Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest.
Zeigen Sie, dass die reelle Matrix
A=
0 0 -2
1 2 1
1 0 3
über R ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
(b) Berechnen Sie A^13
Ich weiss leider im Moment nicht wie ich richtig vorgehen soll. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo Kevin22,
du bist doch nun schon lange genug dabei, um mal langsam den Formeleditor zu benutzen ...
> Hallo ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest.
>
> Zeigen Sie, dass die reelle Matrix
>
> A=
>
> 0 0 -2
> 1 2 1
> 1 0 3
>
> über R ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
>
> (b) Berechnen Sie A^13
>
>
> Ich weiss leider im Moment nicht wie ich richtig vorgehen
> soll.
Nachschlagen, was "ähnlich" bedeutet und dann die Matrix A diagonalisieren.
Dazu erstmal prüfen, ob das klappt, der Rest ergibt sich dann von selbst ...
Insbesondere die Berechnung von [mm]A^{13}[/mm] ist sehr einfach, wenn du die Darstellung [mm]A=TDT^{-1}[/mm] hast mit [mm]T[/mm] invertierbar und [mm]D[/mm] Diagonalmatrix ...
Warum? Wieso ist die Berechnung von [mm]\left(TDZ^{-1}\right)^{13}[/mm] vieeeeel einfacher, als die direkte Berechnung von [mm]A^{13}[/mm] ?
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:14 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Kannst du mir nicht wenigstens einen tipp geben wie ich Vorgehen soll. Ich hab das Thema nicht so richtig verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hm,
> Kannst du mir nicht wenigstens einen tipp geben wie ich
> Vorgehen soll. Ich hab das Thema nicht so richtig
> verstanden.
Du hast fünf Minuten gebraucht um das hier zu schreiben.
Die Zeit hättest du auch in active Recherche zu dem Thema nutzen können.
Schau doch einfach mal in euer Skript bzw. im Internet und lies dir erst mal durch worum es hier eigentlich geht.
Mach dich auch mit den hier verwendeten Begriffen vertraut.
Unternimm also zunächst mal den Versuch etwas von dem zu verstehen was du tun sollst.
Valerie
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Hallo nochmal,
> Kannst du mir nicht wenigstens einen tipp geben wie ich
> Vorgehen soll. Ich hab das Thema nicht so richtig
> verstanden.
Unglaublich und dreist.
Ich habe dir doch Hinweise gegeben. Hast du in den 5 Minuten zwischen meiner Antwort und deiner Mitteilung denn die Begriffe "Ähnlichkeit", "Diagionalisieren" nachgesehen und dir überlegt, warum [mm](TDT^{-1})^{13}[/mm] einfacher zu berechnen ist?
Natürlich nicht. Das ist keine Einstellung, so wird das in Mathe nix.
Hast du kein Skript, keine Mitschrift, kein google?
Wir ersetzen hier doch keine VL.
Wenn du die Begriffe nachgeschlagen hast, sage, wo es konkret klemmt!
Echt mal: das geht gar nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Das Problem ist ich weiß nIcht wie ich das genau diagonalisieren soll . Ich versteh es nicht sonst wurde ich ja nicht fragen.
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Hallo,
berechne die Eigenwerte von A, ermittle die zugeh. Eigenvektoren.
Diese packe als Spaltenvektoren in die gesuchte transormierende Matrix.
Direkt einer der ersten links bei einer Googlesuche nach "diagonalisieren" liefert ein schönes Bsp.
http://www.rokip.net/mathematik/50-lineare-algebra/128-diagonalisieren-einer-matrix
Habt ihr in der VL oder den Übungen nix dazu gemacht?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo alle zusammen.
Ich hab jetzt das polynom rausbekommen:
[mm] lambda^3 -5lambda^2 [/mm] +8lambda -4
Aber jetzt habe ich gerade so meine probleme mit der Polynomdivision die eigenwerte zu berechnen.
Ich brauch ein wenig eure Hilfe dazu.
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> Hallo alle zusammen.
