Diagonalmatrix + charakt. Poly < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Aufgabe 1. Sei K ein Körper und [mm] A \in\ Mat_2(K)[/mm]
Wann ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix [mm]diag(\lambda_1,\lambda_2) mit \lambda_i \in K[/mm] ? Bestimmen Sie in diesem Fall das charakteristische Polynom von A. |
Also ich weiß, dass folgendes zutrifft:
Sei A eine zur Diagonalmatrix D ähnliche Matrix, dann gilt:
1) det A = det D
2) tr(A)=tr(D)
und die charakt. Polynome sind gleich.
Außerdem gilt[mm] D = S^-1 A(S) [/mm]
Reicht das schon zum Beantworten der 1ten Teilfrage und bei der zweite ist doch das charkt.Polynom=[mm] a_11*a_22 -t*tr(A)+t^2 [/mm]oder?
Viele liebe Grüße
Mary
|
|
| |
|
> Aufgabe 1. Sei K ein Körper und [mm]A \in\ Mat_2(K)[/mm]
> Wann ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix
Hallo,
"wann"? Irgendwie ist das komisch gefragt...
> [mm]diag(\lambda_1,\lambda_2) mit \lambda_i \in K[/mm] ? Bestimmen
> Sie in diesem Fall das charakteristische Polynom von A.
> Also ich weiß, dass folgendes zutrifft:
> Sei A eine zur Diagonalmatrix D ähnliche Matrix, dann
> gilt:
> 1) det A = det D
> 2) tr(A)=tr(D)
> und die charakt. Polynome sind gleich.
> Außerdem gilt[mm] D = S^-1 A(S)[/mm]
Ich würde hier antworten:
wenn es eine invertierbare 2x2-Matrix S gibt mit
> D = S^-1 A(S)[/mm]
> Reicht das schon zum Beantworten der 1ten Teilfrage und bei
> der zweite ist doch das charkt.Polynom=[mm] a_1_1*a_2_2 -t*tr(A)+t^2 [/mm]oder?
Das charakteristische Polynom solltest Du nochmal nachrechnen.
Was ist denn [mm] det\pmat{ a_1_1-t & a_1_2 \\ a_2_1& a_2_2-t } [/mm] ?
Dann kannst Du ja, wenn Du weißt, daß die Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit den Einträgen [mm] \lambda_i [/mm] ist, das charakteristische Polynom mithilfe der Lambdas ausdrücken. Ich denke, daß man das von Dir wissen wollte. (Schreib einfach alles hin.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
