Dichte/Verteilfunkt Y:=log(X) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 09.10.2011 | | Autor: | eichi |
| Aufgabe | | Sei X exponential-verteilt mit Parameter $ a > 0 $. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von Y:= log X. |
Hier ist mir der Ansatz irgendwie überhaupt nicht klar.
Gedachte habe ich mir nur folgendes:
X exponential-vereilt
=> Dichte [mm] f_X (x)=\begin{cases} \alpha * e^{- \alpha * x}, & \mbox{fuer } x > 0 \\
0, &\mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
also könnte die Dichte von Y ja $ [mm] log(f_x(x)) [/mm] $ sein.
Aber mir ist der Gedanke dahinter irgendwie unklar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 So 09.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Eichi,
so einfach mit der Dichte geht das leider nicht.
Du musst den Weg über die Verteilungsfunktion gehen und daraus (mittels Ableiten) die Dichte bestimmen.
Die Methode ist immer diesselbe.
P(log [mm] X\le t)=P(X\le e^t)
[/mm]
Diesen Ausdruck kannst du ja bestimmen,indem du [mm] e^t [/mm] in die Verteilungsfunktion von X einsetzt.
LG
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 09.10.2011 | | Autor: | eichi |
> P(log [mm]X\le t)=P(X\le e^t)[/mm]
>
> Diesen Ausdruck kannst du ja bestimmen,indem du [mm]e^t[/mm] in die
> Verteilungsfunktion von X einsetzt.
Danke restmal für den gute Tipp!
Ich hab das jetzt mal so gemacht:
$ P(log(X) <= t)= P(X <= [mm] e^t) [/mm] = [mm] 1-e^{- \alpha * e^y} [/mm] = F(y) $ Verteilungsfunktion
Dichte:
Dichte ist bestimmt durch $ F'(y) = [mm] (1-e^{- \alpha * e^y})' [/mm] = [mm] -(e^{-\alpha * e^y})' [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] e^y [/mm] * [mm] e^{- \alpha *e^y} [/mm] = [mm] \alpha*e^{-y \alpha * e^ŷ} [/mm] $
Zusatzfrage: Du hast gesagt, diesen Weg geht man eigentlich immer über die Verteilungsfunktion. Wie kann man das genau, aber allgemein formulieren?
"Dichte und Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen, die man durch andere Zufallsvariablen ausdrückt, kann man durch einsetzen deren Verteilungsfunktion bestimmen" - kann das das so stehe lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 So 09.10.2011 | | Autor: | Fry |
> > P(log [mm]X\le t)=P(X\le e^t)[/mm]
> >
> > Diesen Ausdruck kannst du ja bestimmen,indem du [mm]e^t[/mm] in die
> > Verteilungsfunktion von X einsetzt.
>
>
> Danke restmal für den gute Tipp!
>
> Ich hab das jetzt mal so gemacht:
>
> [mm]P(log(X) <= t)= P(X <= e^t) = 1-e^{- \alpha * e^y} = F(y)[/mm]
> Verteilungsfunktion
(Hier musst du noch mal das y rausnehmen (und im ersten Fall durch t und im zweiten durch [mm] e^t [/mm] ersetzen, oder kommsts durch Copy und Paste ;)?)
Ein "größer gleich" bekommst du übrigens mit ge (mit nem Doppelslash davor) und "kleiner gleich" mit le
> Dichte ist bestimmt durch [mm]F'(y) = (1-e^{- \alpha * e^y})' = -(e^{-\alpha * e^y})' = \alpha * e^y * e^{- \alpha *e^y} = \alpha*e^{-y \alpha * e^ŷ}[/mm]
>
Im Grunde ist es richtig, aber eigentlich lautet ja die Verteilungsfunktion
$F(x)= [mm] 1-e^{-ax}$ [/mm] für $x>0 $
und $0$ für [mm] $x\le [/mm] 0$
Ferner musst du das x beim Einsetzen auch auf der rechten Seite substituieren.
d.h. $P(log [mm] X\le t)=1-e^{-ae^t}$ [/mm] für$ [mm] e^t>0$
[/mm]
und $0$ für [mm] $e^t\le [/mm] 0$
Wenn man nun das umschreibt, dann steht auf der rechten Seite [mm] $t>-\infty$
[/mm]
bzw [mm] $t\le -\infty$. [/mm] Damit kann man sich auch den zweiten Fall sparen und nur schreiben:
$P(log [mm] X\le t)=1-e^{-ae^t}$ [/mm] für [mm] $t\in\IR$
[/mm]
> Zusatzfrage: Du hast gesagt, diesen Weg geht man eigentlich
> immer über die Verteilungsfunktion. Wie kann man das
> genau, aber allgemein formulieren?
