08.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Dein charakteristisches Polynom lautet ja richtig Pb = (10-t)(7-t)-4 = t²-17t+66.
Und da ist auch der Fehler, beim bösen bösen Vorzeichen mal wieder ;)
Wenn du da jetzt die Lösungen (am besten mit Vieta) berechnest, bekommst du als Eigenwerte:
t1=11, t2=6
Der Rest sagst du ist ja kein Problem ;)
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Wollt mich bei dir bedanken, dass du meinen dummen Fehler entdeckt hast! Wollt schon glauben, dass die Angabe falsch sei. Naja, man muss eben Augen im Kopf haben.
Gruêo¢Èë¹!MæJÈu4¯§(gAÄitation=> Dein charakteristisches Polynom lautet ja richtig Pb =
> (10-t)(7-t)-4 = t²-17t+66.
> Und da ist auch der Fehler, beim bösen bösen Vorzeichen
> mal wieder ;)
>
> Wenn du da jetzt die Lösungen (am besten mit Vieta)
> berechnest, bekommst du als Eigenwerte:
> t1=11, t2=6
>
> Der Rest sagst du ist ja kein Problem ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Do 09.06.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
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> > Man hat eine Matrix A [mm]\in \IR^{2,2}, x^{t}=( \gamma_{1}, \gamma_{2})[/mm]
> > und [mm]\beta \in \IR[/mm] gegeben. Es ist eine quadartische
> > Funktion folgendermaßen gegeben: F(x) = [mm]x^{t}Ax+ \beta[/mm] = 10
> > [mm](\gamma_{1})^{2}-4\gamma_{1}\gamma_{2}[/mm] + 7
> > [mm](\gamma_{2})^{2}-1[/mm]
> >
> > a) Nun soll man A so bestimmen, dass A diagonalisierbar
> > ist.
> > Hierzu habe ich folgendermaßen gerechnet:
> > F(x) lässt sich ja nun schreiben als
> > F(x) = [mm](\gamma_{1},\gamma_{2}) \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{\gamma_{1} \\ \gamma_{2}}+\beta=[/mm]
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> > [mm](a\gamma_{1}+c\gamma_{2},b\gamma_{1}+d\gamma_{2}) \vektor{\gamma_{1} \\ \gamma_{2}}+\beta=[/mm]
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> [mm]a(\gamma_{1})^{2}+(b+c)\gamma_{1}\gamma_{2}+d(\gamma_{2})^{2}+\beta[/mm]
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> > Also ist doch a=10, b+c = 4, d= 7, wenn man diese Gleichung
> > nun mit der gegebenen vergleicht. Wie komme ich jetzt nun
> > auf b und c? Hier komm ich nicht weiter und bitte um Rat.
>
> Da es sich um eine Bilinearform handelt, ist b = c = 2,
Nein, man beachte die ursprüngliche Aufgabe, in der das gemischte Glied negativ ist. (d.h. b+c=-4)
Vorzeichenfehler von Basti, die Antwort von Mathpower stimmt damit leider auch nicht mehr.
Gruss, Crispy
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