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| Aufgabe | | Sei A [mm] M(n\times [/mm] n,K) eine Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Diagonalkoeffizienten. Sei B [mm] M(n\times [/mm] n,K). Zeige: Genau dann ist AB=BA , wenn auch B eine Diagonalmatrix ist. |
Um überprüfen ob das stimmt habe ich erstmal zwei 2x2 Matrizen genommen mit A: [mm] \pmat{ a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} } [/mm] was unsere Diagonalmatrix ist und B: [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }. [/mm] Damit habe ich dann überprüft ob AB= BA gilt und da B augenscheinlich keine Diagonalmatrix ist müssten die beiden Matrizen ja nicht kommutieren!
[mm] \pmat{ a_{1} & a_{1 }\\ a_{2} & a_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} } \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }\pmat{ a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2}\\ a_{1} & a_{2} } [/mm] Da dieses nicht gleich ist kommutieren diese beiden Matrizen also nicht!
Nun habe ich dieses mal mit einer allgemeinen Matrix b gerechnet um zu überprüfen was mit den Ausdrücken passieren muss , damit AB=BA gilt!
[mm] \pmat{ a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} } \pmat{ c & d \\ e & f } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1}c & a_{1}d \\ a_{2}e & a_{2}f }
[/mm]
und:
[mm] \pmat{ c & d \\ e & f } \pmat{ a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1}c & a_{2}d \\ a_{1}e & a_{2}f }
[/mm]
Wie man sieht müssen dann ja bei Matrix B: d,e = 0 sein , damit beide Matrizen kommutativ sind , was daraus aber folgt ist , dass auch B eine Diagonalmatrix ist! Wie schreibe ich das aber allgemein gut auf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also die Aufgabe kurz mal etwas anders aufgeschrieben. Du sollst zeigen:
Sei [mm] A\in M(n\times n,K) [/mm] eine Diagonalmatrix mit [mm] a_{i}\neq a_{j} [/mm] für [mm] i\neq j [/mm]. Sei [mm] B\in M(n\times n,K)[/mm]. Behauptung: [mm] AB=BA\Leftrightarrow B[/mm] ist Diagonalmatrix.
Die Hin-Richtung hast du für den Fall 2x2 bereits gezeigt. Das auf den allgemeinen Fall zu übertragen ist nicht schwer. Erstmal definierst du dir die einzelnen Matrizen: Es gelte also AB=BA, wobei [mm]A=(a_{i}),\, B=(b_{ij}) [/mm] und [mm] AB=(c_{ij})=BA [/mm].
Was gilt dann für den Fall [mm] i\neq j[/mm] für das Produkt AB und für das Produkt BA? Wenn du das hast, bist du eigentlich mit der Hin-Richtung fertig. Die Rück-Richtung ist noch einfacher.
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Es gelte also AB=BA, wobei $ [mm] A=(a_{i}),\, B=(b_{ij}) [/mm] $ und $ [mm] AB=(c_{ij})=BA [/mm] $.
[mm] c_{ij} [/mm] berechnet sich aus AB [mm] c_{ij} =a_{i}b_{ij}
[/mm]
und BA [mm] c_{ij} =a_{j}b_{ij}
[/mm]
Da aber [mm] a_{i}\not=a_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j gilt , folgt [mm] b_{ij}=0
[/mm]
Müsste so passen , oder? Rückrichtung ein Brett vorm Kopf :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Es gelte also AB=BA, wobei [mm]A=(a_{i}),\, B=(b_{ij})[/mm] und
> [mm]AB=(c_{ij})=BA [/mm].
>
> [mm]c_{ij}[/mm] berechnet sich aus AB [mm]c_{ij} =a_{i}b_{ij}[/mm]
>
> und BA [mm]c_{ij} =a_{j}b_{ij}[/mm]
>
> Da aber [mm]a_{i}\not=a_{j}[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j gilt , folgt
> [mm]b_{ij}=0[/mm]
>
> Müsste so passen , oder? Rückrichtung ein Brett vorm Kopf
> :)
Wenn A und B Diagonalmatrizen sind dann gilt für [mm] (AB)_i=a_ib_i [/mm] und für [mm] (BA)_i=b_ia_i
[/mm]
mfg ullim
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