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> Ich hab jetzt das polynom rausbekommen:
>
> [mm]lambda^3 -5lambda^2[/mm] +8lambda -4
>
> Aber jetzt habe ich gerade so meine probleme mit der
> Polynomdivision die eigenwerte zu berechnen.
Hallo,
die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Um eine Polynomdivision zu machen, mußt Du erstmal eine Nullstelle [mm] \lambda_1 [/mm] raten und dann durch [mm] (\lambda-\lambda_1) [/mm] dividieren.
Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, sind diese (pos. oder neg.) Teiler von 4. Probier halt mal...
LG Angela
LG
>
> Ich brauch ein wenig eure Hilfe dazu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Die nullstelle hab ich schon erraten:
lambda = 1
Dann polynomdivision angewendet:
[mm] lambda^3 [/mm] - [mm] 5lambda^2 [/mm] + 8lambda -4 / (lambda -1) = [mm] lambda^2 [/mm] - 4lambda
Jetzt bin ich stecken geblieben bei der Division.
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Hallo nochmal,
bitte klicke mal auf meine Formeln, damit du das mit der vernünftig lesbaren Eingabe mal auf die Kette bekommst...
> Die nullstelle hab ich schon erraten:
>
> lambda = 1
>
> Dann polynomdivision angewendet:
>
> [mm]lambda^3[/mm] - [mm]5lambda^2[/mm] + 8lambda -4 / (lambda -1) = [mm]lambda^2[/mm]
> - 4lambda
>
> Jetzt bin ich stecken geblieben bei der Division.
Es fehlt noch bei der PD der letzte konstante Summand [mm]+4[/mm]
[mm](\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4):(\lambda-1)=\lambda^2-4\lambda+4[/mm]
Du hast also für das char. Polynom [mm]\chi(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda^2-4\lambda+4)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2[/mm]
Mithin die NSTen [mm]\lambda_1=1, \lambda_{2,3}=2[/mm]
Ein Tipp noch: statt beim Aufstellen des char. Polynoms blindlings auszumultiplizieren, solltest du immer versuchen auszuklammern.
Hier kannst du direkt [mm](2-\lambda)[/mm] ausklammern (oder [mm](\lambda-2)[/mm]), so dass die weitere NSTbestimmung kinderleicht wird.
Bestimmt nun zu den Eigenwerten Eigenvektoren ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich hab nicht so ganz verstanden warum bei der polynomdivision der Wert 4 dazugekommen ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 14.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab nicht so ganz verstanden warum bei der
> polynomdivision der Wert 4 dazugekommen ist.
Führe die Polynomdivision doch mal durch. Dann siehst Du es !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo Leute ich bin wieder bei dieser Aufgabe stecken geblieben . Ich wollte jetzt:
Eigenwerte bestimmen: [mm] lambda^2 [/mm] -4lambda -4=0.
Ich bekomme raus: Lambada =0. Und Lambda =4*wurzel aus 2 Stimmt das?
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Hallo,
> Hallo Leute ich bin wieder bei dieser Aufgabe stecken
> geblieben . Ich wollte jetzt:
> Eigenwerte bestimmen: [mm]lambda^2[/mm] -4lambda -4=0.
> Ich bekomme raus: Lambada =0. Und Lambda =4*wurzel aus 2
> Stimmt das?
Nein, wie denn auch? Setze doch einfach mal [mm] \lambda=0 [/mm] zur Kontrolle ien, dann siehst du sofort, dass das nicht aufgeht. Auch die zweite Lösung ist nicht richtig. Wie löst man gleich noch einmal quadratische Gleichungen auf?
Aber das eigentliche Problem ist: von was sollen das denn die Eigenwerte sein? Von der Augangsaufgabe? Das wurde dir oben von schachuzipus haarklein vorgerechnet inkl. einem sehr hilfreichen Tipp, wie man hier die Polynomdivsion von vorn herein vermeiden kann.
Also ich verstehe nicht, weshalb du, mit einer solch ausführlichen Antwort ausgestattet, jetzt wieder eine neue (und falsche) Rechnung aufmachst?
Gruß, Diophant
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> Hallo Leute ich bin wieder bei dieser Aufgabe stecken
> geblieben . Ich wollte jetzt:
> Eigenwerte bestimmen: [mm]lambda^2[/mm] -4lambda -4=0.
