Dichte einer ZVA < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 20.03.2014 | | Autor: | CaNi |
| Aufgabe | | Sei X eine reelwertige ZVA, deren Verteilung eine stetige Dichte f bzgl des Lebesguesmaßes besitzt. Besitzt auch die ZVA Y = [mm] X^4 [/mm] eine Dichte? Berechnen Sie diese ggf. |
Hallo,
nochmal ich.. :)
Anfangen würde ich folgendermaße:
Y = X ^4 => P[Y [mm] \le [/mm] z ] = P [ [mm] X^4 \le [/mm] z ] = P [mm] [-\wurzel[4]{z} \le [/mm] X [mm] \le \wurzel[4]{z}] [/mm] = F [ [mm] \wurzel[4]{z}] [/mm] - F [- [mm] \wurzel[4]{z} [/mm] ] = [mm] \integral_{-\wurzel[4]{z}}^{\wurzel[4]{z}}{f(z) dz} [/mm]
=> [mm] f_{X^4} [/mm] (z) = [mm] F'_{X^4} [/mm] (z) = [mm] F'_{X^4} (\wurzel[4]{z}) [/mm] - [mm] F'_{X^4} (-\wurzel[4]{z}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (\wurzel[4]{z}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (-\wurzel[4]{z}) [/mm] = ???
Hier weiss ich nicht mehr weiter :D
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 20.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Anfangen würde ich folgendermaße:
> Y = X ^4 => P[Y [mm]\le[/mm] z ] = P [ [mm]X^4 \le[/mm] z ] = P
> [mm][-\wurzel[4]{z} \le[/mm] X [mm]\le \wurzel[4]{z}][/mm] = F [
> [mm]\wurzel[4]{z}][/mm] - F [- [mm]\wurzel[4]{z}[/mm] ] =
> [mm]\integral_{-\wurzel[4]{z}}^{\wurzel[4]{z}}{f(z) dz}[/mm]
> => [mm]f_{X^4}[/mm] (z) = [mm]F'_{X^4}[/mm] (z) = [mm]F'_{X^4} (\wurzel[4]{z})[/mm] -
> [mm]F'_{X^4} (-\wurzel[4]{z})[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (\wurzel[4]{z})[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (-\wurzel[4]{z})[/mm] =
> ???
>
> Hier weiss ich nicht mehr weiter :D
Sieht gut aus. Du kannst noch [mm] $\bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}}$ [/mm] ausklammern.
Was ist mit $z=-4711$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 20.03.2014 | | Autor: | CaNi |
$ $ [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (\wurzel[4]{z}) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (-\wurzel[4]{z}) [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} [/mm] * ( [mm] f_{X} (\wurzel[4]{z}) [/mm] + [mm] f_{X} (-\wurzel[4]{z}))
[/mm]
$ z=-4711 $? hmmmmm? z sollte auf jeden Fall größer 0 sein :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 20.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]z=-4711 [/mm]? hmmmmm? z sollte auf jeden Fall größer 0 sein
Gar nicht. Du musst [mm] $P(X^4\le [/mm] z)$ mit einer Fallunterscheidung bestimmen: [mm] $z\le0$ [/mm] und $z>0_$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 21.03.2014 | | Autor: | CaNi |
$ [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (\wurzel[4]{z}) [/mm] $ $ + $ $ [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} f_{X} (-\wurzel[4]{z}) [/mm] $ $ = $ [mm] \bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} [/mm] $ * ( $ [mm] f_{X} (\wurzel[4]{z}) [/mm] $ + $ [mm] f_{X} (-\wurzel[4]{z})) [/mm] $
für z [mm] \le [/mm] 0 ist [mm] P[X^4=z] [/mm] ja einfach 0 un für [mm] P[X^4 [/mm] =z ] für z > 0 ist es ja das obige richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Sa 22.03.2014 | | Autor: | luis52 |
Ich kann das schlecht entziffern. Die Dichte ist
$ [mm] f_Y(z)=\bruch{1}{4} z^{-\bruch{3}{4}} (f_{X} (\wurzel[4]{z}) [/mm] + [mm] f_{X}(-\wurzel[4]{z})) [/mm] $ fuer $z>0$ und [mm] $f_Y(z)=0$ [/mm] sonst.
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