>
> "Dichte und Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen, die
> man durch andere Zufallsvariablen ausdrückt, kann man
> durch einsetzen deren Verteilungsfunktion bestimmen" - kann
> das das so stehe lassen?
Jap! Der Kern der Aussage stimmt. Für die Verteilungsfunktion von z.B. [mm] X^2
[/mm]
müsstest du also [mm] $P(X^2\le t)=P(-\sqrt t\le X\le \sqrt [/mm] t)$ berechnen
Gruß
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 05.02.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Sitze an einer ähnlichen Aufgabe und wollte nur eben Fragen ob ich hier genauso vorgehen kann:
Sei X gleichverteilt auf [0,1]. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte von Y=-3*ln(X) und von [mm] Z=\bruch{1}{X}.
[/mm]
Für Y=-3*ln(X) hätte ich dann nach obigem Vorgehen:
[mm] P(-3*ln(X)\le t)=P(X\le -\bruch{exp(t)}{3}) [/mm]
Jetzt setze ich [mm] -\bruch{exp(t)}{3} [/mm] in die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ein und differenziere das Ganze, um die Dichte zu erhalten. Passt das so?
Für Z wäre das dann [mm] P(\bruch{1}{X}\le t)=P(X\le \bruch{1}{t}) [/mm] also setze ich [mm] \bruch{1}{t} [/mm] in die Verteilungsfunktion ein und leite wieder ab nach t.
Verteilungsfunktion der Normalverteilung:
$ [mm] f(t)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma^2}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}) [/mm] $
Danke schonmal für jede Antwort! :)
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Mo 06.02.2012 | | Autor: | chesn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke erstmal!
Sorry, weiss nicht mehr was ich da gestern für einen Murks gemacht habe..
Natürlich ist das Ganze gleichverteilt und nicht normalverteilt und natürlich drehen sich die Relationen um.
Erstmal die Dichte der Gleichverteilung:
$ f(t)=\{^{ \ 1 \ \ falls \ t\in [0,1]}_{ \ 0 \ \ falls \ t \notin [0,1]} $
Also gilt jetzt z.B. die Ungleichung:
P(X\ge -\bruch{exp(t)}{3})
wenn -\bruch{exp(t)}{3} \in [0,1] ist oder liege ich da daneben?
Vielen Dank!
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal!
> Sorry, weiss nicht mehr was ich da gestern für einen
> Murks gemacht habe..
> Natürlich ist das Ganze gleichverteilt und nicht
> normalverteilt und natürlich drehen sich die Relationen
> um.
>
> Erstmal die Dichte der Gleichverteilung:
>
> [mm]f(t)=\{^{ \ 1 \ \ falls \ t\in [0,1]}_{ \ 0 \ \ falls \ t \notin [0,1]}[/mm]
>
> Also gilt jetzt z.B. die Ungleichung:
>
> [mm]P(X\ge -\bruch{exp(t)}{3})[/mm]
Welche Ungleichung ???
[mm]P(X\ge -\bruch{exp(t)}{3}) \le ?????[/mm] oder [mm]P(X\ge -\bruch{exp(t)}{3}) \ge ?????[/mm]
FRED
>
> wenn [mm]-\bruch{exp(t)}{3} \in[/mm] [0,1] ist oder liege ich da
> daneben?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> chesn
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mo 06.02.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Also die Frage war für welche t $ [mm] P(X\ge -\bruch{exp(t)}{3}) [/mm] $ gilt.
Meine Antwort war: Für die t, für die $ [mm] -\bruch{exp(t)}{3} [/mm] $ in [0,1] liegt.
Und ich wollte wissen ob das so richtig ist. :)
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Also die Frage war für welche t [mm]P(X\ge -\bruch{exp(t)}{3})[/mm]
> gilt.
Es hilft nichts ! Das ist eine sinnlose Frage.