Hallo,
warum wolltest Du die Nullstellen davon bestimmen?
Es ist doch $ [mm] (\lambda^3 -5\lambda^2 [/mm] $ [mm] +8\lambda [/mm] -4 [mm] ):(\lambda-1)=\lambda2-4\lambda\red{+}4.
[/mm]
Auf jeden Fall solltest Du Dich mit dem Lösen quadratischer Gleichungen beschäftigen, "man" muß das können.
Daß die von Dir zuvor errechneten Nullstellen nicht stimmen, merkst Du beim Einsetzen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Danke Angela ich hab meinen Fehler raus bekomm jetzt 2 raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo Leute ich habe ne kurze Rückfrage
Für den eigenwert 1 Kriege ich den eigenvektor ( 0 0 0 ) raus .
Kann das stimmen?
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Hallo,
> Für den eigenwert 1 Kriege ich den eigenvektor ( 0 0 0 )
> raus .
> Kann das stimmen?
Nein, das stimmt nicht. Weshalb gibst du nicht deine Rechnung mit an, dass man dir den Fehler aufzeigen könnte?
Ich kann jetzt nur raten. Aber wenn du es gerechnet hast, so wie man es für gewöhnlich tut, dann betrachte mal die zweite Zeile des LGS etwas genauer. Was passiert da mit der mittleren Koordinate des Eigenvektors?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich hatte zuerst mal die Matrix mit eigenwert 1
-1 0. -2
1. 1. 1
1. 0. -2
Zeilenstufenform umgewandelt:
-1. 0. -2
0. 1. -1
0. 0. 0
Dann hab ich X3 = 0 und alle anderen auch 0
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Hallo,
> Ich hatte zuerst mal die Matrix mit eigenwert 1
> -1 0. -2
> 1. 1. 1
> 1. 0. -2
Woher die -2 unten rechts, das muss +2 heißen.
>
> Zeilenstufenform umgewandelt:
>
> -1. 0. -2
> 0. 1. -1
> 0. 0. 0
>
>
> Dann hab ich X3 = 0 und alle anderen auch 0
Probiere das nochmal mit den richtigen Zahlen aus. Ich erhalte einen vom Nullvektor verschiedenen Eigenvektor.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Tschuldigung da hatte ich mich nur verschrieben , ich hab schon mit der richtigen Matrix gearbeitet.
Aber was habe ich den falsch gemacht?
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Hallo nochmal,
bitte Fragen als Fragen stellen.
Und wenn du dich fortan nicht um eine lesbare Eingabe bemühst, verstecke ich kommentarlos deine posts.
Das ist eine Zumutung, ich habe dir in diesem thread schon alle Formeln aufgeschrieben, copy&paste scheint dir schon zuviel Mühe zu bereiten.
Eine Frechheit sondergleichen ...
> Tschuldigung da hatte ich mich nur verschrieben , ich hab
> schon mit der richtigen Matrix gearbeitet.
> Aber was habe ich den falsch gemacht?
Nix, die ZSF stimmt.
Aber es ist nicht [mm] $x_3=0$. [/mm] Wieso auch?
Du hast in ZSF 2 Gleichungen in 3 Unbekannten, setze also [mm] $x_3:=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Daraus bestimme in Abh. von t mal [mm] $x_1,x_2$
[/mm]
Und der Nullvektor ist per definitionem niemals ein EV!
Das MUSS (!!!!) man wissen, deine Frage oben hättest du dir also selber beantworten können MÜSSEN...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo Leute ich glaube ich hab's:
Eigenvektor ( 2t t. t. ) Stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 So 15.07.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Also was den Formeleditor angeht, bist du wohl durch und durch beratungsresistant.
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> Hallo Leute ich glaube ich hab's:
>
> Eigenvektor ( 2t t. t. ) Stimmt das?
