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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kalor |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR^{\IN} [/mm] versehen mit der Produkttopologie und man hat folgende Teilmenge davon:
[mm] \IR^{\infty} =\{(x_n)_{n \in \IN}| x_n=0 \text{ für fast alle } n\} [/mm] Wie sieht der Abschluss dieser Menge in [mm] \IR^{\IN} [/mm] aus? |
Hallo zusammen
Ich habe obige Aufgabe gelöst, indem ich zeigen konnte, dass [mm] \IR^{\infty} [/mm] jede offene Menge in [mm] \IR^{\IN} [/mm] schneidet. Dann kann ich doch bereits sagen, dass diese Menge dicht in [mm] \IR^{\IN} [/mm] ist.
Grund für meine Frage ist, dass in den Lösungen noch gezeigt wird, dass [mm] \IR^{\IN}\backslash \overline{\IR^{\infty}}=\emptyset [/mm]. Diesen Schritt erachte ich als unnötig, da ich ich ja weiss, dass jede Umgebung in [mm] \IR^{\IN} [/mm] einen nicht leeren Schnitt mit [mm] \IR^{\infty} [/mm] hat (da diese Menge ja alle offenen Mengen schneidet.).
Stimmen meine Überlegungen?
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 29.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]\IR^{\IN}[/mm] versehen mit der Produkttopologie und man hat
> folgende Teilmenge davon:
>
> [mm]\IR^{\infty} =\{(x_n)_{n \in \IN}| x_n=0 \text{ für fast alle } n\}[/mm]
> Wie sieht der Abschluss dieser Menge in [mm]\IR^{\IN}[/mm] aus?
>
> Ich habe obige Aufgabe gelöst, indem ich zeigen konnte,
> dass [mm]\IR^{\infty}[/mm] jede
... nicht-leere ...
> offene Menge in [mm]\IR^{\IN}[/mm]
... nicht-trivial ...
> schneidet.
> Dann kann ich doch bereits sagen, dass diese Menge dicht in
> [mm]\IR^{\IN}[/mm] ist.
das ist (mit den Einfuegungen  ) auch korrekt so.
> Grund für meine Frage ist, dass in den Lösungen noch
> gezeigt wird, dass [mm]\IR^{\IN}\backslash \overline{\IR^{\infty}}=\emptyset [/mm].
> Diesen Schritt erachte ich als unnötig, da ich ich ja
> weiss, dass jede Umgebung in [mm]\IR^{\IN}[/mm] einen nicht leeren
> Schnitt mit [mm]\IR^{\infty}[/mm] hat (da diese Menge ja alle
> offenen Mengen schneidet.).
Wenn du das oben schon gezeigt hast, dann brauchst du das hier nicht.
Oder ist es so, dass in den Beweisen aus dem obigen (Schnitt mit nicht-leeren offenen Mengen nicht-leer) das hier gefolgert wird? (Das erscheint mir am stichhaltigsten.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kalor |
Also ich habe zuerst gezeigt, dass [mm] \IR^{\infty} [/mm] jedes beliebige Basiselement von [mm] \IR^{\IN} [/mm] schneidet. (ich schreib jetzt nicht noch immer nicht leer etc. hin).
Also schneidet ja [mm] \IR^{\infty} [/mm] jede offene Menge in [mm] \IR^{\IN} [/mm].
An diesem Punkt unterscheidet sich jetzt meine Lösung von der "Musterlösung". Ich habe hieraus geschlossen, dass [mm] \IR^{\infty} [/mm] dicht liegt. Meine Argument hierfür war eben, dass [mm] \IR^{\infty} [/mm] jede Umgebung in [mm] \IR^{\IN} [/mm] schneidet (da sie jede offene Menge schneidet.). Dies ist ja dann gerade eine der äquivalenten Definitionen für dichte Teilmengen. Da muss man doch nicht noch weiter argumentieren oder?
Entschuldige, wenn ich mich unglücklich / unklar ausgedrückt habe. Es geht mir nur darum, dass meine Folgerung "schneidet jede offene Menge $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \IR^{\infty} [/mm] ist dicht" richtig ist.
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Sa 29.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin KaloR,
> Also ich habe zuerst gezeigt, dass [mm]\IR^{\infty}[/mm] jedes
> beliebige Basiselement von [mm]\IR^{\IN}[/mm] schneidet. (ich
> schreib jetzt nicht noch immer nicht leer etc. hin).
> Also schneidet ja [mm]\IR^{\infty}[/mm] jede offene Menge in
> [mm]\IR^{\IN} [/mm].
moment, was meinst du mit Basiselementen? Meinst du eine Basis der Topologie?
> An diesem Punkt unterscheidet sich jetzt meine Lösung von
> der "Musterlösung". Ich habe hieraus geschlossen, dass
> [mm]\IR^{\infty}[/mm] dicht liegt. Meine Argument hierfür war eben,
> dass [mm]\IR^{\infty}[/mm] jede Umgebung in [mm]\IR^{\IN}[/mm] schneidet (da
> sie jede offene Menge schneidet.). Dies ist ja dann gerade
> eine der äquivalenten Definitionen für dichte Teilmengen.
> Da muss man doch nicht noch weiter argumentieren oder?
Wenn ihr diese aequivalenten Definitionen hattet, ja.
> Entschuldige, wenn ich mich unglücklich / unklar
> ausgedrückt habe. Es geht mir nur darum, dass meine
> Folgerung "schneidet jede offene Menge [mm]\ \Rightarrow[/mm]
> [mm]\IR^{\infty}[/mm] ist dicht" richtig ist.
Ja, die Implikation ist richtig. Sie gilt allgemein in topologischen Raeumen:
Ist $X$ ein top. Raum und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Teilmenge, so dass fuer jede nicht-leere offene Menge $O [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt $O [mm] \cap [/mm] Y [mm] \neq \emptyset$, [/mm] so ist $Y$ dicht in $X$: die Menge $X [mm] \setminus \overline{Y}$ [/mm] ist offen und schneidet $Y$ nicht, womit sie leer sein muss; also gilt $X = [mm] \overline{Y}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kalor |
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> moment, was meinst du mit Basiselementen? Meinst du eine
> Basis der Topologie?
>
Ja das meinte ich. Ich weiss ja wie die Basis der Produkttopologie aussieht. Dann habe ich gezeigt, dass jedes Element dieser Basis mind. ein Element von [mm] \IR^{\infty} [/mm] enthält, also einen nicht leeren Schnitt hat.
Ich danke dir für deine schnelle Antwort! :)
mfg
KaloR
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