Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 09.04.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 2.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 2.5 & 0 \\ 0 & 0 & -4 }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & 1 & 10 }
[/mm]
C= [mm] \pmat{ 8 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0.25 \\ 1 & 0.25 & 0 }
[/mm]
Finden Sie zu den Marizen A, B und C eine Matrix P, so dass [mm] P^{T}AP [/mm] eine Diagonalmatrix ist. Entscheiden Sie, ob die Matrizen A,B und C positiv (negativ) (semi)definit sind. |
Hallo,
zur Überprüfung der Definitheit der Matrizen hab ich jeweils die Unterdeterminanten berechnet und dabei folgende Lösungen erhalten A indefinit, B positiv definit, C negativ semidefinit
aber mein Problem liegt bei der 1. Teilaufgabe, ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll, ich hoffe, mir kann jemand erklären, was ich da machen muss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 09.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> A= [mm]\pmat{ 2.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 2.5 & 0 \\ 0 & 0 & -4 }[/mm]
>
> B= [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & 1 & 10 }[/mm]
> C=
> [mm]\pmat{ 8 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0.25 \\ 1 & 0.25 & 0 }[/mm]
>
> Finden Sie zu den Marizen A, B und C eine Matrix P, so dass
> [mm]P^{T}AP[/mm] eine Diagonalmatrix ist. Entscheiden Sie, ob die
> Matrizen A,B und C positiv (negativ) (semi)definit sind.
> Hallo,
>
> zur Überprüfung der Definitheit der Matrizen hab ich
> jeweils die Unterdeterminanten berechnet und dabei folgende
> Lösungen erhalten A indefinit, B positiv definit, C negativ
> semidefinit
Das brauchst du doch gar nicht. Wenn du den ersten Aufgabenteil erledigt hast siehst du die Loesungen sofort ohne weiteres Rechnen.
> aber mein Problem liegt bei der 1. Teilaufgabe, ich weiß
> nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll, ich hoffe, mir
> kann jemand erklären, was ich da machen muss
Weisst du, wie du eine Matrix diagonalisierst, also dafuer sorgst dass [mm] $T^{-1} [/mm] A T$ eine Diagonalmatrix ist mit einer invertierbaren Matrix $T$? (Wenn nicht, dann guck das nach.)
Wenn du nun genauso vorgehst wie da, aber eine Orthonormal-Basis der einzelnden Eigenraeume nimmst anstelle irgendeiner Basis, dann erhaelst du eine orthogonale Matrix $T$, also [mm] $T^t [/mm] = [mm] T^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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