Hallo,
Du meinst sicher, daß für alle [mm] t\not=0 [/mm] der Vektor [mm] \vektor{2t\\t\\t}=t\vektor{2\\1\\1} [/mm] ein Eigenvektor der gegebenen Matrix zum Eigenwert 1 ist, und daß [mm] \vektor{2\\1\\1} [/mm] eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1 ist.
Ob das stimmt, kannst Du selbst prüfen: multiplizierst Du Deine Matrix mit [mm] \vektor{2\\1\\1}, [/mm] so muß [mm] 1*\vektor{2\\1\\1} [/mm] herauskommen.
Und?
(Bei mir sind die Vorzeichen anders.)
Hast Du eigentlich mitbekommen, daß wir von Dir erwarten, daß Du den Formeleditor (Eingabehilfen unter dem Eingabefenster) verwendest?
Ich denke, nachdem Du hier im Forum ca. 150 Posts geschrieben hast, ist diese Höflichkeit gegenüber Deinen Helfern, die für Dich einiges an Zeit investieren, nicht zuviel verlangt, oder siehst Du das anders?
Wenn Du Dir den Quelltext von entsprechenden Posts anschaust, kannst Du auch sehen, wie Matrizen, Vektoren etc. geschrieben werden.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ok ich werde jetzt versuchen den formeleditor zu benutzen. Meinen fehler habe ich erkannt es soll wohl -2t heißen. Aber wie muss ich weiter Vorgehen?
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Hallo, -2t ist ok, jetz brauchst du die Eigenvektoren zum doppelten Eigenwert 2, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Der eigenvektor zum eigenwert 2 ist:
[mm] \begin{pmatrix} -t \\ s \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
Aber wenn ich jetzt die eigenvektoren hab ,was muss ich als nächstes machen?
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Hallo nochmal,
> Der eigenvektor zum eigenwert 2 ist:
>
> [mm]\begin{pmatrix} -t \\
s \\
t \end{pmatrix}[/mm]
mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Also [mm] $s\cdot{}\vektor{0\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-1\\0\\1}$
[/mm]
Für etwa $s=t=1$ hast du als Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] dann [mm] $\matcal B=\left\{\vektor{0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\1}\right\}$
[/mm]
Die Dimension dieses Eigenraumes (=geometr. Vielfachheit) ist also 2 und damit gleich der algebraischen VFH (=Vielfachheit der 2 als NST im char. Polynom)
Damit ist $A$ diagonalisierbar ...
>
> Aber wenn ich jetzt die eigenvektoren hab ,was muss ich als
> nächstes machen?
Die musst du als Spalten in deine transformierende Matrix $T$ stecken und diese dann invertieren.
Du willst ja auf die Darstellung [mm] $A=TDT^{-1}$ [/mm] kommen mit $D$ Diagonalmatrix - siehe b)
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Soll ich jetzt von dieser Matrix die Inverse berechnen?
Bin mir nämlich nicht sicher.
M=
-2 0 -1
1 1 0
1 0 1
Leider wusste ich nicht wie ich so eine Matrix mit dem editor eintippen kann.
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Hallo nochmal,
> Soll ich jetzt von dieser Matrix die Inverse berechnen?
Ja!
> Bin mir nämlich nicht sicher.
>
> M=
>
> -2 0 -1
> 1 1 0
> 1 0 1
M=\pmat{-2&0&-1\\1&1&0\\1&0&1} ergibt
[mm]M=\pmat{-2&0&-1\\
1&1&0\\
1&0&1}[/mm]
>
> Leider wusste ich nicht wie ich so eine Matrix mit dem
> editor eintippen kann.
