Dichteschätzung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 22.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Führen Sie anhand der Daten $x_1=10, x_2=15$ und $x_3=20$ unter Verwendung des Kerndichteschätzers eine Dichteschätzung durch. Benutzen Sie dazu
(i) einen Rechteckkern
(ii) einen Dreieckkern.
Wählen Sie $h=2,4,6$. |
Moin! Ich würde gerne von Euch kontrollieren lassen, ob ich das Prinzip richtig verstanden habe.
Also der Kerndichteschätzer zur Bandbreite h und zum Kern K ist definiert als:
$\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{j=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$, also hier (mal beispielhaft für $h=2$) :
$\hat{f}_{2}^{K}(x)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^{3}K\left(\frac{x-X_i}{2}\right)=\frac{1}{6}\left[K\left(\frac{x-10}{2}\right)+K\left(\frac{x-15}{2}\right)+K\left(\frac{x-20}{2}\right)\right]$
Wenn ich jetzt bei (i) einen Rechteckkern nehme, bedeutet das:
$K_{R}(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }-1\leq x\leq 1\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
Daraus folgt:
$K\left(\frac{x-10}{2}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }8\leq x\leq 12\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
$K\left(\frac{x-15}{2}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }13\leq x\leq 17\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
$K\left(\frac{x-20}{2}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }18\leq x\leq 22\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
Somit komme ich bei (i) auf das Endergebnis:
$\hat{f}_{2}^{K}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<8\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }8\leq x\leq 12\\0, & \mbox{falls }12<x<13\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }13\leq x\leq 17\\0, & \mbox{falls }17<x<18}\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }18\leq x\leq 22\\0, & \mbox{falls }22<x\end{cases}$
Beim Dreieckkern bei (ii) hat man:
$K_{D}(x)=\begin{cases}1-\vert x\vert, & \mbox{falls }\vert x\vert < 1\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
Ich bin analog zu (i) vorgegangen und erhalte letztlich:
$\hat{f}_2^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 8\\\frac{1}{6}\left(1-\frac{\vert x-10\vert}{2}\right), & \mbox{falls }8<x<12\\0, & \mbox{falls }12\leq x\leq 13\\\frac{1}{6}\left(1-\frac{\vert x-15\vert}{2}\right), & \mbox{falls }13<x<17\\0, & \mbox{falls }17\leq x\leq 18\\\frac{1}{6}\left(1-\frac{\vert x-20\vert}{2}\right), & \mbox{falls }18<x<22\\0, & \mbox{falls }22\leq x\end{cases}$
Könnt Ihr mir wohl bitte sagen, ob das so korrekt ist?
(Wenn ja, habe ich das Prinzip verstanden und rechne dann noch das Ganze für die Bandbreiten 4 und 6 durch.)
Liebe Grüße!
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Niemand eine Reaktion für mich?... das ist schade.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Würde es vllt. jemanden motivieren, wenn ich alle Ergebnisse poste?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
wir hatten auf Bildchen gehofft, weil sich die leichter checken lassen als Rechnungen. =)
Sieht aber richtig aus.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Achso, Bildchen. Die sind in der Aufgabe nicht gefordert und deswegen habe ich keine angefertigt. 
Also der Fall mit dem Rechteckkern und h=2 ist noch relativ übersichtlich, weil sich da nichts "überschneidet". Wenn man sich mal z.B. den Fall h=4 ansieht, ist das schon ein bisschen umständlicher.
