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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 24.05.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] \IR^3 [/mm] als euklidischen Vektorraum mit Standardskalarprodukt. Sei
[mm] A=\pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }\in M_{3\times 3}(\IR) [/mm]
gegeben. Finden sie eine orthogonale Matrix [mm] S\in GL_3(\IR), [/mm] so dass $S^TAS$ eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo,
die Eigenwerte/-vektoren von A sind:
[mm] \lambda_1=3 [/mm] mit Vielfachheit 2, E.V.: [mm] v_1=(1,0,1)^T, v_2=(-1,1,0)^T
[/mm]
[mm] \lambda_2=0 [/mm] mit Vielfachheit 1, [mm] v_3=(-1,-1,1)^T
[/mm]
Diese sind überprüft und korrekt. Damit wäre die Matrix aus Eigenvektoren
[mm] S=\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
und mit ihr gilt [mm] $S^{-1}AS$=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }, [/mm] also die Diagonalmatrix von A mit den Eigenwerten.
Jetzt ist aber in der Aufgabenstellung gefordert, dass S orthogonal sein soll, dass also gilt [mm] S^TS=E_3 [/mm] bzw. [mm] S^T=S^{-1}, [/mm] was mit diesem S nicht erfüllt ist. Was also ist noch zu tun, damit auch $S^TAS$ gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Bastle aus [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] eine Orthonormalbasis [mm] \{b_1,b_2,b_3\} [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] so, dass
[mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] Eigenvektoren zu [mm] \lambda_1 [/mm] sind und [mm] b_3 [/mm] ein Eigenvekzor zu [mm] \lambda_2 [/mm] ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 24.05.2012 | | Autor: | triad |
> Bastle aus [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] eine Orthonormalbasis
> [mm]\{b_1,b_2,b_3\}[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] so, dass
>
> [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] Eigenvektoren zu [mm]\lambda_1[/mm] sind und [mm]b_3[/mm] ein
> Eigenvekzor zu [mm]\lambda_2[/mm] ist
>
> FRED
OK. Ich weiss aber nicht, ob ich das richtig vertehe. Ich habe jetzt auf die Basis V bestehend aus den Eigenvektoren
[mm] (v_1,v_2,v_3)=$\left (\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}\right [/mm] )$ Gram-Schmidt angewendet und die ONB [mm] W=(w_1,w_2,w_3)=$\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\frac{1}{3}\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}\right [/mm] )$ erhalten.
Dann die [mm] w_i [/mm] in eine Matrix M gepackt und geprüft, ob [mm] $M^T [/mm] = [mm] M^{-1}$ [/mm] gilt. Das sah schon ganz gut aus, aber haut noch nicht hin.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Bastle aus [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] eine Orthonormalbasis
> > [mm]\{b_1,b_2,b_3\}[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] so, dass
> >
> > [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] Eigenvektoren zu [mm]\lambda_1[/mm] sind und [mm]b_3[/mm] ein
> > Eigenvekzor zu [mm]\lambda_2[/mm] ist
> >
> > FRED
>
>
> OK. Ich weiss aber nicht, ob ich das richtig vertehe. Ich
> habe jetzt auf die Basis V bestehend aus den Eigenvektoren
>
> [mm](v_1,v_2,v_3)=[/mm] [mm]\left (\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}\right )[/mm]
> Gram-Schmidt angewendet und die ONB [mm]W=(w_1,w_2,w_3)=[/mm] [mm]\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\frac{1}{3}\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}\right )[/mm]
> erhalten.
Das ist aber keine ONB
FRED
>
> Dann die [mm]w_i[/mm] in eine Matrix M gepackt und geprüft, ob [mm]M^T = M^{-1}[/mm]
> gilt. Das sah schon ganz gut aus, aber haut noch nicht
> hin.
>
> Danke für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 24.05.2012 | | Autor: | triad |
elende Hitze ...
ich hatte eine Wurzel vergessen:
$ [mm] W=\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\wurzel{\frac{2}{3}}\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 1/2}\right [/mm] ) $
dann ist [mm] M=\pmat{ -\frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & -\frac{1}{\wurzel{6}} \\ -\frac{1}{\wurzel{3}} & 0 & \wurzel{\bruch{2}{3}} \\ \frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & \frac{1}{\wurzel{6}} }
[/mm]
und nun klappt auch [mm] $M^T=M^{-1}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 26.05.2012 | | Autor: | argon7 |
> elende Hitze ...
>
> ich hatte eine Wurzel vergessen:
>
> [mm]W=\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\wurzel{\frac{2}{3}}\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 1/2}\right )[/mm]
>
> dann ist [mm]M=\pmat{ -\frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & -\frac{1}{\wurzel{6}} \\ -\frac{1}{\wurzel{3}} & 0 & \wurzel{\bruch{2}{3}} \\ \frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & \frac{1}{\wurzel{6}} }[/mm]
>
> und nun klappt auch [mm]M^T=M^{-1}[/mm].
>
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also diese Matrix erfüllt aber nicht oben genanntes, also sprich [mm] M^T*A*M=\pmat{ \lambda 1 & 0 \\ 0 & \lambda n } [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 27.05.2012 | | Autor: | triad |
Hallo.
> >
> also diese Matrix erfüllt aber nicht oben genanntes, also
> sprich [mm]M^T*A*M=\pmat{ \lambda 1 & 0 \\ 0 & \lambda n }[/mm] ?
>
>
Doch. Mit $ [mm] M=\pmat{ -\frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & -\frac{1}{\wurzel{6}} \\ -\frac{1}{\wurzel{3}} & 0 & \wurzel{\bruch{2}{3}} \\ \frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & \frac{1}{\wurzel{6}} } [/mm] $ und A aus der Aufgabenstellung gilt $ [mm] M^T=M^{-1} [/mm] $ und $ [mm] M^TAM=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $
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