Das steht im Editor erklärt ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Oh man leute tut mir leid leute . Ich hbe irgendwie probleme die Inverse zu berechnen. Kann mir jemand sagen wie man das mit der adjunkte berechnen kann. Mit gauß kriege ich das irgendwie überhaupt nicht hin
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Hallo, Gauß-Jordan geht doch wunderschön, EDIT: ich habe den Vorzeichenfehler verbessert
[mm] \pmat{ -2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Ziel ist jetzt, die Einheitsmatrix auf die linke Seite zu bringen
bilde neue Zeile 1: Zeile 1 geteilt durch -2
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 & -0,5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
bilde neue Zeile 2: Zeile 2 minus Zeile 1
bilde neue Zeile 3: Zeile 3 minus Zeile 1
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 & -0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0,5 & 0,5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,5 & 0,5 & 0 & 1}
[/mm]
bilde neue 3. Zeile: Zeile 3 mal 2
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 & -0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0,5 & 0,5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2}
[/mm]
bilde neue Zeile 1: 2 mal Zeile 1 minus Zeile 3
bilde neue Zeile 2: 2 mal Zeile 2 plus Zeile 3
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & -2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Puuh danke leute ich hab nun die inverse rausgekriegt:
1/3 0 1/3
0 1 0
0 0 1
Aber wie soll ich jetzt genau weiter vorgehen?
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Hallo Kevin22,
> Puuh danke leute ich hab nun die inverse rausgekriegt:
>
> 1/3 0 1/3
> 0 1 0
> 0 0 1
>
Das ist nicht richtig, da von einer falschen
erweiterten Koeffizientematrix ausgegangen wurde.
Die richtige erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:
[mm] \pmat{ \blue{-}2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\\blue{+}1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm]
> Aber wie soll ich jetzt genau weiter vorgehen?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Aber ich habe mit der richtigen koeffizientenmatrix gearbeitet.
Was ist dann falsch?
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Hallo Kevin22,
> Aber ich habe mit der richtigen koeffizientenmatrix
> gearbeitet.
>
> Was ist dann falsch?
Die Inverse.
Für die Matrix
[mm]\[\begin{pmatrix}-2 & 0 & -1\cr 1 & 1 & 0\cr 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\][/mm]
ergibt sich eine andere Inverse.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 15.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Aber ich habe mit der richtigen koeffizientenmatrix
> gearbeitet.
Dann Zeige uns mal deine Rechnung. Nur das Ergebnis hinzuklatschen, wird hier gar nicht gerne gesehen.
>
> Was ist dann falsch?
Da wir keine Glaskugel haben, müsstest du uns deine Rechnungen schon zeigen.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hier sind meine rechenschritte nach steffis rechnung:
1 0 -0,5 0,5 0 0
0 1 -0,5 0,5 1 0
0 0 -1,5 0,5 0 -1
Dann 3zeile *1/2 - 2Zeile :
1 0 -0,5 0,5 0 0
0 1 -0,5 0,5 1 0
0 0 1 -1/3 0 2/3
Dann 3zeile *1/2 - 3Zeile :
1 0 -0,5 0,5 0 0
0 1 0 1/3 1 1/3
0 0 1 -1/3 0 2/3
Und dann schließlich zum ergebnis:
1/3 0 1/3
0 1 0
0 0 1
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Hallo Kevin22,
> Hier sind meine rechenschritte nach steffis rechnung:
>
> 1 0 -0,5 0,5 0 0
> 0 1 -0,5 0,5 1 0
> 0 0 -1,5 0,5 0 -1
>
Dieser Artikel, aus dem Du die Matrix hast,
wurde inzwischen von Steffi überarbeitet.
Daher stimmt diese Matrix nicht mehr.
> Dann 3zeile *1/2 - 2Zeile :
>
> 1 0 -0,5 0,5 0 0
> 0 1 -0,5 0,5 1 0
> 0 0 1 -1/3 0 2/3
>
> Dann 3zeile *1/2 - 3Zeile :
>
> 1 0 -0,5 0,5 0 0
> 0 1 0 1/3 1 1/3
> 0 0 1 -1/3 0 2/3
>
>
> Und dann schließlich zum ergebnis:
>
> 1/3 0 1/3
> 0 1 0
> 0 0 1
>
Gruss
Matrix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 So 15.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ah ja hab ich jetzt gemerkt.
Aber wenn ich nun die Inverse hab was mache ich denn als nächstes?
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> Ah ja hab ich jetzt gemerkt.
>
> Aber wenn ich nun die Inverse hab was mache ich denn als
> nächstes?
Hallo,
Du solltest Dich dran gewöhnen, daß die Kindergartenzeit vorbei ist und Dir unbedingt etwas Selbständigkeit angewöhnen - auch wenn's manchmal mühsam ist. Immerhin bist Du in der Hochschule angekommen, also im Begriff, Dich auf eine führende Position vorzubereiten.