[mm] $K\left(\frac{x-10}{4}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }6\leq x\leq 14\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $K\left(\frac{x-15}{4}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }11\leq x\leq 19\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $K\left(\frac{x-20}{4}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }16\leq x\leq 24\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Und somit:
[mm] $\hat{f}_{4}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<6\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }6\leq x< 11\\\frac{1}{6}, & \mbox{falls }11\leq x\leq14\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }14
Oder zum Beispiel Dreieckkern und h=6:
[mm] $K\left(\frac{x-10}{6}\right)=\begin{cases}1-\frac{\vert x-10\vert}{6}, & \mbox{falls }4
[mm] $K\left(\frac{x-15}{6}\right)=\begin{cases}1-\frac{\vert x-15\vert}{6}, & \mbox{falls }9
[mm] $K\left(\frac{x-20}{6}\right)=\begin{cases}1-\frac{\vert x-20\vert}{6}, & \mbox{falls }14
Daraus folgt:
[mm] $\hat{f}_{6}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 4\\\frac{1}{6}-\frac{\vert x-10\vert}{36}, & \mbox{falls }4
Das macht schon weniger Freude...
Ist aber hoffentlich korrekt? Sonst hab ich das alles umsonst getext..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] \hat{f}_{4}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<6\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }6\leq x< 11\\\frac{1}{6}, & \mbox{falls }11\leq x\leq14\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }14
Du hast das h vor der Summe [mm] ($\frac 1{nh}\sum\ldots$) [/mm] nicht von 2 auf 4 erhöht, deswegen ist die Dichte überall doppelt so groß, wie sie sein sollte.
Summier mal auf, dann wirst Du sehen, daß 2 rauskommt statt 1.
> (Dreieck)
Sieht denk ich wie der gleiche Fehler aus.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:26 Mi 23.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ah, danke, das habe ich ja total übersehen!
Hier dann abschließend die (nun korrigierten) Lösungen im Überblick:
[mm] \underline{1.) Rechteckkern: h=2}
[/mm]
[mm] $\hat{f}_{2}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<8\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }8\leq x\leq 12\\0, & \mbox{falls }12
[mm] \underline{Rechteckkern: h=4}
[/mm]
[mm] $\hat{f}_{4}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<6\\\frac{1}{24}, & \mbox{falls }6\leq x< 11\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }11\leq x\leq14\\\frac{1}{24}, & \mbox{falls }14
[mm] \underline{Rechteckkern: h=6}
[/mm]
[mm] $\hat{f}_{6}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<4\\\frac{1}{36}, & \mbox{falls }4\leq x<9\\\frac{1}{18}, & \mbox{falls }9\leq x<14\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }14\leq x\leq 16\\\frac{1}{18}, & \mbox{falls }16
[mm] \underline{Dreieckkern: h=2}
[/mm]
[mm] $\hat{f}_{2}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 8\\\frac{1}{6}-\frac{\vert x-10\vert}{12}, & \mbox{falls }8
[mm] \underline{Dreieckkern: h=4}
[/mm]
[mm] $\hat{f}_{4}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 6\\\frac{1}{12}-\frac{\vert x-10\vert}{48}, & \mbox{falls }6
[mm] \underline{Dreieckkern: h=6}
[/mm]
[mm] $\hat{f}_{6}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 4\\\frac{1}{18}-\frac{\vert x-10\vert}{108}, & \mbox{falls }4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") oder ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ?
Wenn : Wo ist noch etwas falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 24.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich weiß, das macht keine Freude zu kontrollieren.
Vielleicht sollte ich doch Bildchen malen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 24.05.2012 | | Autor: | Blech |
Ich hatte mir gestern noch überlegt, wie ich Dir das schonend beibringe. =)
Sagen wir's so: Das Konzept hast Du kapiert (viele kleine Dichtchen ersetzen die Beobachtungen). Die Arbeit, das alles zu kontrollieren, überlassen wir Leuten, die dafür bezahlt werden. =P
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Fr 25.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Na gut, überlassen wir's den Leuten, die ein bisschen Geld dafür bekommen, sowas zu kontrollieren. Viel Spaß dem Tutor.
Die Bestätigung, daß ich das Konzept verstanden habe, reicht erstmal völlig aus. Alles Andere sind einfach nur Rechnungen.
Besten Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 25.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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