Du fragst: " für welche t gilt Wahrscheinlichkeit dass [mm] X\ge -\bruch{exp(t)}{3}"
[/mm]
merkst Du es jetzt ?
>
> Meine Antwort war: Für die t, für die [mm]-\bruch{exp(t)}{3}[/mm]
> in [0,1] liegt.
Das ist doch unsinnig. Denn
[mm]-\bruch{exp(t)}{3}[/mm] <0 für jedes (!) t !!!
FRED
> Und ich wollte wissen ob das so richtig ist. :)
>
> Gruß
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 06.02.2012 | | Autor: | chesn |
Okay da hast du Recht.. es ging um:
$ [mm] P(-3\cdot{}\ln(X)\le t)=P(X\ge -\bruch{\exp(t)}{3}) [/mm] $
Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter machen soll.
Ich will damit Verteilungsfunktion und Dichte bestimmen.
Aber wie du sagst: [mm] -\bruch{exp(t)}{3} [/mm] ist kleiner als 0 und damit wäre die Wahrscheinlichkeit [mm] P(X\ge -\bruch{\exp(t)}{3})=1 [/mm] denn X ist ja gleichverteilt auf [0,1]. Oder verstehe ich was falsch?
Bevor ich weiter murkse: Wie komme ich jetzt an Dichte und Verteilungsfunktion?
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay da hast du Recht.. es ging um:
>
> [mm]P(-3\cdot{}\ln(X)\le t)=P(X\ge -\bruch{\exp(t)}{3})[/mm]
Das stimmt doch nicht !
$-3*ln(X) [mm] \le [/mm] t ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ ln(X) [mm] \ge \bruch{-t}{3} [/mm] ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~X [mm] \ge e^{\bruch{-t}{3} }$
[/mm]
FRED
>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter machen soll.
> Ich will damit Verteilungsfunktion und Dichte bestimmen.
>
> Aber wie du sagst: [mm]-\bruch{exp(t)}{3}[/mm] ist kleiner als 0 und
> damit wäre die Wahrscheinlichkeit [mm]P(X\ge -\bruch{\exp(t)}{3})=1[/mm]
> denn X ist ja gleichverteilt auf [0,1]. Oder verstehe ich
> was falsch?
>
> Bevor ich weiter murkse: Wie komme ich jetzt an Dichte und
> Verteilungsfunktion?
>
> Vielen Dank schonmal und liebe Grüße,
> chesn
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Mo 06.02.2012 | | Autor: | chesn |
Sorry war Quatsch... muss jetzt leider erstmal weg und guck mir das später nochmal an!
Vielen Dank erstmal für die Hilfe!
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 06.02.2012 | | Autor: | chesn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also, wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, ist:
F_Y(y)=P(y \le t)=P(-3*ln(x)\le t)=P(X\ge exp(-\bruch{t}{3})=1-P(X\le exp(-\bruch{t}{3})
=1-F_X(exp(-\bruch{t}{3}))
Jetzt ist
F_X(exp(-\bruch{t}{3}))=exp(-\bruch{t}{3}) für $t>0$
F_X(exp(-\bruch{t}{3}))=1 für $t=0$
F_X(exp(-\bruch{t}{3}))>1 für $t<0$
Damit folgt:
$F_Y(y)=\{^{ \ 1-exp(-\bruch{t}{3}) \ \ falls \ t \ge 0}_{ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ falls \ t\le 0} $
Ist das jetzt so richtig??
Vielen Dank schonmal!
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 07.02.2012 | | Autor: | chesn |
Könnte nochmal jemand sagen ob das so stimmt?
Die Aufgabe ist abgegeben, muss sie am Donnerstag aber nochmal vorrechnen (und erklären können). Daher wäre es für mich wichtig zu wissen ob ich so richtig gedacht habe.
Vielen Dank und liebe Grüße!
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Di 07.02.2012 | | Autor: | luis52 |
Ja, ist okay.
vg luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 06.02.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Hallo Luis,
>
> das stimmt aber nicht.
>
> Es ist [mm]-3ln(X) \le t ~\gdw ~~ X \ge exp(-t/3)[/mm]
>
Ups, stimmt. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
vg Luis
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm]P(-3*\ln(X)\le t)=P(X\red{\ge} -\bruch{\exp(t)}{3})[/mm]