Lies nochmal die Aufgabenstellung durch, notiere - ohne die Rechnungen - was Du bisher gerechnet hast.
Im Verlaufe des Threads wurde auch beschrieben, was mit dem, was Du nun hast, zu tun ist.
Wenn Du Erfolg haben möchtest, mußt Du das große Ziel, die Lösung der Aufgabe, im Blick behalten und darfst Dich nicht nur auf Einzelschritte konzentrieren - insbesondere, wenn Du Dich demnächst durch eine Klausur wurschteln willst, ist dies von Belang.
Hier war eine Matrix A gegeben, von welcher Du entscheiden solltest, ob sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
Man muß sich an dieser Stelle wissen bzw. herausfinden, was [mm] "\green{Ähnlichkeit}" [/mm] ist, was eine Diagonalmatrix ist, im Idealfall erinnert man sich gleich daran, daß "ähnlich zu einer Diagonalmatrix"="diagonalisierbar" ist.
In diesem Zuge wirst Du auf die Begriffe Eigenwert/Eigenvektor/Eigenraum stoßen, deren Definition solltest Du allzeit parat haben.
Du wirst in Deinem Skript auch finden, daß eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt - auch dies muß man wissen. (Nicht fürs tägliche Leben - ich z.B. komme prima ohne dieses Wissen aus -, aber wenn man sich einer Prüfung/Klausur in Mathe stellen muß.Und dies Eigengedöns ist ja auch wirklich z.B. für Physiker und Maschbauer relevant.)
An dieser Stelle könntest Du überlegen, ob Deine Matrix so beschaffen ist, daß es eine Basis aus Eigenvektoren gibt, und was das für die Beantwortung von Frage a) bedeutet.
Du solltest Dir dann als nächstes anlesen, wie die Diagonalmatrix aussieht, was sie mit den Eigenwerten zu tun hat.
Am Ende steht dann das Aufstellen der Transformationsmatrix. Das kann man einfach nach Kochrezept machen, auch wenn man nicht großartig durchblickt. Im Thread wurde erklärt, wie es geht.
Haarsträubend ist, daß Deine Vorlesung bereits bis zu diesem Thema fortgeschritten ist, Du aber den Gaußalgorithmus und in diesem Zusammenhang das Invertieren von Matrizen noch nicht beherrschst und nachfragen mußt. Diesen Zustand solltest Du schleunigst ändern!
Für alles , was in dieser Aufgabe zu tun ist, braucht man kein Top-Mathematiker zu sein und man muß eigentlich nur wenig Durchblick haben. Man muß die Definitionen kennen und ein paar Kochrezepte, dann läuft die Sache.
Falls es nicht nur um diese Aufgabe geht, sondern eine Klausur zu schreiben ist, solltest Du Dich darum bemühen. Hier kann man "billig" Punkte sammeln.
So, etwas Aktivität also jetzt!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo Angela , ich weiss das ich das A^13 berechnen muss.
ABer ich weiss nicht so richtig wie man das macht , hab das ehrlich gesagt auch nicht in der vorlesung so richtig verstanden.
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Hallo,
> Hallo Angela , ich weiss das ich das A^13 berechnen muss.
>
> ABer ich weiss nicht so richtig wie man das macht , hab das
> ehrlich gesagt auch nicht in der vorlesung so richtig
> verstanden.
[mm] A^m=T*D^m*T^{-1}
[/mm]
Das hast du unter Garantie in deinen Unterlagen. Ebenso müsste sich in deinen Unterlagen ein Verfahren finden, wie man vermittels der Eigenvektoren von A auf die Matrix T kommt, und wie man mit Hilfe von T die Matrix A diagonalisiert.
Angela hat es ja auch schon geschrieben, andere auch: wenn man sieht, was du hier vorführst, dann fühlt man sich schon in die eigene Kindergartenzeit versetzt. Bist du eigentlich überhaupt in der Lage, eigenständig zu arbeiten? Dann fange ganz schnell damit an. Ansonsten würde ich mir an deiner Stelle ernsthaft überlegen, ob das mit dem Studium dein Ding ist.
Ich hatte mal als Jugendlicher und junger Erwachsener den Wunsch, Geige auf Konzertreife zu studieren. In diesem Zusammenhang habe ich mal einer ziemlichen Berühmtheit in Sachen Violinpädagogik vorgespielt, in der Hoffnung, sie würde mich unterrichten. Ihr Kommentar: sie habe erst kürzlich die Fliesenleger dagehabt, die hätten ihr eine saftige Rechnung präsentiert, man könne in diesem Beruf daher sicherlich auch gutes Geld verdienen, und überhaupt sei dies auch ein ehrenwerter Beruf. Im ersten Moment war ich verletzt, heute bin ich ihr längst dankbar dafür. Ich habe nämlich ihren Rat befolgt: die Geige ist mein Hobby geworden, sonst wäre ich wahrscheinlich, angesichts der Tatsache, dass ich wirklich nicht besonders gut war und angesichts der aktuellen Situation der Sinfonieorchester in Deutschland längst arbeitslos.
Was ich damit sagen möchte: fange heute noch damit an, selbstständig zu denken und zu arbeiten in der Mathematik. Und wenn du merkst, dass dir das wirklich nicht anders möglich ist, dann überlege dir einen anderen beruflichen Weg, der dir mehr enstpricht. Und zwar in deinem eigenen Interesse!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Kann mir nur jemand das irgendwie aufschreiben was ich mit was multiplizieren soll weil so hab ich das irgendwie nicht verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mo 16.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Kann mir nur jemand das irgendwie aufschreiben was ich mit
> was multiplizieren soll weil so hab ich das irgendwie nicht
> verstanden.
Das steht alles in dieser Diskussion drin. Lies dir diese in Ruhe (also mindestens 4 Stunden) durch, danach kannst du eventuell über eine konkrete Rückfrage nachdenken!
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Weil ich weiss nicht was ich für diese Formel einsetzen soll:
A^13 = T*D^13 *T^-1
T^-1 ist ja die Inverse .
Aber was setze ich für die anderen Terme ein?
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Hallo nochmal,
du musst das echt nacharbeiten, in der Klausur fällst du mit der Arbeitsmoral und dem damit verbundenen Minimalwissen zum Thema gnadenlos durch ...
> Weil ich weiss nicht was ich für diese Formel einsetzen
> soll:
>
> A^13 = T*D^13 *T^-1
Da musste mal gucken, ob die Rollenverteilung von [mm]T[/mm] und [mm]T^{-1}[/mm] stimmt.
Du hast ja - glaube ich - die transformierende Matrix (also die, in deren Spalten die Eigenvektoren von A stehen) [mm]T[/mm] genannt.
[mm]D[/mm] ist die Diagonalmatrix, auf deren Hauptdiagonale die Eigenwerte von [mm]A[/mm] stehen, also [mm]D=\pmat{1&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2}[/mm]
Und Potenzen einer Diagonalmatrix kannst du kinderleicht bestimmen.
Wieso?
>
>
> T^-1 ist ja die Inverse .
> Aber was setze ich für die anderen Terme ein?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Und Potenzen einer Diagonalmatrix kannst du kinderleicht bestimmen.
Weiss ich leider nicht . Bin ehrlich.
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Hallo, oh backe, wie willst du bestehen????
fange einfach mal an
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4}
[/mm]
stelle jetzt bitte nicht die Frage, wie Matrizen multipliziert werden, du solltest dann eine Gesetzmäßigkeit erkennen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Aha es wurde Zeile mal zeile und spalte mal spalte multipliziert . Was muss ich jetzt eigentlich machen mit dem ergebnis Steffi?
Mit was muss ich das noh multiplizieren.
Ich bin im moment leider auch ein wenig durcheinander.
Danke für eure geduld leute.
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> Aha es wurde Zeile mal zeile und spalte mal spalte
> multipliziert . Was muss ich jetzt eigentlich machen mit
> dem ergebnis Steffi?
Hallo,
immer noch im Kindergarten?
Wenn Du merkst, daß Du den Überblick verloren hast, solltest Du ihn Dir selbständig wieder zu verschaffen versuchen.
Du bist wieder an der Stelle, an welcher Du nochmal die Aufgabe b) und das, was bisher dazu gesagt wurde, rekapitulieren mußt.
Du hattest inzwischen in a) eine Diagonalmatrix D und eine Transformationsmatrix T gefunden, so daß
[mm] A=TDT^{-1}.
[/mm]
Gesucht ist nun [mm] A^{13}.
[/mm]
Natürlich könntest Du nun A 13mal mit sich selbst multiplizieren. Das würde lange dauern, aber richtig werden, wenn Du richtig rechnest.
Wer schlauer ist, schreibt [mm] A^{13}=(TDT^{-1})^{13}, [/mm] und wer noch schlauer ist, merkt: das ist [mm] =TD^{13}T^{-1}.
[/mm]
Nun ist die Frage: was ist [mm] D^{13}?
[/mm]
Tja, wenn ich das nicht wüßte, würd' ich mal munter losmultiplizieren.
So, wie Steffi es Dir riet...
Steffi war sogar so goldig, Dir die erste Multiplikation vorzumachen, also mal für Dich [mm] D^2 [/mm] auszurechnen.
Dir ist klar, daß [mm] D^3=D^2*D?
[/mm]
Dann rechne es aus.
Berechne auch [mm] D^4=D^3*D, [/mm] und wenn Du immer noch nicht weißt, was bei [mm] D^{13} [/mm] rauskommt, rechne halt solange weiter, bis Du's hast.
Kl. Tip: wenn Du die Zahlen im Ergebnis als Potenzen der Zahlen 1 nd 2 schreibst, siehst Du's am besten.
Und wenn Du irgendwann [mm] D^{13} [/mm] hast, dann berechne [mm] TD^{13}T^{-1}.
[/mm]
>
> Mit was muss ich das noh multiplizieren.
Schau, das ist schon wieder Kindergarten. Nicht genug überlegt.
Wenn Steffi Dir [mm] D^2 [/mm] vorgerechnet hat und Du [mm] D^{13} [/mm] haben willst, ist ja eigentlich klar, daß der Faktor [mm] D^{11} [/mm] noch fehlt, oder? (Bloß wenn ich das geantwortet hätte, wäre Dir überhaupt nicht gedient gewesen.)
Man soll sich in dieser Aufgabe daran erinnern, wie man allgemein Diagonalmatrizen potenziert.
Wenn Du das weißt, bringt Dich auchz.B. [mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4& 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6& 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7}^{89}[/mm]nicht aus dem Konzept.
> Ich bin im moment leider auch ein wenig durcheinander.
Ja, klar.
Das ist, als hätte man vor der Reise nicht mal auf der Karte geguckt, wo man so grob langfahren muß, und dann geht das Navi kaputt und man weiß nicht woher man kommt, wo man ist und wohin man will
>
> Danke für eure geduld leute.
Ja, die brauchen wir, und es ist nett zu merken, daß Du dies anerkennst.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mo 16.07.2012 | | Autor: | ChopSuey |
> Aha es wurde Zeile mal zeile und spalte mal spalte
> multipliziert . Was muss ich jetzt eigentlich machen mit
> dem ergebnis Steffi?
>
> Mit was muss ich das noh multiplizieren.
>
> Ich bin im moment leider auch ein wenig durcheinander.
>
> Danke für eure geduld leute.
Ich wollte mich eigentlich aus diesem Thread raushalten, aber du bist einfach nur ein Troll. Anfangs hielt ich es auch für reine Dreistigkeit, aber mittlerweile kauf' ich dir das nicht mal ab.
Ich finde es einfach extrem lächerlich, dass du die Zeit anderer so unnötig beanspruchst mit dem Wissen, dass die Leute bemüht sind dir zu helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mo 16.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann mutipöizier halt mal 2 gleiche Diagonalmatrizen!
nochmal:du willst was lernen, dazu musst du was tun!
Gruss leduart
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